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平面向量与复数单元测试卷


第五章

单元测试卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要求) → 1.下列各式中不能化简为AD的是( → → → A.AB+CD+BC → → → C.MB-MA+BD 答案 D → → → → → 解析 CB+AD-BC=2CB+AD. 2.与向量 a=(-5,12)方向相反的单位向量是( A.(5,-12) 1 3 C.( ,- ) 2 2 答案 D 解析 与 a 方向相反的向量只能选 A,D,其中单位向量只有 D. ?-5,12? 5 12 a 也可用公式 n=- =- 2 2=(13,-13)求得. |a| ?-5? +12 3.设向量 a,b 均为单位向量,且|a+b|=1,则 a 与 b 夹角为( π A. 3 2π C. 3 答案 C → → 解析 如图所示,四边形 ABCD 为平行四边形,△ABC 为边长为 1 的等边三角形,记AB=a,AD=b, 2π 则 a 与 b 的夹角为 ,故选 C. 3 π B. 2 3π D. 4 ) ) ) → → → → B.AD+EB+BC+CE → → → D.CB+AD-BC

5 12 B.(- , ) 13 13 5 12 D.( ,- ) 13 13

4.设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|=( A. 5 C.2 5 答案 B 解析 ∵a⊥b,∴a· b=0,即 x-2=0. B. 10 D.10

)

∴x=2,∴a=(2,1),∴a2=5. 又∵b2=5,∴|a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2= 10.故选 B. 5.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2=( A.5-4i C.3-4i 答案 D 解析 根据已知得 a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i. ?1+2i?2 1 - 6.已知复数 z= ,则 + z 等于( | z| 3-4i A.0 C.-1 答案 A ?1+2i?2 ?4i-3??3+4i? -16-9 1 - 解析 z= = = =-1,所以 + z =1-1=0.故选 A. 25 25 |z| 3-4i 7.对于复数 z1,z2,若(z1-i)z2=1,则称 z1 是 z2 的“错位共轭”复数,则复数 复数为( A.- C. ) 3 1 - i 6 2 B.- D. 3 3 + i 2 2 3 1 - i 的“错位共轭” 2 2 ) B.1 D.2 B.5+4i D.3+4i )

3 1 + i 6 2

3 3 + i 2 2

答案 D 解析 方法一:由(z-i)( 3 1 1 3 1 3 3 - i)=1,可得 z-i= = + i,所以 z= + i. 2 2 2 2 2 2 3 1 - i 2 2

方法二: (z-i)( 3 + i. 2

3 1 3 1 3 1 3 1 3 - i)=1 且| - i|=1, 所以 z-i 和 - i 是共轭复数, 即 z-i= + i, 故 z= 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8.已知向量 a,b 满足|a|=2,a2=2a· b,则|a-b|的最小值为( 1 A. 4 C.1 答案 C 1 B. 2 D.2

)

解析 根据已知由 a2=2a· b, 可得 2a· b=4 且|b|cosθ=1(其中 θ 为两向量夹角), 故|a-b|= a2+b2-2a· b =|b|= 1 ≥1,即当 cosθ=1 时取得最小值 1. cosθ )

→ → → → 9.如图所示,已知点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心,则(OA+OB)· (OA+OC)等于(

1 A. 9 1 C. 6 答案 D

1 B.- 9 1 D.- 6

解析 ∵点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心, → → → 3 2π ∴|OA|=|OB|=|OC|= ,∠AOB=∠BOC=∠AOC= . 3 3 → → → → → → → → → → → 3 3 2π 1 ∴(OA+OB)· (OA+OC)=OA2+OA· OC+OA· OB+OB· OC=( )2+3×( )2cos =- . 3 3 3 6 7 1 1 7 10.与向量 a=( , ),b=( ,- )的夹角相等,且模为 1 的向量是( 2 2 2 2 4 3 A.( ,- ) 5 5 4 3 4 3 B.( ,- )或(- , ) 5 5 5 5 2 2 1 C.( ,- ) 3 3 2 2 1 2 2 1 D.( ,- )或(- ,- ) 3 3 3 3 答案 B 解析 方法一:|a|=|b|,要使所求向量 e 与 a,b 夹角相等,只需 a· e=b· e. 7 1 4 3 1 7 4 3 5 ∵( , )· ( ,- )=( ,- )· ( ,- )= ,排除 C,D. 2 2 5 5 2 2 5 5 2 7 1 4 3 1 7 4 3 5 又∵( , )· (- , )=( ,- )· ( , )=- .∴排除 A. 2 2 5 5 2 2 5 5 2 → → 方法二:设 a=OA,b=OB.由已知得|a|=|b|,a⊥b,则与向量 a,b 的夹角相等的向量在∠AOB 的角 a+b 4 3 4 3 平分线上,与 a+b 共线.∵a+b=(4,-3),∴与 a+b 共线的单位向量为± =± ( ,- ),即( ,- ) 5 5 5 5 |a+b| 4 3 或(- , ). 5 5 → → → → → 11.若 O 为平面内任一点且(OB+OC-2OA)· (AB-AC)=0,则△ABC 是( A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形 ) )

答案 C → → → → → → → → → 解析 由(OB+OC-2OA)(AB-AC)=0,得(AB+AC)· (AB-AC)=0. → → → → ∴AB2-AC2=0,即|AB|=|AC|. ∴AB=AC. → → → 12.若平面内共线的 A,B,P 三点满足条件OP=a1OA+a4 027OB,其中{an}为等差数列,则 a2 014 等于 ( ) A.1 1 C.- 2 答案 D → → → 解析 由OP=a1OA+a4 027OB及向量共线的充要条件得 a1+a4 027=1. 又因为数列{an}为等差数列, 1 所以 2a2 014=a1+a4 027=1,故 a2 014= . 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 1- 3i 13.已知复数 z= , z 是 z 的共轭复数,则 z 的模等于________. 3+i 答案 1 1- 3i -i2- 3i -i?i+ 3? 解析 z= = = =-i,| z |=|i|=1. 3+i 3+i 3+i → → → → → 14.已知 A,B,C 是圆 O:x2+y2=1 上三点,OA+OB=OC,则AB· OA=________. 3 答案 - 2 → → 3 解析 由题意知,OACB 为菱形,且∠OAC=60° ,AB= 3,∴AB· OA= 3×1×cos150° =- . 2 π 15.已知向量 a,b 满足|a|=1,|a+b|= 7, 〈a,b〉= ,则|b|=________. 3 答案 2 π 解析 由|a+b|= 7,可得|a+b|2=a2+2a· b+b2=1+2×1×|b|cos +|b|2=7,所以|b|2+|b|-6=0,解 3 得|b|=2 或|b|=-3(舍去). 16.已知向量 a=(1,1),b=(2,n),若|a+b|=a· b,则 n=________. 答案 3 解析 易知 a+b=(3,n+1),a· b=2+n.∵|a+b|=a· b,∴ 32+?n+1?2=2+n,解得 n=3. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) B.-1 1 D. 2

→ → → 已知 A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),AB· AD=5,|AD|= 10. (1)求 D 点坐标; → → → (2)若 D 点在第二象限,用AB,AD表示AC; → → → → → (3)AE=(m,2),若 3AB+AC与AE垂直,求AE的坐标. 答案 (1)D(2,1)或 D(-2,3) → → → (2)AC=-AB+AD → (3)AE=(-14,2) → → 解析 (1)设 D(x,y),则AB=(1,2),AD=(x+1,y). → → ∴AB· AD=x+1+2y=5,(x+1)2+y2=10.
? ? ?x=2, ?x=-2, 解得? 或? ?y=1 ? ? ?y=3.

∴D(2,1)或 D(-2,3). → (2)由(1)可知AD=(-1,3). → → → 设AC=mAB+nAD, 即(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),
?-2=m-n, ?m=-1, → → → ? ? ∴? ∴? ∴AC=-AB+AD. ?1=2m+3n. ?n=1. ? ?

→ → → → → → (3)∵3AB+AC=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),AE=(m,2),且 3AB+AC与AE垂直, → → → ∴(3AB+AC)· AE=0. ∴m+14=0.∴m=-14. → ∴AE=(-14,2). 18.(本小题满分 12 分) π 已知向量 a=(sinθ,cosθ),与 b=( 3,1),其中 θ∈(0, ). 2 (1)若 a∥b,求 sinθ 和 cosθ 的值; (2)若 f(θ)=(a+b)2,求 f(θ)的值域. 答案 (1)sinθ= 3 1 ,cosθ= (2)(7,9] 2 2

解析 (1)∵a∥b, ∴sinθ· 1- 3cosθ=0,求得 tanθ= 3.

π π 3 1 又∵θ∈(0, ),∴θ= ,∴sinθ= ,cosθ= . 2 3 2 2 π (2)f(θ)=(sinθ+ 3)2+(cosθ+1)2=2 3sinθ+2cosθ+5=4sin(θ+ )+5. 6 π π π 2π 1 π 又∵θ∈(0, ),∴θ+ ∈( , ),∴ <sin(θ+ )≤1. 2 6 6 3 2 6 ∴7<f(θ)≤9,即函数 f(θ)的值域为(7,9]. 19.(本小题满分 12 分) → → → → 设△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足(2a+c)· BC· BA+c· CA· CB=0. (1)求角 B 的大小; → → (2)若 b=2 3.试求AB· CB的最小值. 2 答案 (1) π (2)-2 3 → → → → 解析 (1)因为(2a+c)BC· BA+cCA· CB=0, 所以(2a+c)accosB+cabcosC=0. 即(2a+c)cosB+bcosC=0. 则(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0. 所以 2sinAcosB+sin(C+B)=0. 1 2π 即 cosB=- ,所以 B= . 2 3 2π (2)因为 b2=a2+c2-2accos , 3 所以 12=a2+c2+ac≥3ac,即 ac≤4. 当且仅当 a=c 时取等号,此时 ac 最大值为 4. → → 2π 1 所以AB· CB=accos =- ac≥-2. 3 2 → → 即AB· CB的最小值为-2. 20.(本小题满分 12 分) π 2π 已知向量 a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数 f(x)=a· b,且 y=f(x)的图像过点( , 3)和点( ,-2). 12 3 (1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图像向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图像,若 y=g(x)图像上各最高点到 点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. π 答案 (1)m= 3,n=1 (2)[kπ- ,kπ],k∈Z 2 解析 (1)由题意知 f(x)=a· b=msin2x+ncos2x. π 2π 因为 y=f(x)的图像经过点( , 3)和( ,-2), 12 3

? 3=msin6+ncos6, 所以? 4π 4π ?-2=msin 3 +ncos 3 .
3 m+ n, ? 3=1 2 2 即? 3 1 ?-2=- 2 m-2n, 解得 m= 3,n=1. π (2)由(1)知 f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ). 6 π 由题意知 g(x)=f(x+φ)=2sin(2x+2φ+ ). 6 设 y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2), 由题意知 x2 0+1=1,所以 x0=0. 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). π 将其代入 y=g(x)得 sin(2φ+ )=1. 6 π 因为 0<φ<π,所以 φ= . 6 π 因此 g(x)=2sin(2x+ )=2cos2x. 2 π π 由 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ,k∈Z,所以函数 y=g(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ], 2 2 k∈Z. 21.(本小题满分 12 分) x x x 已知向量 m=( 3sin ,1),n=(cos ,cos2 ). 4 4 4 2π (1)若 m· n=1,求 cos( -x)的值; 3 (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函 数 f(A)的取值范围. 1 3 答案 (1)- (2)(1, ) 2 2 x x x 解析 (1)m· n= 3sin cos +cos2 4 4 4 x 1+cos 2 3 x x π 1 = sin + =sin( + )+ , 2 2 2 2 6 2 x π 1 ∵m· n=1,∴sin( + )= . 2 6 2 π x π 1 ∵cos(x+ )=1-2sin2( + )= , 3 2 6 2

π

π

2π π 1 ∴cos( -x)=-cos(x+ )=- . 3 3 2 (2)∵(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA≠0. 1 π 2π ∴cosB= .∵0<B<π,∴B= .∴0<A< . 2 3 3 π A π π A π 1 ∴ < + < ,∴sin( + )∈( ,1). 6 2 6 2 2 6 2 x π 1 又∵f(x)=sin( + )+ . 2 6 2 A π 1 ∴f(A)=sin( + )+ . 2 6 2 3 故函数 f(A)的取值范围是(1, ). 2 22.(本小题满分 12 分) → → → → → → → → → 已知平面上的两个向量OA,OB满足|OA|=a,|OB|=b,且OA⊥OB,a2+b2=4.向量OP=xOA+yOB(x, 1 1 y∈R),且 a2(x- )2+b2(y- )2=1. 2 2 → 1 → 1 → (1)如果点 M 为线段 AB 的中点,求证:MP=(x- )OA+(y- )OB; 2 2 → (2)求|OP|的最大值,并求出此时四边形 OAPB 面积的最大值. 答案 (1)略 → (2)|OP|的最大值为 2,此时四边形 OAPB 面积最大值为 2

→ 1 → → 解析 (1)因为点 M 为线段 AB 的中点,所以OM= (OA+OB). 2 → → → → → 1 → → 1 → 1 → 所以MP=OP-OM=(xOA+yOB)- (OA+OB)=(x- )OA+(y- )OB. 2 2 2 → → → → → 1→ (2)设点 M 为线段 AB 的中点,则由OA⊥OB,知|MA|=|MB|=|MO|= |AB|=1. 2 → → → 1 1 1 → 1 → 1 又由(1)及 a2(x- )2+b2(y- )2=1,得|MP|2=|OP-OM|2=(x- )2OA2+(y- )2OB2=a2(x- )2+b2(y- 2 2 2 2 2 → → → → 1→ 12 ) =1.所以|MP|=|MA|=|MB|=|MO|= |AB|=1, 所以 P, O, A, B 四点都在以 M 为圆心, 1 为半径的圆上. 所 2 2 → → → a2+b2 以当且仅当 OP 是直径时,|OP|max=2,这时四边形 OAPB 为矩形,则 S 四边形 OAPB=|OA|· |OB|=ab≤ = 2 2,当且仅当 a=b= 2时,四边形 OAPB 的面积最大值为 2.

1.已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析 当 a=b=1 时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,若(a+bi)2=2i,则有 a=b=-1 或 a=b=1,因 此选 A. 2.如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC 与 BD 的交点,N 是线段 OD 的中点,AN 的延长线 与 CD 交于点 E,则下列说法错误的是( )

→ → → A.AC=AB+AD → 1→ 1 → C.AO= AB+ AD 2 2 答案 D

→ → → B.BD=AD-AB → 5→ → D.AE= AB+AD 3

→ → → 解析 排除法.如题图,AC=AB+AD,故 A 正确. → → → BD=AD-AB,故 B 正确. → 1→ 1 → → 1→ 1 → AO= AC= (AD+AB)= AB+ AD,故 C 正确. 2 2 2 2 3.对于向量 a,b,c,给出下列四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a=|c|· b,c=|b|· a,则|a|=|b|=|c|=1; ③若|a|=|b|=2,则(a+b)⊥(a-b); ④若|a· b|=|b· c|且 b≠0,则|a|=|c|. 其中正确的命题序号是________. 答案 ③ 解析 当 b=0 时,①不正确;当 b=0 时,且 c=0 时,②不正确;③中,∵|a|=|b|=2,∴(a+b)· (a -b)=|a|2-|b|2=0.∴(a+b)⊥(a-b),故③正确;④中取 a≠0 且 a⊥b,而 c=0 时,则结论不正确,故④ 不正确. A A A A 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知向量 m=(2cos ,sin ),n=(cos ,-2sin ), 2 2 2 2 m· n=-1.

(1)求 cosA 的值;

(2)若 a=2 3,b=2,求 c 的值. 1 答案 (1)- (2)2 2 A A A A A A 解析 (1)∵m=(2cos ,sin ),n=(cos ,-2sin ),m· n=-1,∴2cos2 -2sin2 =-1,∴cosA=- 2 2 2 2 2 2 1 . 2 1 2π (2)由(1)知 cosA=- ,且 0<A<π,∴A= . 2 3 ∵a=2 3,b=2, a b 2 3 2 由正弦定理,得 = ,即 = . sinA sinB 2π sinB sin 3 1 π ∴sinB= .∵0<B<π,B<A,∴B= . 2 6 π ∴C=π-A-B= ,∴C=B.∴c=b=2. 6 A 5.已知向量 m=(sinx,1),n=( 3Acosx, cos2x)(A>0),函数 f(x)=m· n 的最大值为 6. 2 (1)求 A; π 1 (2)将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标 12 2 5π 不变,得到函数 y=g(x)的图像,求 g(x)在[0, ]上的值域. 24 答案 (1)A=6 (2)[-3,6] A 3 1 π 解析 (1)f(x)=m· n= 3Asinxcosx+ cos2x=A( sin2x+ cos2x)=Asin(2x+ ). 2 2 2 6 因为 A>0,由题意知 A=6. π (2)由(1)知 f(x)=6sin(2x+ ). 6 π 将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位后得到 12 π π π y=6sin[2(x+ )+ ]=6sin(2x+ )的图像; 12 6 3 1 π 再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 y=6sin(4x+ )的图像. 2 3 π 因此 g(x)=6sin(4x+ ). 3 5π π π 7π 因为 x∈[0, ],所以 4x+ ∈[ , ]. 24 3 3 6 5π 故 g(x)在[0, ]上的值域为[-3,6]. 24


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