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空间向量


一、空间向量的基本运算

(一)平面向量的坐标运算
1 : 若 点A(a1 , b1 ),点B(a2 , b2 ), 则AB ?(a2 ? a1 , b2 ? b1 )
2 : 若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则
?
? ?

?

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
?
?

?

?

?

? a ? (?x1 , ?y1 )
cos ? a , b ? ?
? ? ? ?

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
?

?

a? b

? ?

, | a |?

x ?y
2 1

2 1

| a || b |

(二)空间向量的坐标运算: 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) , 则
?

a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )
?

?

? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R)
?

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
? ?
? ?

a // b ?a ? ? b (? ? R) a ? b ? a ? b ? 0
| a |? a ? a ? a
2 1 2 2 ? 2 3

?

?

cos ? a , b ? ?

? ?

? ?

a? b

? ?

| a || b |

活学活用:已知

? ? a ? (2,?3,5), b ? (?3,1,?4),
? ?



? ? ? ? ? ? ? a ? b, | a |, ? 2a , (a ? b ) ? b cos ? a , b ?

平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在

直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量.
l
?

n

?

?

a

已 几点注意: 知平面 ?的 法 向 量n , 平 面 ?内 有 ? ? ; 1.法向量一定是非零向量 两2. 个 不共线的向量 a 和 b,则 满 足 一个平面的所有法向量都 ? ? 互相平行; n? a ? 0
?
?

b

n? b ? 0

?

问题:如何求平面的法向量?
⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
? ?n ? a ? 0 组? ? ?n ? b ? 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

? 例1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z A1 B1 C1 D1

A

A O D C

y

x

B

1.已知点A(1,1,2),B(3,3,3),C(5,6,5) 求平面ABC的一个单位法向量。
2.若 a=(1,2,3)是平面γ 的一个法向量,则下列向量能 作为平面γ 的法向量的是( ) A.(0,1,2) B.(3,6,9) C.(-1,-2,3) D.(3,6,8)

二、用空间向量处理“平行”问题
设直线 a,b,平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v

线线平行

a∥b ? a ∥ b ? a ? kb ;

线面平行 a∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

面面平行

? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .

例2:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, E、F分别是BB1、DD1的中点,求证: (1)FC1 ∥AE (2)FC1∥平面ADE; (3)平面ADE∥平面B1C1F.

例3.如图,在四棱锥 P ? ABCD中,底面ABCD 是直角梯形, BC // AD,AD ? 2AB ? 2BC.在棱 PA上是否存在一点 E,使得PC // 平面EBD?若 存在,说明点 E的位置;若不存在,说 明理由。
P

E A D

B

C

C

ABCD与ABEF是正方形, CB⊥平面ABEF, H、G分别是AC、BF上的点, 且AH=GF. 求证:HG∥平面CBE.
x
E H oB G y

z F

活学活用1:如图:

D

A


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