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ch2-4-6导数计算


六、隐函数的导数及对数求导法
1、隐函数的导数 定义: 由方程所确定的函数 y ? y( x )称为隐函数 .
y ? f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) ? 0
y ? f ( x)

隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?



y 7 ? 3 y 2 ?12x ? 5x3 ? 0

e ?x? y ?0
xy

隐函数求导法则:

用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

例1 求由方程 xy ? e x ? e y ? 0所确定的隐函数

dy dy y的导数 , dx dx


x ?0

.

方程两边对x求导, y ? y?x ? dy x y dy y? x ?e ?e ?0 dx dx
解得 dy ? e ? y , 由原方程知 x ? 0, y ? 0, y
x

dx

dy ? dx

x?0

x?e ex ? y ? x?ey

x?0 y?0

? 1.

例2 设曲线C的方程为 x 3 ? y 3 ? 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点.

解 方程两边对x求导,
? y? y ? x2 ? 2 y ?x

3 x 2 ? 3 y 2 y? ? 3 y ? 3 xy?

33 ( , ) 22

3 3 ( , ) 2 2

? ?1.

3 3 所求切线方程为 y ? ? ?( x ? ) 即 x ? y ? 3 ? 0. 2 2 3 3 法线方程为 y ? ? x ? 即 y ? x , 显然通过原点. 2 2

2、对数求导法
例如:
( x ? 1)3 x ? 1 y? , 2 x ( x ? 4) e y ? x sin x .

方法:

先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求 导方法求出导数. 适用范围:

多个函数相乘和幂指函 u( x )v ( x )的情形. 数

例3 两边取对数 a ln y ? x ln ? a [ ln b ? ln x ] ?b [ ln x ? ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y? ? ln ? ? b x x y

( x ? 1)3 x ? 1 例4 设 y ? , 求y?. 2 x ( x ? 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y ? ln( x ? 1) ? ln( x ? 1) ? 2 ln( x ? 4) ? x 3 上式两边对x求导得

y? 1 1 2 ? ? ? ?1 y x ? 1 3( x ? 1) x ? 4
( x ? 1)3 x ? 1 1 1 2 ? y? ? [ ? ? ? 1] 2 x x ? 1 3( x ? 1) x ? 4 ( x ? 4) e

例5 设 y ? x sin x ( x ? 0), 求y?. 解
等式两边取对数得

ln y ? sin x ? ln x

上式两边对x求导得

1 1 y ? ? cos x ? ln x ? sin x ? y x 1 ? y ? ? y(cos x ? ln x ? sin x ? ) x sin x sin x ? x (cos x ? ln x ? ) x
另解: y ? e sin x ln x

y? ? e

sin x ln x

?x

sin x

sin x (cos x ln x ? ) x

sin x ? (cos x ln x ? ) x

例6 求曲线x y ? y x ? 1在( , 32 )点处的切线方程。
解: 原方程变形为

e

y ln x

?e

x ln y

?1

方程两边求导数:

e

y ln x

x y x ln y (ln y ? y?) ? 0 ( y? ln x ? ) ? e y x

代入x ? 3, y ? 2得:

y? ?

6 ? 8 ln 2 12 ? 9 ln 3

所求切线方程为: y ? 2 ? 6 ? 8 ln 2 ( x ? 3) 12 ? 9 ln 3

七、由参数方程所确定的函数的求导法则
? x ? ? (t ) 若参数方程? 确定 y与x间的函数关系 , ? y ? ? (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.

? x ? 2t , x 例如 ? 消去参数 t t? 2 ?y ? t , 2 2 x 2 x 1 2 ?y?t ?( ) ? ? y? ? x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?

? x ? ? (t ) 在方程? 中, ? y ? ? (t )

设函数x ? ? (t )具有单调连续的反函数t ? ? ?1 ( x ), ? y ? ? [? ?1 ( x )]
再设函数 x ? ? ( t ), y ? ? ( t )都可导, 且? ?( t ) ? 0,
由复合函数及反函数的求导法则得

dy dy dt dy 1 ? ?( t ) ? ? ? ? ? dx dt dx dt dx ? ?( t ) dt

dy dy 即 ? dt dx dx dt

例7 设函数
t

y ? y?x ?

由参数方程

? x ? e cos t dy 所确定 , 求 ? t dx ? y ? e sin t
解:

dy e sin t ? e cost ? t t dx e cost ? e sin t
t t

sin t ? cos t ? cos t ? sin t

? ? x ? a ( t ? sin t ) 例8 求摆线 ? 在t ? 处的切线 2 ? y ? a (1 ? cos t ) 方程 .
dy a sin t sin t dy dt ? 解 ? ? dx dx a ? a cos t 1 ? cos t dt ? sin dy 2 ? 1. 当 t ? ? 时, x ? a(? ? 1), y ? a . ? ? ? ? dx t ? 2 2 2 1 ? cos 2 ?
所求切线方程为

y ? a ? x ? a( ? 1) 2 ? 即 y ? x ? a( 2 ? ) 2

例9

设由方程

?x ? t 2 ? 2 t (0 ? ? ? 1) ? 2 ? t ? y ? ? sin y ? 1

确定函数 y ? y (x) , 求
解: 方程组两边对 t 求导 ,得

dx ? 2t ? 2 dt dy dy ? ? cos y 2t ? ?0 dt dt


dx ? 2 (t ? 1) dt dy 2t ? d t 1 ? ? cos y

t d y d y dx ? ? dt (t ? 1)(1 ? ? cos y ) dx dt

八、极坐标系下曲线的切线问题
极坐标系下的曲线 ? ? ? ?? ? ,
当? ?? ?在?可导时,就可以求? ?,? ?点处的切线, 为求切线,先求切线的 斜率,
将极坐标系下的方程改写成直角坐标系下以?为参数的 参数方程:

? x ? ? ?? ? cos? ? ? y ? ? ?? ?sin?

利用参数方程所确定的函数y ? y? x ?的求导法则, 可求出切线的斜率

dy dy d? ? ??? ? sin? ? ? ?? ? cos? ? ? dx dx ? ??? ? cos? ? ? ?? ? sin? d?
于是可以写出切线方程. 例10 求阿基米德螺线

? ? a?

?a ? 0?

对应于点

??


?
2

处的切线方程和法线方程的直角坐标形式.

阿基米德螺线

? ? a? 在直角坐标系下以?

为参数的参数方程为

? x ? a? cos? ? ? y ? a? sin?

于是,由此参数方程所 确定的y ? y( x )的导数为:

dy dy d? a sin? ? a? cos? ? ? dx dx a cos? ? a? sin? d?
曲线上对应于点? ?

?

dy a sin? ? a? cos? k切 ? ? dx ? a cos? ? a? sin?
2

2

处的切线斜率为

?
2

??

2

?

法线斜率为

k法 ?

?
2

直角坐标系中对应于点

??

?
2

? a? ? ? 的坐标为 ? 0, ? 2 ?

所求切线的直角坐标方程为

a? 2 y? ?? x 2 ?
所求法线的直角坐标方程为

a? 即 y?? x? ? 2 2

a? ? y? ? x 2 2



a? y? x? 2 2

?

内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导

2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化

极坐标方程求导

思考题

1. 设 y ? (sin x) y1

tan x

?

x x
ln x

3

2? x , 求 y ?. 2 (2 ? x)

y2 ? ? 提示: 分别用对数微分法求 y1 , y2 .
答案:

? ? y? ? y1 ? y2
? (sin x)
? 1 x
ln x

tan x

(sec x ? ln sin x ? 1)
2

3

3? x x 2x ? 2 ? 1 ? 2 ln x ? 3(2 ? x) 3(2 ? x) (2 ? x)

?

2. 设 解: 方法1

求其反函数的导数 .

方法2 等式两边同时对 y 求导

3. 设

,求

解: 方程组两边同时对 t 求导, 得

dy ? dx

t ?0



常见的几种曲线极坐标 方程
(1) 圆 r ? a cos?
0.4

( 2) 圆 r ? a sin?
1 0.8 0.6

( 3) r ? a(1 ? cos? )
1

0.2

0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5

1

1.5

2

-0.2

0.4 0.2

-0.5

-0.4

-1

-0.4 -0.2

0.2 0.4

(4) r ? a(1 ? cos? )
1

(5) r ? a(1 ? sin ? )

(6) r ? a(1 ? sin ? )
2

-1
0.5

-0.5

0.5

1

1.5

-0.5
1
-2 -1.5 -1 -0.5

-1
-0.5

0.5

-1

-1.5
-1 -0.5 0.5 1

-2

(7)三叶玫瑰线 r ? a sin3?

(8) r ? a?
1

-2 -1 -2 -3 -4

2

4

6

(9) r ? cos2?
2

(10) r ? sin 2?
2

y

y

x

x


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