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浙江省杭州学军中学2013学年第一学期期中考试 理科数学

杭州学军中学高三第三次月考数学试卷
一、选择题(大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.已知全集 U ? R, 集合A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2 ? 1}, 则CU ( A ? B) ?
x





A. (??,1)

B. (1,??)

C. (??,1]

D. [1,??) )

2.已知 a, b 是实数,则“ | a ? b |? a ? b ”是“ ab ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.函数 y ? 3 cos?2 x ? ? ?的图像向右平移

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ?? ? 后关于点 ? ,0 ? 对称, 那么 ? 的最小值为( ) 3 ?6 ?
C.

A.

5? 6

B.

? 2

? 3
)

D.

? 6

4.正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5xy ,则 3x ? 4 y 的最小值是( A.

24 5

B.

28 5

C. 5

D. 6

5. 若 f ( x) ? 1 ?

1 , 当 x ? [ 0 , 1 ] , f ( x) ? x , 若 在 区 间 ? ?1,1? 内 , 时 f ( x ? 1)
m?x 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( m
B. ? , ?? ? )

g ( x)?
A. ? 0, ?

f ( x? )

? 1? ? 2?

?1 ?2

? ?

C. ? 0, ?

? 1? ? 3?

D. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

6. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x)为奇函数,且f ( x)关于x ? 1对称 , 且 x ? (?1,0) 时 ,

f ( x )? x2?
A. 1

1 则 f (log 2 20) ? ( , 5 4 B. 5

)[来源:学#科#网 Z#X#X#K] C. ?1 D. ?

4 5


7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n 且满足 S 24 ? 0, S 25 ? 0 ,记 bn ? a n 则 bn 最小时, n 的值为 A. 11 ( B.12 ) C.13 D.14

8.若函数 y ? e A. a ? ?3

( a ?1) x

? 4 x ( x ?R )有大于零的极值点,则实数 a 范围是
B. a ? ?3 C. a ? ?





1 3

D. a ? ?

1 3

9.将 2 个相同的 a 和 2 个相同的 b 共 4 个字母填在 3 ? 3 的方格内,每个小方格内至多填 1 个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法种数为 A.196 B.197 C.198 D.199 ( )

??? ???? ? 10.在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 9,sin B ? cos A ? sin C , S ?ABC ? 6 ,P 为线段 AB 上的点,
??? ? ??? ? ??? ? CA CB ? ? 且 CP ? x ? ??? ? y ? ??? , 则xy 的最大值为( | CA | | CB |
A.1 B.2 C.3 二、填空题(大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知向量 a、b ,其中 a ? 12. (2 x ? ) D.4

2 , b ? 2 ,且 a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是 (

a x

) 6 的展开式中

1 的系数为 12,则实数 a 的值为_____ x2
1 ? an , 则{an } 的前 10 项的和等于 1 ? an

13.数列 {an }满足a1 ?

2, an ?1 ?

14. 若 ? ? ?

? 1 ? ?? ? , ? ? , tan(? ? ) ? , 求 sin(2? ? ) ? 6 7 3 ?2 ?
?e x ? 1, x ? 0 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
*

15.已知 f ( x) ? ?

, 则方程f ( x) ? x ? 0在区间[0,5) 上所有实根和为

16.设 X n ? {1, 2,3? n}(n ? N ) ,对 X n 的任意非空子集 A,定义 f ( A) 为 A 中的最大元素, 当 A 取遍 X n 的所有非空子集时,对应的 f ( A) 的和为 S n ,则 S 5 ? 17.对任意实数 x ? 0 , y ? 0 .若不等式 x ?

xy ? a ( x ? 2 y ) 恒成立,则实数 a 的最小值

为 三、解答题(大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) 已知向量 a = (1,2) ,b = (cos?,sin?), m = a ? t b( t 为实数) 设 . (1)求 a ? b 的最大值 (2)若 a ⊥ b ,问:是否存在实数 t ,使得向量 a – b 和向量 m 的夹角为 请求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

? ,若存在, 4

19.本题满分 14 分) ( 在△ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 角 已知 sin B ? 成等比数列。

5 且 a, b, c 13 ,

1 1 + 的值; tan A tan C ??? ??? ? ? (II)若 BA ? BC ? 12 ,求 a ? c 的值。
(I)求

20. (本小题满分 14 分)设公比大于零的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 ,

S 4 ? 5S 2 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,满足 b1 ? 1, Tn ? n 2 bn , n ? N * .
(1)求数列 {a n } 、 {bn } 的通项公式; (2) C n ? ( S n ? 1)( nbn ? ? ), 若数列{C n } 是单调递减数列, 设 求实数 ? 的取值范围.

21(本小题满分 15) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d , 设曲线 y ? f (x) 在与 x 轴交点处的 切线为 3 y ? 4 x ? 12 , f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .
f ?( x) , m ? 0 ,求函数 g ( x) 在 [0, m] 上的最大值;

(1)设 g ( x) ? x

(2)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立, 求实数 t 的取值范围.

22.(本题满分 15) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) . (1)若 a ?

1 ,求函数 y ?| f ( x) | 的单调区间; e ?1
ax 2 (1 ? 2a ? ea) x 恒成立,求 a 的取值范围. ? e e2

(2)若不等式 f ( x) ? ?

( e 为自然对数的底数)