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高中数学必修一全册复习人教版


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必修1全册复习

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一、集合 二、函数 三、初等函数 四、函数应用 五、函数的零点与二分法

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一、集合的概念
1、集合:把研究对象称为元素,

把一些元素组成的总体叫做集合
2、元素与集合的关系:? 或 ? 3、元素的特性:确定性、互异性、无序性

4、常用数集:N 、N、Z、Q、R

?

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二、集合的表示
1、列举法:把集合中的元素一一列举出 来,并放在{ }内 2、描述法:用文字或公式等描述出元素 的特性,并放在{ }内

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例1、已知x ?{1,2, x }, 则x ? 0或2
2

例2、已知集合A ? {x | ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R},
2

若A中元素至多只有一个,求a的取值范围

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三、集合间的基本关系
1、子集:对于两个集合A,B如果集合A 中的任何一个元素都是集合B的元素,我 们称A为B的子集 2、集合相等: A ? B, B ? A ? A ? B 3、空集:规定空集是任何集合的子 集,是任何非空集合的真子集

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例3、若集合A ? {x | ?2 ? x ? 4}, B ? {x | x ? a}, 满足A ? B,求a的取值范围

例4、若集合A ? {x | x ? x ? 6 ? 0},
2

B ? {x | ax ? 1 ? 0}, 且B ? A, 求由a组成的集合

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四、集合的并集、交集、全集、补集

1、A ? B ? {x | x ? A或x ? B}

2、A ? B ? {x | x ? A且x ? B}

3、CU A ? {x | x ? U且x ? A}
全集:某集合含有我们所研究的各个 集合的全部元素,用U表示

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例6、已知集合A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? k ? 0}, (1)若A ? B ? ? , 求k的取值范围 (2)若A ? B ? A, 求k的取值范围

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一、函数的概念:

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设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应, 那么就称f:A ? B为从集合A到集合B的一个 函数。记作y ? f(x),x ? A 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函 数值的集合? f ( x) x ? A? 叫做函数的值域。

例2、下列题中两个函数是否表示同一个函数
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1) f ( x) ? x 2) f ( x ) ? x 3) f ( x) ? x
2

g ( x) ? ( x ) g ( x) ? x g ( x) ? x
3 2

2

3

x ?4 4) f ( x ) ? x?2 5) f ( x) ? ( x ? 2)
2

g ( x) ? x ? 2 g ( x) ? x ? 2

二、函数的定义域 1、具体函数的定义域
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例3、求下列函数的定义域

4? x ( x ? 4) 1) f ( x) ? ? x ?1 log 2 ( x ? 1)
3 0

x?0 ?x 2) f ( x) ? ? x?0 ?? x

2、抽象函数的定义域
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1)已知函数y=f(x)的定义域是[1,3], 求f(2x-1)的定义域 2)已知函数y=f(x-2)的定义域是[1,3], 求f(2x+3)的定义域 3)已知函数y=f(x+2)的定义域是[-1,0], 求f(2x-1)的定义域 4)已知函数y=f(x)的定义域是[0,5), 求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域

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例4、若f ( x) ?

3 2

ax ? 1

ax ? 4ax ? 3 求实数a的取值范围。

的定义域为R

三、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 像 法

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例 (1)已知f ( x) ? x ? 4 x ? 3, 求f ( x ? 1)
2

(2)已知f ( x ? 1) ? x ? 2 x, 求f ( x)
2

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?x ? 3 x?0 ? (3)已知f ( x) ? ? 1 x ? 0 ,求f [ f (?4)] ?x ? 4 x ? 0 ?
2

?x ?1 (4)已知f ( x) ? x ? 1,g ( x) ? ? ?2 ? x
2

x?0 x?0

求f [ g ( x)]与g[ f ( x)]

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1.已知f [ f ( x)] ? 4 x ?1,求一次函数f ( x)的解析式

2.已知函数F ( x) ? f ( x) ? g ( x),其中f ( x)是正 1 比例函数,g ( x)是反比例函数,且F ( ) ? 16 3 F (1) ? 8,求F ( x)的解析式。

3.定义在R上的函数f ( x)满足2 f ( x) ? f (? x) ? 2 x, 求f ( x)的解析式

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函数单调性:

增函数、减函数、单调函数是 对整个
定义域而言。有的函数不是单调函数,但

在某个区间上可以有单调性。

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用定义证明函数单调性的步骤: (1). 设x1<x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)-f(x2) ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号: (4). 作结论.

k 讨论函数f (x) = ( k≠0 ) x
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在(0, +∞)上的单调性.

求y ? 2 sin( ?2 x ? )的单调减区间 6

?

求函数y ? log 2

( x 2 ?2 x )

的单调减区间

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函数的奇偶性
1.奇函数:对任意的 x ? I ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 2.偶函数:对任意的 x ? I ,都有 f (? x) ? f ( x) 3.奇函数和偶函数的必要条件:

定义域关于原点对称. 注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定
义域区间是否关于原点对称!

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奇(偶)函数的一些特征
1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则 f(0)=0. 2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区 间上不改变单调性. 3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间 上改变单调性

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例1、判断下列函数的奇偶性

(1) f ?x ? ? x ? 1 ? x ? 1

3 (2) f ?x ? ? 2 x

1 (3) f ?x ? ? x ? x
2

(4) f ?x ? ? x , x ? ?? 2,3?

http://www.jiedu.org/bcgspm61/

且当x ? 0时,f ?x ? ? x ? x ? 2 , 求f ?x ?的表达式

例2、已知f ?x ?是R上的奇函数,

http://www.jiedu.org/bwin63/

例3、已知f ?x ?是奇函数,且在?3, 7?是 增函数,且最大值是4,那么f ?x ? 在?? 7, ? 3?上是

函数

且最

值是

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已知f ?? 7 ? ? 17, 求f ?7 ?的值

例4、设f ?x ? ? ax ? bx ? 5,
7

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例5、已知f ?x ?为奇函数,g ?x ?为偶函数, 1 且f ?x ? ? g ?x ? ? ,求f ?x ?、g ?x ?的解析式 x ?1

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例6、f ?x ?是定义在?? 1, 1?上的减函数,

若f ?2 ? a ? ? f ?3 ? a ? ? 0, 求a的取值范围

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且当x ? ?0, ? ? ?时是增函数,若f ?1? ? 0, ? ? 1 ?? 求不等式f ? x ? ? x ? ?? ? 0的解集 2 ?? ? ?

例7、函数y ? f ?x ?是定义在R上的奇函数,

http://www.jiedu.org/jsbf65/

且在区间?0, 1?上是减函数,f ?1 ? a ? ? f ?1 ? 2a ? ? 0, 求实数a的取值范围

例8、已知f ?x ?是定义在区间?? 1, 1?上的奇函数,

例9、某产品单价是120元可销售80万件,
http://www.jiedu.org/365ylc39/

市场调查后发现规律为降价x元可多 销售2 x万件,写出销售金额y(万元)与x 的函数关系式,并求当降价多少元时, 销售金额最大?最大是多少?

返回

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整数指数幂 有理指数幂

定义

指数

对数
运算性质

无理指数幂

定义

定义

指数函数
图象与性质

对数函数
图象与性质
返回

幂函数

http://www.jiedu.org/28365365ylc4/

指数幂与根式运算
1.指数幂的运算性质

(1)a ? a ? a
m n

m?n

(2)(a ) ?a
m n
m

mn

a m?n (3) n ? a a

(4)(ab) ? a ? b
n n

n

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2.a的n次方根
如果 x ? a,(n>1,且n ? N ? ),那么x就叫做a 的n次方根.
n

(1)当n为奇数时,a的n次方根为 中 正 ?正
n n

n

a ,其

负 ? 负.

(2)当n为偶数时,a>0时,a的n次方根

为 ? n a ;a<0时,a的n次方根不存在.

http://www.jiedu.org/lswjsdc59/

3.根式
式子 a (n ? 1, 且n ? N ) 叫做根式,其
n ?

中n叫做根指数,a叫做被开方数. 根式
n

a 对任意实数a都有意义,当

n

n为正奇数时,n a n ? a ,当n为正偶数 ? 时, n n ?a , a ? 0 a ?| a |? ? ? ?? a , a ? 0

http://www.jiedu.org/qtw64/

4.分数指数幂
(1)正数的分数指数幂: ? 当a ? 0, m, n ? N , n ? 1时,规定

a

m n

a (2)零的正分数指数幂为零,零

?

n

a

m

,a

?

m n

?

1
n m

的负分数指数幂没有意义

一般地,如果 a ? N ?a ? 0, 且a ? 1?,那么数x 叫做以a为底N的对数,N叫做真数。
http://www.jiedu.org/mglhj62/

x

当a>0, a ? 1 时, a
常用关系式:

x

? N ? x ? log a N.

负数和零没有对数;

log a 1 ? 0, log a a ? 1, a
log a a ? x
x

loga N

?N

http://www.jiedu.org/dbjs10/

对数运算性质如下:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么:
(1)

log a (M ? N) ? log a M ? log a N;

M (2) log ? log a M ? log a N; a N
(3)

log a M ? n log a M(n ? R ).
n

http://www.jiedu.org/amylyl13/

几个重要公式
n (1) log a m b ? log a b m log c b (2) log a b ? (换底公式) log c a 1 (3) log a b ? log b a
n

(4) log a b ? log b c ? log c d ? log a d

http://www.jiedu.org/amylwz17/

指数函数的概念

指数 自变量 函数

y = a 叫作指数函数

x

底数(a>0且a≠1) 常数

a>1


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0<a<1



性 质

定义域为(-∞,+ ∞ ),值域为(0,+ ∞ )

图像都过点(0,1),当x=0时,y=1
当x>0时,y>1;x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1;x<0时,y>1

是R上的增函数

是R上的减函数

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比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小 比较,可以利用指数函数的单调性来判断.

(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大 小比较,可以利用比商法来判断.
(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的 大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.

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比较下列各题中两数值的大小

(1)1.72.5,1.73. (2) 0.8-0.1 ,0.8-0.2
(3)

2.1 ,0.4

3.4

2.8

(4)

2 ,3

1 3

1 3

对数函数y=logax (a>0,且a≠1)
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a>1 图 象 性 质
y 0 (1,0)

0<a<1
y x
0 (1,0) x

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 过点(1 ,0), 即当x =1时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

当x>1时,y>0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y<0

当x>1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0

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重要结论
在logab中,当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时,有logab>0;当a,b
不同在(0,1) 内,或不同在(1,+∞) 内时,有logab<0.

例1.比较下列各组数中两个值 的大小:
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(1) log23.4 , log28.5 ;
(2) log0.31.8 , log0.32.7; (3) log3 , log20.8. (4) log67, log76;

?

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小 结 比较大小的方法
(1) 利用函数单调性(同底数) (2) 利用中间值(如:0,1.) (3) 变形后比较
(4) 作差比较

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2.填空题:
(1)y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是 2 2 {x ︳x>7 且x≠ 5 }
(2)y= lg(8 ? x 2 ) 的定义域是

[? 7 , 7 ]

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1.将log0.70.8, log1.10.9, 由小到大排列.

0.9 1.1

2. 若1<x<10,试比较lgx ,(lgx) 与lg(lgx)的大小.

2

2

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lg(x - 3) 3.已知3 <1,求x的范围.

4.已知logm5>logn5,试确定m和n 的大小关系.

指数函数与对数函数
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图 象 间 的 关 系

指数函数与对数函数
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图 像 间 的 关 系

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1? x 例1. 设f(x)= log a a> 0 , 1? x 且a≠1, (1) 求f(x)的定义域;

(2) 当a>1时,求使f(x)>0的 x的取值范围.

函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变 量,α是常数.
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y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫 做该函数的零点。即f(x)=0的解。 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

? 函数y=f(x)有零点 ?

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若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续 曲线,且f(a)f(b)<0,则在(a,b) 内至少有一个零点,即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。

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已知函数f ?x ?的图象是连续不断的, 且有如下的x, f ?x ?的对应值表:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f ?x ? 14

8 ? 2 2 7 3 ? 2 ?1 8

问:函数f ?x?在哪几个区间内有零点?为什么?


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