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第十三章 推理证明、算法、复数


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第1讲 合情推理与演绎推理
【2013 年高考会这样考】 1.从近年来的新课标高考来看,高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现,主要考 查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论,试题的难度以低、中档题为主. 2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题. 【复习指导】 本讲复习时,要注意做好以下两点:一要联系具体实例,体会和领悟归纳推理、类比推理、 演绎推理的原理、内涵及特点,并会用这些方法分析、解决具体问题.二由于归纳、类比、 演绎推理思维方式贯穿于高中数学的整个知识体系,所以复习时要有意识地培养逻辑分析等 方面的训练.

基础梳理 1.合情推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由 部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再 进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.

2.演绎推理 (1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎

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推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

一条规律 在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则,只抓住一点表面现 象的相似甚至假象就去类比,那么就会犯机械类比的错误. 两个防范 (1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. (2)演绎推理是由一般到特殊的推理, 它常用来证明和推理数学问题, 注意推理过程的严密性, 书写格式的规范性. 双基自测 1.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28 B.32 C.33 ). D.27

2.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○?,按这种 规律往下排,那么第 36 个圆的颜色应是( A.白色 C.白色可能性大 3.给出下列三个类比结论: ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· 2. b+b 其中结论正确的个数是( A.0 B.1 ). C.2 D.3 ). B.黑色 D.黑色可能性大

?1? ?1? 4. “因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提), y=?3?x 是指数函数(小前提), 而 所以函数 y=?3? ? ? ? ?
x

是增函数(结论)”,上面推理的错误在于(

).

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A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错 5.设函数 f(x)= x (x>0) x+2 x , x+2

观察:f1(x)=f(x)= f2(x)=f(f1(x))= f3(x)=f(f2(x))= f4(x)=f(f3(x))=

x , 3x+4 x , 7x+8 x ,?? 15x+16

根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.

考向一 【例 1】?观察下列等式:

归纳推理

可以推测:13+23+33+?+n3=________(n∈N*,用含有 n 的代数式表示).

【训练 1】已知经过计算和验证有下列正确的不等式: 3+ 17<2 10, 7.5+ 12.5<2 10, 8+ 2+ 12- 2<2 10,根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数 m,n 都成立的条 件不等式________.

考向二

类比推理

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【例 2】?在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半径为 r,则三角 1 形面积为 S△ABC=2(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD 的四个面的 面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r,则四面体的体积为________”.

【训练 2】 已知命题:“若数列{an}为等差数列,且 am=a,an=b(m<n,m,n∈N*),则 am
+n



b· n-a· m ”.现已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列,且 bm=a,bn=b(m<n,m,n n-m

∈N*),若类比上述结论,则可得到 bm+n=________.

考向三

演绎推理

n+2 【例 3】?数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n Sn(n∈N+).证明:
?Sn? (1)数列? n ?是等比数列; ? ?

(2)Sn+1=4an.

【训练 3】 已知函数 f(x)= (1)判定函数 f(x)的奇偶性;

2x-1 (x∈R). 2x+1

(2)判定函数 f(x)在 R 上的单调性,并证明.

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难点突破 25——高考中归纳推理与类比推理问题的求解策略 从近两年新课标高考试题可以看出高考对归纳推理与类比推理的考查主要以填空题的形式出 现,难度为中等,常常以不等式、立体几何、解析几何、函数、数列等为载体来考查归纳推 理与类比推理. 一、归纳推理 【示例】观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第五个等式应为________.

二、类比推理 【示例】? 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类 T16 比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,______,T 成等比数列.
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第2讲
【2013 年高考会这样考】

直接证明与间接证明

1.在历年的高考中,证明方法是常考内容,考查的主要方式是对它们原理的理解和用法.难 度多为中档题,也有高档题. 2.从考查形式上看,主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体,
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考查综合法、分析法、反证法等方法. 【复习指导】 在备考中,对本部分的内容,要抓住关键,即分析法、综合法、反证法,要搞清三种方法的 特点,把握三种方法在解决问题中的一般步骤,熟悉三种方法适用于解决的问题的类型,同 时 也 要 加 强 训 练 , 达 到 熟 能 生 巧 , 有 效 运 用 它 们 的 目 的. 基础梳理 1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. ②框图表示: P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →?→ Qn?Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要证的结论). (2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫做 分析法. ②框图表示: Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 得到一个明显成立的条件 . 2.间接证明 一般地,由证明 p?q 转向证明:綈 q?r???t. t 与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定綈 q 为假,推出 q 为真的方法,叫做反证法.

一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件、基 础知识之间的关系,找到解决问题的思路,再运用综合法证明,或者在证明时将两种方法交

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叉使用. 两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用假设命题 推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的. (2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)?”“即要 证?”“就要证?”等分析到一个明显成立的结论 P,再说明所要证明的数学问题成立. 双基自测 b d 1. p= ab+ cd, q= ma+nc· m+n(m、 a、 c、 均为正数), p、 的大小为( n、 b、 d 则 q A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定 ). ).

2.设 a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则 a 与 b 大小关系为( A.a>b C.a=b B.a<b D.a≤b

3.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为( A.a,b,c 都是奇数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 4.设 a、b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( A.b-a>0 B.a3+b3<0 C.a2-b2<0 ). B.a,b,c 都是偶数

).

D.b+a>0

5.在用反证法证明数学命题时,如果原命题的否定事项不止一个时,必须将结论的否定情况 逐一驳倒,才能肯定原命题的正确. 例如: 在△ABC 中, AB=AC, 是△ABC 内一点, 若 P ∠APB>∠APC, 求证: ∠BAP<∠CAP, 用 类. 考向一 综合法的应用 反 证 法 证 明 时 应 分 : 假 设 ________ 和 ________ 两

a2 b2 c2 【例 1】?设 a,b,c>0,证明: b + c + a ≥a+b+c.

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1 1 【训练 1】 设 a,b 为互不相等的正数,且 a+b=1,证明:a+b>4.

考向二

分析法的应用

?a+mb?2 a2+mb2 ?≤ 【例 2】?已知 m>0,a,b∈R,求证:? . 1+m ? 1+m ?

. 【训练 2】 已知 a,b,m 都是正数,且 a<b. 求证: a+m a > . b+m b

考向三 x-2 【例 3】?已知函数 f(x)=ax+ (a>1). x+1

反证法的应用

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明 f(x)=0 没有负根.

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【训练 3】 已知 a,b 为非零向量,且 a,b 不平行,求证:向量 a+b 与 a-b 不平行.

规范解答 24——怎样用反证法证明问题 【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法,其基本特点是反设结论,导出矛盾,当问题从 正面证明无法入手时,就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中,对反证法的考查往往是在 试题中某个重要的步骤进行. 【解决方案】 首先反设,且反设必须恰当,然后再推理、得出矛盾,最后肯定. 【示例】设直线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数 k1,k2 满足 k1k2+2=0. (1)证明 l1 与 l2 相交; (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上.

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【试一试】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.

第3讲
【2013 年高考会这样考】

程序框图与算法语句

1.程序框图作为计算机科学的基础,是历年来高考的一个必考点,多以选择、填空题的形式 出现,一般中档偏易,多与分段函数、数列、统计等综合考查. 2.重点考查程序框图的应用,有时也考查基本的算法语句.注重程序框图的输出功能、程序 框图的补充,以及算法思想和基本的运算能力、逻辑思维能力的考查. 【复习指导】 1.本讲复习时,准确理解算法的基本概念、理解程序框图的含义和作用是解题的关键,所以 复习时要立足双基,抓好基础,对算法语句的复习不需过难,仅需理解几种基本的算法语句. 2.复习算法的重点应放在读懂程序框图上,尤其要重视循环结构的程序框图,弄清当型与直 到 型 循 环 结 构 的 区 别 , 以 及 进 入 、 退 出 循 环 的 条 件 、 循 环 的 次 数.

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基础梳理 1.算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明 确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2.程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法 的图形.通常程序框图由程序框和流程线组成,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个 步骤,流程线带方向箭头,按照算法进行的顺序将程序框连接起来. 3.三种基本逻辑结构 (1)顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基本结 构.

其结构形式为 (2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式. 其结构形式为

(3)循环结构是指从某处开始,按照一定条件反复执行处理某一步骤的情况.反复执行的处理 步骤称为循环体.循环结构又分为当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型). 其结构形式为

4.输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 输入语句 一般格式 INPUT“提示内容”;变 量 功能 输入信息

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输出语句 赋值语句 5.条件语句

PRINT“提示内容”;表 输出常量、变量的值和系统信 达式 变量=表达式 息 将表达式代表的值赋给变量

(1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应. (2)条件语句的格式及框图 ①IF-THEN 格式

②IF-THEN-ELSE 格式 6.循环语句 (1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应. (2)循环语句的格式及框图. ①UNTIL 语句 ②WHILE 语句

一条规律 顺序结构、循环结构和条件结构的关系 顺序结构是每个算法结构都含有的,而对于循环结构有重复性,条件结构具有选择性没有重 复性,并且循环结构中必定包含一个条件结构,用于确定何时终止循环体.循环结构和条件 结构都含有顺序结构. 两个注意 (1)利用循环结构表示算法,第一要先确定是利用当型循环结构,还是直到型循环结构;第二 要选择准确的表示累计的变量;第三要注意在哪一步开始循环,满足什么条件不再执行循环 体. (2)关于赋值语句,有以下几点需要注意:

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①赋值号左边只能是变量名字,而不是表达式,例如 3=m 是错误的. ②赋值号左右不能对换,赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量,例 如 Y=x,表示用 x 的值替代变量 Y 的原先的取值,不能改写为 x=Y.因为后者表示用 Y 的值 替代变量 x 的值. ③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现一个或多个“=”. 双基自测 1.关于程序框图的图形符号的理解,正确的有( ①任何一个程序框图都必须有起止框; ②输入框只能在开始框之后,输出框只能放在结束框之前; ③判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号; ④对于一个程序框图来说,判断框内的条件是唯一的. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ).

2.程序框图如图所示:如果输入 x=5,则输出结果为(

).

A.109 C.973 3.当 a=1,b=3 时,执行完如图的一段程序 后 x 的值是( ).

B.325 D.2 917

A.1

B.3

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C.4

D.-2 ).

4.(2011· 天津)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为(

A.3

B.4

C.5

D.6

5.若执行如图所示的框图,输入 x1=1,x2=2,x3=3, x =2,则输出的数等于________.

考向一

算法的设计

【例 1】?已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P(x0,y0)到直线 l 的距离 d,写出 其算法并画出程序框图.

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【训练 1】 已

?-2,x>0, 知函数 y=?0,x=0, ?2,x<0,

写出求该函数函数值的算法及程序框图.

考向二

基本逻辑结构 ).

【例 2】阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是(

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A.3

B.11

C.38

D.123

?log2x,x≥2, (2)已知函数 y=? 如图表示的是给定 x 的值,求其对应的函数值 y 的程序框 ?2-x,x<2. 图.①处应填写________;②处应填写________.

【训练 2】 执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 p 是 ( A.8 C.3 考向三 B.5 D.2 程序框图的识别及应用 ). ).

【例 3】如图是求 x1,x2,?,x10 的乘积 S 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为(

A.S=S*(n+1) C.S=S*n

B.S=S*xn+1 D.S=S*xn

【训练 3】 某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示: 队员 i 三分球个数 1 a1 2 a2 3 a3 4 a4 5 a5 6 a6
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如图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图中判断框应填 ______,输出的 S=______.

考向四

基本算法语句

【例 4】?设计一个计算 1×3×5×7×9×11×13 的算法.图中给出了程序的一部分,则在横 线①上不能填入的数是( ). S=1 i=3 WHILE i< S=S×i i=i+2 WEND PRINT S END A.13 B.13.5 C.14



D.14.5

【 训 练 ________

4 】

运 行 如 图 所 示 的 程 序 , 输 出 的 结 果 是 .

难点突破 26——高考中算法交汇性问题的求解方法 算法是新课标的新增内容之一,是新课标高考的一大热点,其中算法的交汇性问题正是在这 种背景下成为新课标高考的一大亮点.这类问题,常常背景新颖,交汇自然,很好地考查了
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考生的信息处理能力及综合运用知识解决问题的能力. 一、算法与统计的交汇问题

【示例】某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量 进行了抽样调查,其中 4 位居民的月均用水量分别为 x1,?,x4(单位:吨).根据如图所示的 程序框图,若 x1,x2,x3,x4 分别为 1,1.5,1.5,2,则输出的结果 S 为________. 二、算法与函数的交汇问题 【示例】? (2011· 天津)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为-4,则输出 y 的值为( A.0.5 ). B.1 C.2 D.4

▲算法与不等式的交汇问题 【示例】? 执行如图所示的程序框图,若输入 x=10,则输出 y 的值为________.

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第4讲
【2013 年高考会这样考】 1.数学归纳法的原理及其步骤.

数学归纳法

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 【复习指导】 复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理,明晰其内在的联系,把握数学归纳法证明命题的 一般步骤,熟知每一步之间的区别联系,熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧.

基础梳理 1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常叫做归纳法.根据推理过程中考查 的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法. 2.数学归纳法 (1)数学归纳法:设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合,如果:①证明起始命题 P1(或 P0)成 立;②在假设 Pk 成立的前提下,推出 Pk+1 也成立,那么可以断定{Pn}对一切正整数成立. (2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: ①归纳奠基:证明当取第一个自然数 n0 时命题成立; ②归纳递推:假设 n=k,(k∈N*,k≥n0)时,命题成立,证明当 n=k+1 时,命题成立; ③由①②得出结论.

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两个防范 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,第一步是递推的“基础”,第 二步是递推的“依据”,两个步骤缺一不可,在证明过程中要防范以下两点: (1)第一步验证 n=n0 时,n0 不一定为 1,要根据题目要求选择合适的起始值. (2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明 n=k+1 时,命题也成立的过程中 一定要用到它,否则就不是数学归纳法.第二步关键是“一凑假设,二凑结论”. 三个注意 运用数学归纳法应注意以下三点: (1)n=n0 时成立,要弄清楚命题的含义. (2)由假设 n=k 成立证 n=k+1 时,要推导详实,并且一定要运用 n=k 成立的结论. (3)要注意 n=k 到 n=k+1 时增加的项数. 双基自测 1 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为2n(n-3)条时,第一步检验第一个值 n0 等于 ( A.1 ). B.2 C.3 D.0

1 1 1 2.利用数学归纳法证明不等式 1+2+3+?+ n <f(n)(n≥2,n∈N*)的过程,由 n=k 到 n 2 -1 =k+1 时,左边增加了( A.1 项 B.k 项 ). C.2k-1 项
2 n+1

D.2k 项 1-an+2 = (a≠1,n∈N*)”在验证 n=1 时,左 1-a

3.用数学归纳法证明:“1+a+a +?+a 端计算所得的项为( A.1 C.1+a+a2 ).

B.1+a D.1+a+a2+a3

4.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题 也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得( A.n=6 时该命题不成立 C.n=4 时该命题不成立 5.用数学归纳法证明不等式 ).

B.n=6 时该命题成立 D.n=4 时该命题成立 1 1 1 13 + +?+ >24的过程中,由 n=k 推导 n=k+1 时, n+1 n+2 n+n
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不等式的左边增加的式子是________.

考向一 【例 1】?用数学归纳法证明:

用数学归纳法证明等式

tan nα tan α· 2α+tan 2α· 3α+?+tan(n-1)α· nα= tan α -n(n∈N*,n≥2). tan tan tan [

【训练 1】 用数学归纳法证明: 对任意的 n∈N*, 1 1 1 n + +?+ = . 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? 2n+1

考向二

用数学归纳法证明整除问题

【例 2】 ?是否存在正整数 m 使得 f(n)=(2n+7)·n+9 对任意自然数 n 都能被 m 整除, 3 若存在, 求出最大的 m 的值,并证明你的结论;若不存在,说明理由.

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【训练 2】 用数学归纳法证明 an+1+(a+1)2n-1(n∈N*)能被 a2+a+1 整除.

考向三

用数学归纳法证明不等式

1? ? 【 例 3 】 ? 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 对 一 切 大 于 1 的 自 然 数 , 不 等 式 ?1+3? ? ? 1 ? 2n+1 1? ? ? ?1+5?· ?1+2n-1?> ?· 2 均成立. ? ? ? ?

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1 1 【训练 3】 已知函数 f(x)=3x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,an+1≥f′(an+1).试比较 1+a1 + 1 1 1 + +?+ 与 1 的大小,并说明理由. 1+a2 1+a3 1+an

考向四

归纳、猜想、证明

【例 4】?数列{an}满足 Sn=2n-an(n∈N*). (1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

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1 【训练 4】 由下列各式 1>2, 1 1 1+2+3>1, 1 1 1 1 1 1 3 1+2+3+4+5+6+7>2, 1 1 1 1+2+3+?+15>2, 1 1 1 5 1+2+3+?+31>2, ?,你能得到怎样的一般不等式,并加以证明.

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阅卷报告 20——由于方法选择不当导致失误 【问题诊断】 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时,关键在于弄清等式两边的 构成规律,等式的两边各有多少项,由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加 怎样的项,其难点在于归纳假设后,如何推证对下一个正整数值命题也成立. 【防范措施】 把归纳假设当做已知条件参加推理.明确对下一个正整数值命题成立的目标, 通过适当的变换达到这个目标,这里可以使用综合法,也可以使用分析法,甚至可以再次使 用数学归纳法. 【示例】? 在数列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列(n∈N*). (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论; (2)证明: 1 1 1 5 + +?+ <12. a1+b1 a2+b2 an+bn

第5讲
【2013 年高考会这样考】

复 数

复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点,并且一般在前三
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题的位置,主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算,难度较小. 【复习指导】 1.复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等,以及复数的几何意义. 2.要把复数的基本运算作为复习的重点,尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等.因考 题较容易,所以重在练基 础. 基础梳理 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a+bi 为实 数,若 b≠0,则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c;b=-d(a,b,c,d∈R). (4)复数的模 → 向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= a2+b2. (5)在复平面的表示(横实纵虚)

2.复数的四则运算 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1·2=(a+bi)· z (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi ?a+bi??c-di? (4)除法:z = = c+di ?c+di??c-di? 2 = ?ac+bd?+?bc-ad?i (c+di≠0). c2+d2

一条规律 任意两个复数全是实数时能比较大小,其他情况不能比较大小.
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两条性质 (1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,in+in+1+in+2+in+3=0(各式中 n∈N). (2)(1± 2=± i) 2i, 1+i 1-i =i, =-i. 1-i 1+i 双基自测 1.复数 1 A.5 -i (i 是虚数单位)的实部是( 1+2i 1 B.-5 1 C.-5i 1-3i =( 1-i ). D.-1+2i ). ). 2 D.-5

2.设 i 是虚数单位,复数 A.2-i B.2+i

C.-1-2i

3.若 a,b∈R,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1

B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 ).

4.设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 z=( A.2-2i B.2+2i C.1-i D.1+i

5.i2(1+i)的实部是________.

考向一 【例 1】设 i 是虚数单位,复数 A.2 B.-2

复数的有关概念 ).

1+ai 为纯虚数,则实数 a 为( 2-i 1 C.-2
2

1 D.2
2

z1 z1 【训练 1】 已知 a∈R, 复数 z1=2+ai,2=1-2i, z 为纯虚数, z 若 则复数z 的虚部为________. 例 2:当 m 是什么实数时, z ? (2 ? i)m 2 ? 3(1 ? i)m ? 2(1 ? i) 是 (3)纯虚数? (1)虚数? (2)实数

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考向二

复数的几何意义

【例 2】?在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B,若 C 为线段 AB 的中点, 则点 C 对应的复数是( A.4+8i 【训练 2】复数 B.8+2i ). C.2+4i D.4+i

1+i 2 012 +i 对应的点位于复平面内的第________象限. 1-i 考向三 复数的运算

【例 3】已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i,复数 z2 的虚部为 2,且 z1·2 是实数,求 z2. z

?1+i?2011 ? =( 【训练 3】i 为虚数单位,则? ?1-i? A.-i B.-1 C.i

). D.1

难点突破 27——复数的几何意义问题 复数的几何意义是复数中的难点,化解难点的关键是对复数的几何意义的正确理解.对于复 数的几何意义的理解可以从以下两个方面着手: (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= a2+b2,实际上就是指复平面上的点 Z 到原点 O 的距离; |z1-z2|的几何意义是复平面上的点 Z1、Z2 两点间的距离. → → (2)复数 z、复平面上的点 Z 及向量OZ 相互联系,即 z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?OZ. 【示例 1】复数 z= A.第一象限 C.第三象限 2-i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( 2+i B.第二象限 D.第四象限 ).

【示例 2】已知复数 z=

3+i ,则|z|=( ?1- 3i?2

).

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1 A.4

1 B.2

C.1

D.2

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