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数学:3.1.1《直线的倾斜角与斜率》教案(新人教A版必修2)


3.1.1 直线的倾斜角与斜率 教学目标: 知识与技能 1、 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2、 理解直线的倾斜角的唯一性. 3、 理解直线的斜率的存在性. 4、 斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 情感态度与价值观 (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、 探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养 学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具:计算机 教学方法:启发、引导、讨论. 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2. 在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水 平面之间的一个什么关系呢? 二、讲授新课: 1. 教学直线倾斜角与斜率的概念: 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? (1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: ① 直线倾斜角的概念: x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 注意:当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度.。 讨论:倾斜角的取值范围是什么呢? 0°≤α <180°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入 直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α 来表示平面直角坐标系 内的每一条直线的倾斜程度. 直线 a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α 不能确定一 条直线.
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确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 P 和一个倾斜角α .. ② 直线斜率的概念:直线倾斜角 ? 的正切值叫直线的斜率. 常用 k 表示, k ? tan ? 讨论:当直线倾斜角为 90? 度时它的斜率不存在吗?. 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关 系? 斜率为正或负时,直线过哪些象限呢? ? 取值范围是 0°≤α <180°. 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? ③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点 p1 ( x1 , y1 ) 与 p2 ( x2 , y2 ) ,则过这两点的直线的斜 率k ?

y2 ? y1 x2 ? x1

思考 :(1)直线的倾斜角 ? 确定后, 斜率 k 的值与点 p1 , p2 的顺序是否有关? (2)当直线平行表于 y 轴或与 y 轴重合时,上述公式 k ? 归纳: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α = 90°, 直线与 x 轴垂直; (2) k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与 分母不能交换; (3) 斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α =0°,直线与 x 轴平行或重合. 2. 教学例题: 例 1.已知 A(3,2) ,B(-4,1) ,C(0,-1)求直线 AB、AC、BC 的斜率,并判断这些直线的 倾斜角是锐角还是钝角. 例 2.在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 ?1, 2, ?3 的直线 l1 , l2 , l3 . 例 3.已知三点 A(a,2) 、B(5,1) 、C(-4,2a)在同一直线上,求 a 的值。 ( 三. 巩固与提高练习: 1.教材 P86 面练习第 1、2、3、4 题。

y2 ? y1 还适用吗? x2 ? x1

7 ) 2

l 的斜率为 2. 若直线 l 向上的方向与 y 轴正方向成 30°角, 则 l 的倾斜角为 60° 、

3 。

3. 已知等边三角形 ABC, 若直线 AB 平行于 y 轴, 则∠C 的平分线所在的直线的倾斜角为 0° , 斜率为 0 ,另两边 AC、BC 所在的直线的倾斜角为 120°、60°,斜率为 ( - 3 、

3 ) 。
4.当且仅当 m 为何值时,经过两点 A(m,3) 、B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为 60°? 四.小结:

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倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式. 五:作业《习案》十七

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