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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):3.5两角和与差的三角函数

课时跟踪检测(二十二) 两角和与差的三角函数

1. (2012· 重庆高考)设 tan α, β 是方程 x2-3x+2=0 的两根, tan (α+β)的值为( tan 则 A.-3 C.1 B.-1 D.3 )

)

π π 3 2.(2012· 南昌二模)已知 cos?x-6?=- ,则 cos x+cos?x-3?的值是( ? ? ? ? 3 2 3 A.- 3 C.-1 2 3 B.± 3 D.± 1

π π 1 3.(2012· 乌鲁木齐诊断性测验)已知 α 满足 sin α= ,那么 sin?4+α?sin?4-α?的值为 ? ? ? ? 2 ( ) 1 A. 4 1 C. 2 1 B.- 4 1 D.- 2 )

24 θ 4.(2012· 大同模拟)已知 θ 为第二象限角,sin(π-θ)= ,则 cos 的值为( 25 2 3 A. 5 4 B. 5 4 D.± 5 ) B. 2 2

3 C.± 5 5. cos 85° +sin 25° 30° cos =( cos 25° 3 2

A.- 1 C. 2

D.1 5 10 ,sin β= ,则 α+β=( 5 10 )

6.(2012· 济南模拟)已知 α、β 都是锐角,若 sin α= π A. 4 π 3π C. 和 4 4 3π B. 4

π 3π D.- 和- 4 4

1 7.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= ,则 cos 2α=________. 2 2tan?45° -α? sin αcos α 8.化简 · =________. 1-tan2?45° -α? cos2α-sin2α 9.(2013· 烟台模拟)已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β

1 ∈(0,π),角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标 3 4 是 ,则 cos α=________. 5 π π 1 10.已知 α∈?0,2?,tan α= ,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值. ? ? ? ? 2

x x 11.(2012· 衡阳模拟) 函数 f(x)=cos?-2?+sin?π-2?,x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π π 2 10 (2)若 f(α)= ,α∈?0,2?,求 tan?α+4?的值. ? ? ? ? 5

π π 3 π π 3 5 12.已知 sin α+cos α= ,α∈?0,4?,sin?β-4?= ,β∈?4,2?. ? ? ? ? 5 ? ? 5 (1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α+2β)的值.

1 π 1.若 tan α=lg(10a),tan β=lg?a?,且 α+β= ,则实数 a 的值为( ? ? 4 A.1 1 C.1 或 10 1 B. 10 D.1 或 10

)

1 1 2.(2012· 临沂模拟)若 α、β 是锐角,且 sin α-sin β=- ,cos α-cos β= ,则 tan(α- 2 2 β)=________. 3.(2012· 汕头模拟)已知向量 OA =(cos α,sin α)(α∈[-π,0]),向量 m=(2,1),n=(0, - 5),且 m⊥( OA -n). (1)求向量 OA ; (2)若 cos(β-π)= 2 ,0<β<π,求 cos(2α-β). 10

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课时跟踪检测(二十二) A级 1.选 A 由题意可知 tan α+tan β=3,tan α· β=2, tan tan(α+β)= 2.选 C tan α+tan β =-3. 1-tan αtan β π 1 3 3 3 cos x + cos ?x-3? = cos x + cos x + sin x = cos x + sin x = 3 ? ? 2 2 2 2

? 3cos x+1sin x?= 3cos?x-π?=-1. ? 6? 2 ?2 ?
π π π π 1 π 1 1 3. A 依题意得, ?4+α?sin?4-α?=sin?4+α?· ?4+α?= sin +2α= cos 2α= 选 sin? ? ? ? ? ? cos? ? 2 2 2 2 1 (1-2sin2α)= . 4 4.选 C ∵θ 为第二象限角, θ ∴ 为第一、三象限角. 2 θ ∴cos 的值有两个, 2 24 24 由 sin(π-θ)= ,可知 sin θ= , 25 25 7 θ 18 ∴cos θ=- ,∴2cos2 = . 25 2 25 θ 3 ∴cos =± . 2 5 5.选 C cos 85° +sin 25° 30° cos = cos 25°

cos?60° +25° ?+sin 25° 30° cos = cos25° cos 60° 25° cos -sin 60° 25° sin +sin 25°cos 30° 60°cos 25° cos 1 =cos 60° . = cos 25° cos 25° 2 6.选 A 由 α、β 都为锐角,所以 cos α= 1-sin 2α= 2 5 3 10 ,cos β= 1-sin2 β= . 5 10

所以 cos(α+β)=cos α· β-sin α· β= cos sin 1 7.解析:∵sin α+cos α= , 2 1 ∴1+2sin αcos α= , 4 3 ∴2sin αcos α=- <0, 4

2 π ,所以 α+β= . 2 4

∵α 为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α= 1-2sin αcos α = 3 7 1+ = , 4 2 7 1 7 × =- . 2 2 4

∴cos 2α=cos2 α-sin2α=(cos α-sin α)· α+sin α)=- (cos 答案:- 7 4

1 sin 2α 2 8.解析:原式=tan(90° -2α)· cos 2α 1 sin 2α sin?90° -2α? 2 = · cos?90° -2α? cos 2α = cos 2α 1 sin 2α 1 ·· = . sin 2α 2 cos 2α 2

1 答案: 2 9.解析:依题设及三角函数的定义得: 1 4 cos β=- ,sin(α+β)= . 3 5 π π 2 2 3 又∵0<β<π,∴ <β<π, <α+β<π,sin β= ,cos(α+β)=- . 2 2 3 5 ∴cos α=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β 1 4 2 2 3 =- ×?-3?+ × 5 ? ? 5 3 = 3+8 2 . 15

3+8 2 答案: 15 1 10.解:∵tan α= , 2

2tan α ∴tan 2α= = 1-tan2α

1 2× 2 4 = , 1 3 1- 4



sin α 1 = ,即 cos α=2sin α, cos α 2

又 sin2α+cos2α=1, π ∴5sin2α=1,而 α∈?0,2?, ? ? ∴sin α= 5 2 5 ,cos α= . 5 5

∴sin 2α=2sin αcos α =2× 5 2 5 4 × = , 5 5 5

4 1 3 cos 2α=cos2α-sin2α= - = , 5 5 5 π π π ∴sin?2α+3?=sin 2αcos +cos 2αsin ? ? 3 3 4 1 3 3 4+3 3 = × + × = . 5 2 5 2 10 x x x π x x 11.解:(1)f(x)=cos?-2?+sin?π-2?=sin +cos = 2sin?2+4?, ? ? ? ? ? ? 2 2 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 2 10 α α 2 10 (2)由 f(α)= ,得 sin +cos = , 5 2 2 5 α α 2 10?2 则?sin2+cos2?2=? ? ? ? 5 ?, 8 3 即 1+sin α= ,解得 sin α= , 5 5 π 又 α∈?0,2?,则 cos α= 1-sin2α= ? ? 故 tan α= sin α 3 = , cos α 4 π 3 tan α+tan +1 4 4 = =7. π 3 1-tan αtan 1- 4 4 9 4 1- = , 25 5

π 所以 tan?α+4?= ? ?

9 12.解:(1)由题意得(sin α+cos α)2= , 5 9 4 即 1+sin 2α= ,∴sin 2α= . 5 5

π 又 2α∈?0,2?, ? ? 3 ∴cos 2α= 1-sin22α= , 5 sin 2α 4 ∴tan 2α= = . cos 2α 3 π π π π 3 π (2)∵β∈?4,2?,β- ∈?0,4?,sin?β-4?= , ? ? ? ? ? 5 4 ? π 4 ∴cos?β-4?= , ? ? 5 π π π 24 于是 sin 2?β-4?=2sin?β-4?· ?β-4?= . ? ? ? ? cos? ? 25 π 又 sin 2?β-4?=-cos 2β, ? ? 24 ∴cos 2β=- , 25 π 7 又∵2β∈?2,π?,∴sin 2β= , ? ? 25 1+cos 2α 又∵cos2α= 2 π 4 = ?α∈?0,4??, ? ?? 5? 2 5 5 ∴cos α= ,sin α= . 5 5 ∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β = 24 2 5 5 7 11 5 ×?-25?- × =- . ? ? 5 25 5 25 B级 1 lg?10a?+lg?a? ? ? tan α+tan β tan(α+β)=1? = =1?lg2a+lg a=0, 1-tan αtan β ?1? 1-lg?10a?· ?a? lg

1.选 C

1 所以 lg a=0 或 lg a=-1,即 a=1 或 . 10 1 1 2.解析:两式平方相加得 2-2cos αcos β-2sin αsin β= .即 2-2cos(α-β)= . 2 2 3 ∴cos(α-β)= .∵α、β 是锐角, 4 1 π 且 sin α-sin β=- <0,∴0<α<β< . 2 2 π ∴- <α-β<0. 2

∴sin(α-β)=- 1-cos2?α-β?=- sin?α-β? 7 ∴tan(α-β)= =- . 3 cos?α-β? 答案:- 7 3

7 . 4

3.解:(1)∵ OA =(cos α,sin α), ∴ OA -n=(cos α,sin α+ 5), ∵m⊥( OA -n),∴m·OA -n)=0, ( 即 2cos α+(sin α+ 5)=0, 又 sin2 α+cos2 α=1, 联立解得 2 5 5 cos α=- ,sin α=- , 5 5

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??? ? 2 5 5? ∴ OA =?- . ? 5 ,- 5 ?
(2)∵cos(β-π)= 又∵0<β<π, 7 2 π ∴sin β= ,且 <β<π. 10 2 又∵sin 2α=2sin αcos α=2×?- 2 2 ,∴cos β=- , 10 10

?

5? ? 2 5? 4 × - = , 5? ? 5 ? 5

4 3 cos 2α=2cos2 α-1=2× -1= , 5 5 3 2 2 4 7 2 25 2 ∴cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β= ×?- ?+ × = = . 5 ? 10 ? 5 10 50 2