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条件概率和事件的独立性


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条件概率和事件的独立性

考纲要求
1.了解条件概率和两个事件相互独立的概率,掌握求条件概率的步骤,会求条件概率. 2.掌握独立事件的概率求法.

知识梳理
一、条件概率及其性质 1.对于两个事件 A 和 B ,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概率, 用符号 P ( B | A) 来表示,其公式为 P ( B | A) = 2.条件概率的性质 ① 0 ≤ P ( B | A) ≤ 1 ; ②如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P ( B ∪ C | A) = P ( B | A) + P (C | A) . 二、相对独立事件 1.对于事件 A 、 B ,若 A 的发生与 B 的发生互不影响,则称 A 、 B 是相互独立事件. 2.若 A 与 B 相互独立,则 P ( B | A) = P ( B ) , P ( AB ) = P ( B | A) · P ( A) = P ( AB ) . 3.若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也都相互独立. 4.若 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ,则 A 、 B 相互独立. 三、二项分布 1.独立重复试验是指在相同的条件下可重复进行的, 各次之间相互独立的一种试验, 在这种 试验中每一次试验只有两种可能的结果,即或发生,或不发生,且任何一次试验中发生的概 率是一样的. 2.在 n 次独立重复试验中, 事件 A 发生 k 次的概率为 C n p (1 ? p ) ( k = 0,1,2,3, ……, ) n
k k n?k

P( AB) . P( A)

( p 为事件 A 发生的概率) ,事件 A 发生的次数是一个随机变量 X ,其分布列为二项分布,

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记为 X ~ B ( n, p ) . [究 疑 点] 1.怎样判定条件概率? 提示:在题目中出现“已知” “在……前提下(条件下)”等字眼下时一般为条件概率.题目中 没有出现上述字眼, 但已知事件的出现影响所求事件的概率时, 也需注意是否为条件概率.. 2. A 、 B 相互独立与 A 、 B 相互对立

A 、 B 相互独立 ? P ( AB ) = P ( A) P ( B ) . A 、 B 相互对立 ? A ∩ B = φ 且 A ∪ B = U .
若 P ( A) > 0 且 P ( B ) > 0 ,则 A 、 B 相互独立与 A 、 B 相互对立不能同时成立. 因为 A 、B 相互独立 ? P ( AB ) = P ( A) P ( B ) > 0 , A 、B 相互对立 ? P ( AB ) = P (φ ) = 0 .

典型例题
【考点一】条件概率的计算

s

★1、 (2011 辽宁)从 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数,事件 A =“取到的两个数之和为 ,则 P ( B | A) = 偶数” ,事件 B =“取到的两个数之均为偶数” 【考点二】事件的独立性 ★2、 (2010 辽宁) 乙两个实习生每人加工一个零件, 甲、 加工为一等品的概率分别为 ( )

2 3 和 , 3 4

两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) ★★3、(2010 重庆)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中 一次的概率

16 ,则该队员每次罚球命中率为________. 25

★★★4、(2010 北京)某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的 概率为

4 ,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是 5

否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 3

p

6 125

a

d

24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的值;

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中国领先的个性化教育品牌 (Ⅲ)求数学期望 E ξ。

巩固训练
3 3 , P ( A) = ,则 P ( B | A) = ________. 10 5 1 ★2、 (2009 丰台)已知随机变量 X 服从二项分布 X ~ B (6, ) ,则 ( P ( X = 2) 等于 ( ) 3 13 4 13 80 B. C. D. A. 16 243 243 243
★1、 (江苏南京)已知 P ( AB ) = ★★3、 (2011 江西九江 4 月)某人射击,一次击中目标的概率为 0.6,经过三次射击(假设 三次射击互不影响) ,此人至少有两次击中目标的概率为 A. ( D. )

81 125

B.

54 125

C.

36 125

27 125

★★4、(2010 福建上杭)设两个独立事件 A和B 都不发生的概率为 概率与 B 发生 A 不发生的概率相同,则事件 A 发生的概率 P ( A) 是 A.

1 , A 发生 B 不发生的 9
( )

2 9

B.

1 18

C.

1 3

D.

2 3
A3 C L2 B1 B2

1 口遇到红灯的概率均为 ;L2 路线上有 B1,B2 两个路口,各路口遇 2 3 3 到红灯的概率依次为 , . 4 5
(Ⅰ)若走 L1 路线,求最多遇到 1 次红灯的概率; ..

★★5、 (2011 丰台二模)张先生家住 H 小区,他在 C 科技园区工作,从家开车到公司上班 ,L 有 L1,L2 两条路线(如图) 1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路 A2 A1 L1 H

(Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条 最好的上班路线,并说明理由.

课后作业
★1、 (2011 全国课标)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同 学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( (A). )

1 3

(B).

1 2

(C).

2 3

(D).

3 4
( )

★★2、 (2010 投掷一枚均匀的硬币和一枚均匀的骰子各一次, “硬币正面朝上”为事件 A , 记 “骰子向上的点数是 3”为事件 B 则事件 A 、 B 中至少有一件发生的概率为

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A.

5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

3 4

★★3、 (2011 海淀二模)某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯 在 1 层载有 4 位乘客,假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的. (Ⅰ) 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; (Ⅱ) 用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望. ★★4、 (2011 山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘,已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛 结果相互独立。 (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ . ★★5、(2011 四川)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租 车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为 2 元/小时(不 足 1 小时的部分按 1 小时计算) 。两人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙 不超过两小时还车的概率分别为

1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 4 2

1 1 , ;两人租车时间都不会超过四小时。 2 4
(Ⅰ)求出甲、乙所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ ,求 ξ 的分布列与数学期望 Eξ ; ★★★6、(2010 西城一模)在一个选拔项目中,每个选手都需要进行 4 轮考核,每轮设有一个 问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、 三、 二、 四轮问题的概率分别为

5 4 3 1 、 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. 6 5 4 3

(Ⅰ)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率; (Ⅲ)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X ,求随机变量 X 的分布列和期 望.

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