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高中数学课件:第二章 2.3 等差数列的前n项和 第二课时 等差数列前n项和的应用


课前预习·巧设计

第 二 章 数 列

2.3 等差 数列 的前n 项和

第二 课时 等差 数列 前n 项和 的应 用

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[读教材·填要点] 1.等差数列前n项和的最值 在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,Sn有最大值;当

a1<0,d>0,Sn有最小值.

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2.最值的求法 n?n-1? (1)等差数列{an}的前n项和公式为Sn=na1+ d= 2 d 2 d n +(a1- 2 )n=An2+Bn,可通过配方或求二次函数最值的 2 方法求得.

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(2)在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数 图象求解,还常用邻项变号法来求解.
?an≥0, ? 当a1>0,d<0时,满足? ?an+1≤0 ? ?an≤0, ? 当a1<0,d>0时,满足? ?an+1≥0 ?

的n,使Sn取最大值;

的n,使Sn取最小值.

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[小问题·大思维] 1.在等差数列{an}中,若a1>0,d>0或a1<0,d<0时,Sn能 否取得最值? 提示:当a1>0,d>0时,Sn的最小值为a1,无最大值; 当a1<0,d<0时,Sn的最大值为a1,无最小值.

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2.若数列{an}的通项公式为an=2n-37,则当n为何值时
Sn取得最小值?

提示:∵an=2n-37,an+1-an=2>0,
∴{an}为递增数列.由an=2n-37≥0,得n≥18.5. ∴a18<0,a19>0,∴S18最小, 即当n=18时,Sn取得最小值. 返回

3.等差数列前n项和Sn与函数有哪些关系?

提示:对于形如Sn=An2+Bn的数列一定为等差数列,
且公差为2A,记住这个结论,如果已知数列的前n项

和可以直接写出公差.

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(1)当A=0,B=0时,Sn=0是关于n的常数函数(此时a1=0, d=0); (2)当A=0,B≠0时,Sn=Bn是关于n的正比例函数(此时,

a1≠0,d=0);
(3)当A≠0,B≠0时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(此时

d≠0).
(4)若{an}是等差数列且d≠0,则Sn是关于n的不含常数项的

二次函数.
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为

Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出

它的最大值.

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[自主解答]

法一:由a1=20,S10=S15,

5 解得公差d=-3. ∵S10=S15,∴S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=0, ∵a11+a15=a12+a14=2a13=0,∴a13=0. ∵公差d<0,a1>0, ∴a1,a2,…,a11,a12均为正数,而a14及以后各项均为负数. ∴当n=12或13时,Sn有最大值为S12=S13=130.

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法二:Sn=An2+Bn,由题意对应函数y=Ax2+Bx的对称 10+15 轴为x= 2 =12.5, 故当n=12或13时,Sn有最大值. ? B 25 ?- = , 则? 2A 2 ?20=A+B, ? 5 ? ?A=-6, 解得? ?B=125. 6 ?

5 125 ∴S13=S12=-6×122+ 6 ×12=130为最大值.

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将“a1=20”改为“a1<0”其它条件不变,则n为何值时,Sn 最小?

解:∵S10=S15,∴a11+a12+a13+a14+a15=0,即a13=0.
又∵a1<0,∴d>0,∴当n=12或13时,Sn取最小值.

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[悟一法]

在等差数列中,求Sn的最大(小)值,其思路是找出某
一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后面 的各项皆取负(正)值,则从第1项起到该项的各项的和为最 大(小). 由于Sn为关于n的二次函数,也可借助二次函数的图 象或性质求解. 返回

[通一类] 1.在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求前n项和Sn 的最大值.

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解:法一:由 S17=S9,得 17×?17-1? 9×?9-1? 25×17+ d=25×9+ d, 2 2 解得 d=-2, n?n-1? ∴Sn=25n+ 2 ×(-2)=-(n-13)2+169. 由二次函数性质得,当 n=13 时,Sn 有最大值 169.

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法二:先求出 d=-2(同法一),
?an=25-2?n-1?≥0 ? ∵a1=25>0,由? ?an+1=25-2n<0 ?



1 ? ?n≤132, 得? ?n>121, 2 ? 1 1 即 122<n≤132. ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169.

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法三:先求出d=-2(同法一),
由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,

而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0. ∵d=-2<0,a1=25>0,∴a13>0,a14<0. 故n=13时,Sn有最大值169. 返回

[研一题] [例2] 数列{an}的前n项和Sn=33n-n2. (1)求证:{an}是等差数列; (2)问{an}的前多少项和最大; (3)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和S′n.

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[自主解答]

(1)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n,

又当n=1时,a1=S1=32=34-2×1满足an=34-2n. 故{an}的通项为an=34-2n. 所以an+1-an=34-2(n+1)-(34-2n)=-2. 故数列{an}是以32为首项,-2为公差的等差数列.

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(2)令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,
故数列{an}的前17项大于或等于零.

又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大.
(3)由(2)知,当n≤17时,an≥0; 当n≥18时,an<0. 所以当n≤17时,S′n=b1+b2+…+bn 返回

=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+an=Sn=33n-n2. 当n≥18时, S′n=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an| =a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)

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=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn =n2-33n+544.
?33n-n2?n≤17?, ? S′n=? 2 ?n -33n+544?n≥18?. ?



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[悟一法] 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等 差数列{an}中既有正项,也有负项,那么{|an|}不再是等差 数列,求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值, 再分段求和.

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[通一类]
2.在等差数列中,a10=23,a25=-22,

(1)该数列第几项开始为负;
(2)求数列{|an|}的前n项和.

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解:设等差数列{an}中,公差为 d,由题意得
?a25-a10=15d=-45, ? ? ?23=a1+?10-1?×d, ? ?a1=50, ? ∴? ?d=-3. ?

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(1)设第 n 项开始为负, an=50-3(n-1)=53-3n<0, 53 ∴n> 3 ,∴从第 18 项开始为负.
?53-3n?1<n≤17?, ? (2)|an|=|53-3n|=? ?3n-53?n>17?. ?

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3 2 103 当 n≤17 时,Sn′=-2n + 2 n; 当 n>17 时, Sn′=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an),

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3 2 103 3 2 103 Sn′=-(-2n + 2 n)+2S17=2n - 2 n+884, ? 3 2 103 ?-2n + 2 n?n≤17?, ∴Sn′=? ?3n2-103n+884?n>17?. 2 ?2

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[研一题] [例3] 一个水池有若干进水量相同的水龙头,如果所

有水龙头同时放水,那么24 min可注满水池.如果开始时

全部放开,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后
一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且最后一个水龙头

放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍,问最后关
闭的这个水龙头放水多长时间? 返回

[自主解答]

设共有 n 个水龙头,每个水龙头放水时间

从小到大依次为 x1,x2,…,xn.由已知可知 x2-x1=x3-x2 =…=xn-xn-1,∴数列{xn}成等差数列,每个水龙头 1 min 1 放水24n(这里不妨设水池的容积为 1),

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1 ∴24n· 1+x2+…+xn)=1,即 Sn=24n, (x n?x1+xn? ∴ =24n,∴x1+xn=48. 2 又∵xn=5x1,∴6x1=48,∴x1=8 (min),xn=40 (min), 故最后关闭的水龙头放水 40 min.

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[悟一法] 解决实际问题首先要审清题意,明确条件与问题之间 的数量关系,然后建立相应的数学模型.本题就是建立了 等差数列这一数学模型,以方程为工具来解决问题的.

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[通一类]

3.假设某市2011年新建住房400万 m2,其中有250万 m2
是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建 住房面积平均比上一年增长8%,另外,每年新建住 房中,中低价房的面积均比上一年增加50万 m2,那 么,到哪一年底,该市历年所建中低价房的累计面积 (以2011年为累计的第一年)将等于4 750万 m2? 返回

解:设从 2011 年起,每年的中低价房面积构成数列 {an},由题意可知{an}是等差数列,其中 a1=250,d=50. n?n-1? 则 Sn=250n+ 2 · 50=25n2+225n.

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令25n2+225n=4 750,
即n2+9n-190=0.

而n是正整数,
∴n=10. ∴到2020年底,该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米.

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等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,

则当n为多少时,Sn最大.
[解] 法一:要求数列前多少项的和最大,从函数的

观点来看,即求二次函数Sn=an2+bn的最大值,故可用求
二次函数最值的方法来求当n为多少时,Sn最大.

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3×2 11×10 由 S3=S11,可得 3a1+ 2 d=11a1+ 2 d, 2 即 d=-13a1. d 2 d a1 49 2 从而 Sn=2n +(a1-2)n=-13(n-7) +13a1, a1 又 a1>0,所以-13<0.故当 n=7 时,Sn 最大.

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法二:由于 Sn=an2+bn 是关于 n 的二次函数, 3+11 由 S3=S11, 可知 Sn=an +bn 的图象关于 n= 2 =7 对称.
2

a1 由法一可知 a=-13<0,故当 n=7 时,Sn 最大.

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2 法三:由法一可知,d=-13a1.要使 Sn 最大, 2 ? ?an≥0, ?a1+?n-1??-13a1?≥0, ? 则有? 即? ?an+1≤0, ? ?a1+n?- 2 a1?≤0, 13 ? 解得 6.5≤n≤7.5,故当 n=7 时,Sn 最大.

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法四:由S3=S11,可得2a1+13d=0,

即(a1+6d)+(a1+7d)=0,
故a7+a8=0,由于a1>0,可知d≠0,

所以a7>0,a8<0.所以当n=7时,Sn最大.

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[点评]

求数列前n项和的最值问题的方法有:(1)运

用配方法转化为二次函数,借助二次函数的单调性以及数
形结合,从而使问题得解;(2)通项公式法:求使an≥0成立 的最大n即可.这是因为:当an>0时,Sn>Sn-1,即Sn单 调递增;当an<0,Sn<Sn-1,即Sn单调递减.

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一般地,等差数列{an}中,若 a1>0,且 Sp=Sq(p≠q), p+q 则①若 p+q 为偶数,则当 n= 2 时,Sn 最大;②若 p+q p+q-1 p+q+1 为奇数,则当 n= 或 n= 时,Sn 最大. 2 2

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