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5.2平面向量的基本定理及坐标运算


平面向量的基本定理及坐标运算
考纲要求 1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 1.平面向量基本定理 定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个__________向量,那么对于这一平面 内的任意向量 a , __________ 一对实数 λ 1 , λ 2 ,使 a = __________ ,其中, __________叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为{e1,e2}. 2.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,对于平面内的一个向量 a,有且只有一对实数 x,y 使 a=xi+yj, 把有序数对__________叫做向量 a 的坐标,记作 a=____,其中__________叫做 a 在 x 轴上的坐标, __________叫做 a 在 y 轴上的坐标, 显然 0=(0,0), i=(1,0), j=(0,1). (2)设→ OA=xi+yj,则__________就是终点 A 的坐标,即若→ OA=(x,y),则

A 点坐标为(x,y),反之亦成立(O 是坐标原点).
3.平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算 向量 a b a+b a-b λ a 坐标 (x1,y1) (x2,y2) (x1+x2, y1+y2) (x1-x2, y1-y2) (λ x1,λ y1) (2)向量坐标的求法 已知 A(x , y ) , B(x , y ) ,则 → AB = __________ ,即一个向量的坐标等于
1 1 2 2

__________. (3)平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 其中 b≠0,则 a 与 b 共线 ? a=__________ ? __________. 考点一、平面向量基本定理的应用 → → 【例 1】 已知梯形 ABCD,如图所示,2DC=AB,M,N 分别为 AD,BC 的中 点.设→ AD=e ,→ AB=e ,试用 e ,e 表示→ DC,→ BC,→ MN.
1 2 1 2

考点二、平面向量的坐标运算 【例 2】已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设→ AB=a,→ BC=b,→ CA=

c.
(1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n.

考点三、平面向量共线的坐标表示 【例 3-1】 已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ 为实数,(a +λ b)∥c,则λ =( ). 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 【例 3-2】已知 a=(1,0),b=(2,1), (1)当 k 为何值时,ka-b 与 a+2b 共线; → → (2)若AB=2a+3b,BC=a+mb 且 A,B,C 三点共线,求 m 的值. 3 练习 1.若 a=(3,2),b=(0,-1),则 2b-a 的坐标是( ). A.(3,-4) B.(-3,4) C.(3,4) D.(-3,-4) 2 2. 已知向量 a=(1, -m), b=(m , m), 则向量 a+b 所在的直线可能为( ). A.x 轴 B.第一、三象限的角平分线 C.y 轴 D.第二、四象限的角平分线 3.已知 a=(4,5),b=(8,y)且 a∥b,则 y 等于( ). 32 A.5 B.10 C. D.15 5 4.e1,e2 是平面内一组基底,那么( ). A.若实数λ 1,λ 2 使λ 1e1+λ 2e2=0,则λ 1=λ 2=0 B.空间内任一向量 a 可以表示为 a=λ 1e1+λ 2e2(λ 1,λ 2 为实数) C.对实数λ 1,λ 2,λ 1e1+λ 2e2 不一定在该平面内 D.对平面内任一向量 a,使 a=λ 1e1+λ 2e2 的实数λ 1,λ 2 有无数对 14 年高考
→ 1 → → → 1、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO= (AB+AC),则AB 2 → 与AC的夹角为________ 2、[2014· 重庆卷] 已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k=( ) 9 A.- B.0 2 15 C.3 D. 2 3、[2014· 福建卷] 在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2)

B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) π 4、[2014· 陕西卷] 设 0<θ< ,向量 a=(sin 2θ ,cos θ ),b=(cos θ ,1),若 a∥b,则 2 tan θ =________.

平面向量考题汇总
2007 4.已知平面向量 a ? (11) ,,b ? (1 , ? 1) ,则向量 A. (?2, ? 1) 2008 B. (?2, 1)

1 3 a ? b ?( 2 2 C. (?1 , 0)

) D. (1 , 2) )

5、已知平面向量 a =(1,-3), b =(4,-2), ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 2009 7、已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为 (A) ?

r

r

r

r

r

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6

2010 2、a,b 为平面向量,已知 a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于 (A)

8 65

(B) ?

8 65

(C)

16 65

(D) ?

16 65

2011 13、已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k= 。 2012
? 15、已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____

2013 14、已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______。


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