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2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)6.2一元二次不等式课件 新人教A版


[知识能否忆起]
一元二次不等式的解集 二次函数的图像与对应的一元二次方程的根、一元 二次不等式之间的关系可归纳为:

判别式 Δ=b2-4ac 二次函数y= ax2+bx+c

Δ>0

Δ=0

Δ<0

(a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c= 0 (a≠0)的根 有两相异实根 有两相同实

x=x1或x=x2

根x=x1

无实根

判别式 Δ=b2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

一元 ax2+bx+ {x|x<x1或 二次 c>0(a>0) x>x2} 不等 ax2+bx+ {x|x <x<x } 1 2 式的 c<0(a>0) 解集

{x|x≠x1}

R

?

?

若a<0时,可以先将 二次项系数化为正数 ,对照上表求解.

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)不等式x(1-2x)>0的解集是(
? 1? A.?-∞,2? ? ? ?1 ? C.(-∞,0)∪?2,+∞? ? ? ? 1? B.?0,2? ? ? ?1 ? D.?2,+∞? ? ?

)

答案:B

2.不等式9x2+6x+1≤0的解集是
? ? ? 1 ? ? A. x x≠-3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? B.?-3? ? ? ?

(

)

? ? ? 1 1 ? ? C. x -3≤x≤3 ? ? ?

D.R

答案:B

3.(2011· 福建高考)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个 不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是
A.(-1,1) B.(-2,2)

(

)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析:由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得: 判别式 Δ>0,即 m2-4>0,解得 m<-2 或 m>2.

答案:C

4. (2012· 天津高考)已知集合 A={x∈R||x+2|<3}, 集合 B ={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m =__________,n=________.
解析:因为|x+2|<3,即-5<x<1,所以 A=(-5,1),又 A∩B≠?,所以 m<1,B=(m,2),由 A∩B=(-1,n) 得 m=-1,n=1.

答案:-1

1

1 5.不等式 <1的解集为________. x- 1

x-2 1 1 解析:由 <1 得 1- >0,即 >0,解 x-1 x-1 x-1 得 x<1,或 x>2.

答案:{x|x<1,或x>2}

解一元二次不等式应注意的问题: (1)在解一元二次不等式时,要先把二次项系数化为正 数. (2)二次项系数中含有参数时,参数的符号会影响不等式

的解集,讨论时不要忘记二次项系数为零的情况.
(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的 符号. (4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程 的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同.

[例1] 解下列不等式:
(1)0<x2-x-2≤4;

(2)x2-4ax-5a2>0(a≠0).

[自主解答]

(1)原不等式等价于
2 ? ?x - x- 2> 0, ?? 2 ? ?x - x- 6≤ 0

2 ? ?x - x- 2> 0, ? 2 ? ?x - x- 2≤ 4

?? x- 2??x+ 1?> 0, ? ?? ? ?? x- 3??x+ 2?≤ 0

?x> 2或 x<- 1, ? ?? ? ?- 2≤ x≤ 3.

借助于数轴,如图所示,

原不等式的解集为 x|-2≤x<-1,或2<x≤3 .

? ? ?

? ? ?

(2)由 x2-4ax-5a2>0 知(x-5a)(x+a)>0. 由于 a≠0 故分 a>0 与 a<0 讨论. 当 a<0 时,x<5a 或 x>-a; 当 a>0 时,x<-a 或 x>5a. 综上,a<0 时,解集为 x|x<5a,或x>-a ;a>0 时, 解集为 x|x>5a,或x<-a .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(3)原不等式可化为(x+4)(x+5)2(x-2)>0 其对应方程(x+4)(x+5)2(x-2)=0 的根为 x1=-4, x2=x3=-5,x4=2.

如图,用穿针引线法得原不等式的解集为 {x|x<-5,或-5<x<-4,或 x>2}.

1.解一元二次不等式的一般步骤:

(1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,
即ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0); (2)计算相应的判别式; (3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.

2.解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解,
再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对 判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.

1.解下列不等式:
(1)-3x2-2x+8≥0;

3 2 (2)ax -(a+1)x+1<0(a>0). (3)x-2≤1-x+2. 解:(1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0,
2

即(3x-4)(x+2)≤0. 解得-2 4 ≤x≤ , 3
? ? ?. ? ?

? ? ? 4 ? ? 所以原不等式的解集为 x -2≤x≤3 ? ? ?

(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0, 因为
? 1? a>0,所以?x-a?(x-1)<0. ? ?

1 所以当 a>1 时,解为a<x<1; 当 a=1 时,解集为?; 1 当 0<a<1 时,解为 1<x<a. 综上,当 0<a<1
? ? ? 1 ? ? 时,不等式的解集为 x 1<x<a ? ? ? ? ? ?; ? ?

当 a=1 时,不等式的解集为?; 当 a>1
? ? ?1 时,不等式的解集为?x?a<x<1 ? ? ? ? ? ?. ? ?

3 2 3 x (3)由 ≤ 1- 得, - ≤0, x-2 x+2 x-2 x+2 ?x+1??x-6? 即 ≥0, ?x-2??x+2?

如图,用“穿针引线”法得不等式的解集为{x|x<-2,或- 1≤x<2,或 x≥6}.

[例2]

已知不等式mx2-2x+2m+1<0.

(1)若对所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范 围; (2)设不等式对任意m∈[-1,0]恒成立,求x的取值

范围.

[自主解答]

(1)不等式 mx2-2x+2m+1<0 恒成立,

即函数 f(x)=mx2-2x+2m+1 的图像全部在 x 轴下方. 当 m=0 时,1-2x<0, 1 即当 x> 时,不等式成立; 2 当 m≠0 时,函数 f(x)=mx2-2x+2m+1 为二次函数, 需满足开口向下且方程 mx2-2x+2m+1=0 无实根,
? ?m<0, 即? ? ?Δ=4-4m?1+2m?<0,

解得 m<-1

所以 m 的取值范围为(-∞,-1).

(2)设 g(m)=(x2+2)m+(1-2x), 则其图像是直线, 由题意知该直线当-1≤m≤0 时的一 段在 x 轴下方,
? ?g?-1?<0, 所以? ? ?g?0?<0,
2 ? ?-x -2x-1<0, 即? ? ?1-2x<0,

1 解得 x> . 2 所以 x
?1 ? 的取值范围为?2,+∞?. ? ?

1.对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次 函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应 的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方. 2.一元二次不等式恒成立的条件: (1)ax2+bx+c>0(a≠0)(x∈R) 恒成立的充要条件是: a>0且b2-4ac<0.

(2)ax2+bx+c<0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是:
a<0且b2-4ac<0. 3.对于恒成立问题常用到以下两个结论:

(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max.
(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.

2. 已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R), 当 x∈[-1, +∞)时, f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.
解:法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图像的对称轴为 x =a. ①当 a∈(-∞,-1) 时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min =f(-1)=2a+3. 要使 f(x)≥a 恒成立, 只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a, 解得-3≤a <-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由 2-a2≥a,解 得-1 ≤a≤1. 综上所述,a 的取值范围为[-3,1].

法二:令 g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得 x2-2ax+2- a≥0 在[-1,+∞)上恒成立,即 Δ=4a2-4(2-a)≤0 或 ?Δ>0, ? ?a<-1, ?g?-1?≥0. ?

解得-3 ≤a≤1.

所求 a 的取值范围是[-3,1].

[例 3]

(2012· 淮南期末)某商品每件成本价为 80 元,售

价为 100 元, 每天售出 100 件. 若售价降低 x 成(1 成=10%), 8 售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5

(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函

数关系式y=f(x),并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求 x的取值范围.

[自主解答]

? ? x? 8 ? (1)由题意得y= 100?1- ?· 100?1+ x?. 10? 50 ? ? ?

因为售价不能低于成本价,
? x? 所以100?1- ?- 80≥ 0. 10? ?

所以y=f(x)= 20(10- x)(50+ 8x),定义域为[0,2].

(2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10 260, 化简得8x2-30x+13≤0. 1 13 解得 ≤x≤ . 2 4
?1 ? 所以x的取值范围是? ,2?. ?2 ?

解不等式应用题,一般可按如下四步进行: (1)认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回答实际问题.

3.某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家ISP公 司可供选择.公司A每小时收费1.5元;公司B在用户每 次上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元, 以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小 时,按17小时计算).假设该同学一次上网时间总是小 于17小时,那么该同学如何选择ISP公司较省钱?

解: 假设一次上网 x 小时, 则公司 A 收取的费用为 1.5x 元, x?35-x? 公司 B 收取的费用为 元. 20 若能够保证选择 A 比选择 B 费用少,则 x?35-x? >1.5x(0<x<17), 20 整理得 x2-5x<0,解得 0<x<5, 所以当一次上网时间在 5 小时内时,选择公司 A 的费用少; 超过 5 小时,选择公司 B 的费用少.

[典例]

(2012· 安徽模拟)已知a∈[-1,1],不等式

x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为(
A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)

)

[解析]

把不等式的左端看成关于a的一次函数,

记f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),则f(a)>0对于任意的 a∈[-1,1]恒成立,易知只需f(-1)=x2-5x+6>0,且 f(1)=x2-3x+2>0即可,联立方程解得x<1或x>3. [答案] C

[题后悟道]

本题解答利用了转化与化归思想、函

数思想,体现了主元与次元的转化,从而变为关于a的

一次函数,利用函数的性质来求解.解决此类问题一定
要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围, 就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.利用转化与 化归思想的原则是:熟悉化原则、简单化原则、直观化 原则、正难则反原则.

?针对训练
(2013· 杭州模拟)若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈
? 1? ?0, ?成立,则 2? ?

a 的最小值为
B.-2 D.-3

(

)

A.0 5 C.- 2

解析:∵x +ax+1≥0,在 1 ∴a≥-x-x.
? 1? 1 5 ? ? x + 又-x-x=- x?≤-2, ?

2

? 1? x∈?0,2?时恒成立, ? ?

5 5 ∴a≥- ,即 amin=- . 2 2

答案:C

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.(2012· 温州高三适应性测试)若圆 x2+y2-4x+ 2my+m+6=0 与 y 轴的两交点 A,B 位于原点 的同侧,则实数 m 的取值范围是
A.m>-6 C.m>2 或-6<m<-1

(

)

B.m>3 或-6<m<-2 D.m>3 或 m<-1
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(三十六)”

解析:依题意,令 x=0 得关于 y 的方程 y2+2my+m+ 6=0 有两个不相等且同号(均不等于零)的实根,于是有
2 ? ?Δ=?2m? -4?m+6?>0, ? ? ?m+6>0,

由此解得 m>3 或-6<m

<-2.

答案: B

2.已知函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x) 的图像如图所示,且 f(-2)=1,f(3) =1,则不等式 f(x2-6)>1 的解集为 ( )

A.(2,3)∪(-3,-2) C.(2,3)

B.(- 2, 2) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)

解析:由导函数图像知,当 x<0 时,f′(x)>0,即 f(x) 在(-∞,0)上为增函数;当 x>0 时,f′(x)<0,即 f(x) 在(0,+∞)上为减函数, 故不等式 f(x2-6)>1 等价于 f(x2-6)>f(-2)或 f(x2-6)> f(3),即-2<x2-6≤0 或 0 ≤x2-6<3,解得 x∈(2,3) ∪(-3,-2).

答案:A

?1? 1 3.若关于 x 的不等式 x + x-?2?n≥0 对任意 n∈N+在 x 2 ? ?
2

∈(-∞, λ]上恒成立, 则实数 λ 的取值范围是________.
?1? 1 1 n ? ? 解析:由题意得 x + x≥ 2 max= , 2 2 ? ?
2

1 解得 x≥ 或 x≤-1. 2 又 x∈(-∞,λ],所以 λ 的取值范围是(-∞,-1].

答案:(-∞,-1]

x2-9 4.(2012· 江西高考)不等式 >0 的解集是________. x-2 x2-9 解析:由 >0,得(x+3)(x-3)(x-2)>0,利用数轴 x-2

穿根法易得-3<x<2 或 x>3.

答案:{x|-3<x<2,或x>3}

5.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关 销售的统计规律:每生产产品 x(百台),其总成本为 G(x) 万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产 成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入 (万元)R(x)满足
2 ? ?-0.4x +4.2x-0.8,0≤x≤5, R(x)=? ? ?10.2,x>5.

假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律:

(1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的售 价为多少?
解:依题意得 G(x)=x+2,设利润函数为 f(x), 则 f(x)=R(x)-G(x), 所以
2 ? ?-0.4x +3.2x-2.8,0≤x≤5, f(x)=? ? ?8.2-x,x>5.

(1)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0, 因为 f(x)>0
? ?0≤x≤5, ∴? 2 ? ?-0.4x +3.2x-2.8>0 ? ?0≤x≤5, ∴? 2 ? ?x -8x+7<0 ? ?x>5, 或? ? ?8.2-x>0.

或 5<x<8.2.

∴1<x≤5 或 5<x<8.2,即 1<x<8.2. 所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内.

(2)0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2. 所以当工厂生产 400 台产品时,盈利最大, R?4? 此时, =2.4(万元/百台)=240(元/台). 4 即每台产品的售价为 240 元.


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