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(新)2013届高三第一次大考数学试卷(文科)20120827


广东省佛山市高明一中 2013 届高三第一次模拟考试数学试卷(文科)

高明一中高三年级第一学期第一次大考试卷 文科数学
注意事项: 1、不准使用计算器; 2、所有试题答案必须写在答题卡上,否则一律不计分; 3、必须用黑色或蓝色的水笔或圆珠笔作答,不准用铅笔作答; 4、要求格式工整、规范,不准随意涂画。 5、全卷满分为 150 分,答题时间为 2 小时。 一、选择题(共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分;下列各小题的四个答案中只有一个 是正确的,请把唯一正确答案的代号填在答题卡的相应表格中) 1.已知 i 为虚数单位,则 ? 1 ? i ? ? 3 ? 3 i ? = A.0 B.3 C. 6i
1 x

D.6 的定义域为 N ,则 M ? N ?
x ? 1?

2.已知函数 f ? x ? ? lg ? 1 ? x ? 的定义域为 M ,函数 y ? A.

?x

x ? 1且 x ? 0?

B.

?x

x ? 1且 x ? 0?

C.

?x

D.

?x

x ? 1?

3.首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 10 项和 S 1 0 ? A.1022 B.1023 C.1024 D.1025
? ? ? ? 4.已知向量 a ? ? x ,1 ? , b ? ? 3, 6 ? , a ? b ,则实数 x 的值为

A. ? 2

B. ?

1 2

C. 2

D.

1 2

5.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 x ,则 f ( ? 2) ? A.
1 4

B. ? 4

C. ?

1 4

D. 4

6.某校开展“爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示.记 分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个 数字(茎叶图中的 x)无法看清, 若记分员计算无 误,则数字 x 应该是 A.4 C.2 B.3 D.1

7.要得到函数 y ? sin ( 2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象
1

广东省佛山市高明一中 2013 届高三第一次模拟考试数学试卷(文科)

A. 向左平移 1 个单位 C. 向左平移
1 2 1 6 1 2 1 3

B. 向右平移 1 个单位 D. 向右平移
1 2

个单位

个单位

8.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 A. C. B. D.
2

1
2 2

1
主视图

1
侧视图

9. 已知抛物线 C 的方程为 x ?

1 2

y ,过点 A ? 0 , ? 1 ? 和点

B ?t , 3 ? 的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围

2

是 A.

1
? ? 2 ? ? 2 ??? , ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

? ? ? , ? 1 ? ? ?1, ?? ?

B. ? ? ? , ? ?

1
俯视图

C. ? ? ,? 2 2 ? 2 2 ,??

?

? ?

?

D. ? ? ,? 2 ?

?

? ?

2 ,??

?

, 10 . 若 实 数 a , b 满 足 a ? 0 b ?

0, 且 ab ? 0 , 则 称 a 与 b 互 补 . 记

? ? a, b ? ?

a ? b ? a ? b ,那么 ? ? a , b ? ? 0 是 a 与 b 互补的
2 2

A. 必要而不充分的条件 C. 充要条件

B. 充分而不必要的条件 D. 既不充分也不必要的条件

二、填空题(满分 20 分;把答案填在答题卡中相应的空格中) 11.在△ABC 中, a , b , c 分别是 ? A , ? B , ? C 所对的边,若 ? A ? 1 0 5 0 , ? B ? 4 5 0 , b ? 2 2

则 c ? ***************.
12.右图是一个算法的程序框图,该算法所输出的结果 是***************. 13.曲线 y ? e 在点 ? 2, e
x
2

? 处的切线与坐标轴所围三角

形的面积为***************. ★(请考生在以下两个小题中任选做一题,两题全答的, 只计算前一题得分. ) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点
? ? ? ? 2 2 , ? 作圆 ? ? 4 sin ? 的切线,则切线的极坐 4 ? ?

标方程是***************.
2

广东省佛山市高明一中 2013 届高三第一次模拟考试数学试卷(文科)

15. (几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 的直径 A B ? 6 , C 为圆周上一点, B C ? 3 , 过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 A D ,垂足为 D , D 则 ? D A C ? ***************.
C
A B
l

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 sin ? ? x ?
? ?

? ?

? 的最小正周期是 ,其中 ? ? 0 . 6 ? 2

?

(Ⅰ)求 f ? 0 ? 、 ? ; (Ⅱ)若 f (
?
4 ?

?
24

)?

24 13

, ? 是第二象限的角,求 sin 2? .

O

17. (本小题满分 14 分) 将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (I)两数之和为 5 的概率; (II)以第一次向上点数为横坐标 x ,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点 ? x , y ? 在
x ?0 ? ? y ?0 区域 ? : ? 内的概率. ?x ? y ? 2 ? 0 ?

18. (本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? A B C D 的底面是边长为 1 的正方形, P A ? C D , P A ? 1, P D ? (Ⅰ)求证: P A ? 平面 A B C D ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? A B C D 的体积. (III)设平面 P B C 和平面 P A D 的交线为直线 l ,试判 定直线 l 与平面 A B C D 的位置关系,并证明你的结论。
P _

2.

A _ B _ C _

D _

3

广东省佛山市高明一中 2013 届高三第一次模拟考试数学试卷(文科)

19. (本题满分 12 分) 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 m 3 ,深为 3 m ,如果池底每平方 米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,记该水池底面一边的长度为 x
m

?x

? 0 ? ,该水池的总造价为 y 元.

(Ⅰ)写出 y 关于 x 的函数表达式 ; (Ⅱ)怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少元?

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? 是公差不为零的等差数列, a1 0 ? 1 5 ,且 a 3 、 a 4 、 a 7 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ?
an 2
n

,数列 ? b n ? 的前 n 项和为 T n ,求证: ?

7 4

? T n ? ? 1( n ? N ) .
*

21. (本小题满分 14 分) 设椭圆 E:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为 e =

2 2

,点 P 是椭圆上的一点,且点 P 到

椭圆 E 两焦点的距离之和为 4 2 . (I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且
??? ? ??? ? O A ? O B ?若存在,求出该圆的方程;若不存在说明理由。

4

广东省佛山市高明一中 2013 届高三第一次模拟考试数学试卷(文科)

高明一中高三年级第一学期第一次大考试卷 文科数学答题卡
一、选择题(10×5 分=50 分) : 题 号 答 案 二、填空题(4×5 分=20 分) : 11、 ; 12、 ; 选做第( .... )题,答案为: ...... ; __ 。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

考号

13、__

三、 解答题(共 80 分) 16.解:

姓名

班级

5

广东省佛山市高明一中 2013 届高三第一次模拟考试数学试卷(文科)

17.解:

18.解:
P _

A _ B _ C _

D _

6

广东省佛山市高明一中 2013 届高三第一次模拟考试数学试卷(文科)

19.解:

20.解:

7

广东省佛山市高明一中 2013 届高三第一次模拟考试数学试卷(文科)

21.解:

8

广东省佛山市高明一中 2013 届高三第一次模拟考试数学试卷(文科)

高明一中高三年级第一学期第一次大考文科数学答案
D A B A B D C C D C

11. 2 ;

12.

3 4

13.

e

2

14. ? cos ? ? 2

15. 30 ?

2

16. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ) f ? 0 ? = 2 sin ? ? ? 0 ?
?

?

? ?

? 1 -------3 分 ? ? 2 sin 6 ? 6

?

由已知得: T ?

2?

?

?

?
2
? ?

所以 ? ? 4 --------------6 分
? ?
? 6 ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ? x ? ? 2 sin ? 4 x ?
? f(

?
4

?

? ?? ? ? ? ? 24 ) ? 2 sin ? 4 ? ? ? ? ? ? 2 sin ? ? 24 13 ? ? 4 24 ? 6 ?

?

? sin ? ?

12 13

--------------8 分

又 ? 是第二象限的角
? co s ? ? ?

5 13

--------------10 分
12 120 ? 5 ? ??? --------------12 分 ?? ? 13 ? 13 ? 169

? sin 2? ? 2 sin ? co s ? ? 2 ?

17. (本小题满分 14 分) 解: (I)将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中所有的基本事件有:

? 1,1 ? 、 ? 1, 2 ? 、 ?1, 3 ? 、 ? 1, 4 ? 、 ?1, 5 ? 、 ? 1, 6 ? 、 ? 2 ,1 ? 、 ? 2, 2 ? 、 ? 2, 3 ? 、 ? 2, 4 ? 、 ? 2, 5 ? 、 ? 2, 6 ? 、 ? 3,1 ? 、 ? 3, 2 ? 、 ? 3, 3 ? 、 ? 3, 4 ? 、 ? 3, 5 ? 、 ? 3, 6 ? 、 ? 4 ,1 ? 、 ? 4, 2 ? 、 ? 4, 3 ? 、 ? 4, 4 ? 、 ? 4, 5 ? 、 ? 4, 6 ? 、 ? 5,1 ? 、 ? 5, 2 ? 、 ? 5, 3 ? 、 ? 5, 4 ? 、 ? 5, 5 ? 、 ? 5, 6 ? 、 ? 6 ,1 ? 、 ? 6, 2 ? 、 ? 6, 3 ? 、 ? 6, 4 ? 、 ? 6, 5 ? 、 ? 6, 6 ? 共 36 个等可能基本事件 -------3 分(不写基本事件的扣 2 分,只
给 1 分,下面不写不再扣分) 记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有

? 1, 4 ? 、 ? 2, 3 ? 、 ? 3, 2 ? 、 ? 4 ,1 ? 4 个基本事件,-------6 分(基本事件不全最多给 2 分,
若不写基本事件而写错个数的不给分,后面第(II)问按此标准给分)
9

广东省佛山市高明一中 2013 届高三第一次模拟考试数学试卷(文科)

所以 P(A)=

4 36

?

1 9



-------8 分(因基本事件不全造成答案不正确不给分)

x ?0 ? ? y ?0 (II)记“点(x,y)在区域 ? : ? 内”为事件 B,则 B 包含 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

? 4 ,1 ? 、 ? 5,1 ? 、 ? 5, 2 ? 、 ? 6 ,1 ? 、 ? 6, 2 ? 、 ? 6, 3 ? 共 6 个基本事件 -------11 分(基本事件
不全最多给 2 分) 所以 P(B)=
6 36 ? 1 6 1



-------13 分(因基本事件不全造成答案不正确不给分)

x ?0 ? ? y ?0 答:两数之和为 5 的概率为 .点(x,y)在区域 ? : ? 内的概率 9 ?x ? y ? 2 ? 0 ?



1 6



------14 分

18. (本题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为四棱锥 P ? A B C D 的底面是边长为 1 的正方形, PA ? 1, PD ? 所以 PD 2 ? PA 2 ? AD 2 ,所以 PA ? AD ------- 3 分 又 PA ? CD , AD ? CD ? D 所以 P A ? 平面 A B C D --------------6 分 (Ⅱ)四棱锥 P ? A B C D 的底面积为 1, 因为 P A ? 平面 A B C D ,所以四棱锥 P ? A B C D 的高为 1, 所以四棱锥 P ? A B C D 的体积为
1 3
P _

2

A _ B _ C _

D _

. ---------------10 分

(III) l // 平面 A B C D -----------11 分 ? B C // A D B C ? 平面 P A D ? 平面 P A D AD ? B C // 平面 P A D -----------12 分 又? B C ? 平面 P B C 且平面 P B C ? 平面 P A D = l 由线面平行的性质定理得: B C // l -----------13 分 又? B C ? 平面 A B C D , l ? 平面 A B C D ? l // 平面 A B C D -----------14 分 19. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因水池底面一边的长度为 x m ,则另一边的长度为 根据题意,得
10
4800 3x

m ,--1 分

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y =150×

4800 3

+120(2×3 x +2×3×
1600 x

4800 3x

) ---------5 分

=240000+720( x +

) )+240000 -----------6 分

? 所求的函数表达式为: y ? 720( x +

1600 x

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 y ? 720( x + ≥720×2 x ?

1600 x
1600 x

)+240000 +240000 -----------9 分 -----------10 分
4800 3x

=720×2×40+240000 =297600. 当且仅当 x =
1600 x

, x =40 时, y 有最小值 297600. 此时另一边的长度为 即

=40 m

(---11 分)因此,当水池的底面是边长为 40 m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总 造价是 297600 元. -----------12 分 20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ) 解:设数列 ? a n ? 的公差为 d ( d ? 0 ) ,由已知得:
? ? a1 0 ? 1 5 ? 即: ? ? 2 ? a4 ? a3a7 ? ? a1 ? 3 d ? a1 ? 9 d ? 1 5

?

2

? ? a1 ? 2 d

? ? a1 ? 6 d ?

------2 分

解之得: ?

? a1 ? ? 3 ? d ? 2

---------------------4 分

an ? 2n ? 5 , n ? 1 ) (

-------------------------6 分
? 2n ? 5 2 1
3 n

(Ⅱ)证明: ∵ b n ?
?3

an 2
n

,n ? 1.

2 2 2 2 1 ?3 ?1 1 2n ? 7 2n ? 5 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? . n n ?1 2 2 2 2 2 2

Tn ?

?

?1
2

?

?? ?

2n ? 5
n

,

① ②

①-②得:
1 2 Tn ? ?3 2 1 2 ? 2( ? 1
2

?

1
3

?? ?

1 2
n

)?

2n ? 5 2
n ?1

? ?

2 2 1 ? 2n 2
n ?1

11

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得 Tn ? ? 1 ? ∵
2n ? 1 2
n

2n ? 1 2
n

( n ? 1) ,
*

----------10 分

? 0(n ? Ν ) ,

∴ Tn ? ? 1 .
Tn ?1 ? Tn ? ( ? 1 ? 2n ? 1 2
n ?1

------------------12 分
) ? (?1 ? 2n ? 1 2
n

)?

2n ? 3 2
n ?1



∴ Tn ? Tn ?1 .

?n ? 2?

-----------13 分

而 T1 ? T 2 ,所以 T 2 最小 又 T2 ? ?
7 4

,所以 T n ? ?
7 4

7 4
*

综上所述, ? 21. (本小题满分 14 分)

? T n ? ? 1( n ? N ) . ----------14 分

解: (I)依题意知, 2 a ? 4 2 ,? a ? 2 2 .
c a 2 2

----------1 分

∵e ?

?

,∴ c ? 2, b ?

a ?c
2

2

?2.

---------------3 分

∴所求椭圆 E 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

----------4 分

8

4

(II)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且
??? ? ??? ? O A ? O B ,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m ----------5 分
? y ? kx ? m ? 解方程组 ? x 2 y 2 ? ?1 ? 4 ? 8

得 x ? 2 ( kx ? m ) ? 8 ,即 (1 ? 2 k ) x ? 4 km x ? 2 m ? 8 ? 0 ,----------------6 分
2 2 2 2 2

则△= 16 k m ? 4(1 ? 2 k )(2 m ? 8) ? 8(8 k ? m ? 4) ? 0 ,即 8 k 2 ? m 2 ? 4 ? 0
2 2 2 2 2 2

12

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4 km ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 2 k 2 ? ,-------------------7 分 ? 2 2m ? 8 ? x x ? 2 ? 1 2 1 ? 2k ?
y1 y 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ? k x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m ?
2 2

k ( 2 m ? 8)
2 2

1 ? 2k
2

2

?

4k m 1 ? 2k

2

2 2

?m ?
2

m ? 8k
2

2

1 ? 2k

2

要使 O A ? O B ,需使 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,即

??? ?

??? ?

2m ? 8
2

1 ? 2k

2

?

m ? 8k
2

1 ? 2k

2

? 0 ,-------------------9 分

所以 3 m 2 ? 8 k 2 ? 8 ? 0 ,所以 k 2 ?

3m ? 8
2

? 0 -------------------10 分

8

又 8 k 2 ? m 2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 分)

? m2 ? 2 ?3m ? 8
2

,即存在 m ?

2 6 3

或m ? ?

2 6 3

,(不写此条件的扣 1

因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 r ?

m 1? k
2

,

即:

r ?
2

m

2 2

1? k

? 1?

m

2 2

3m ? 8 8

?

8 3 ,? r ?

2 6 3

,

? 所求的圆的方程为: x ? y ?
2 2

8 3

, -----------------12 分
2 6 3

而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ?

与椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的两个交点为

8

4

(

2 6 3

,?

2 6 3

) 或 (?

2 6 3

,?

2 6 3

??? ? ??? ? ) 满足 O A ? O B .-----------------13 分
8 3

综上所述, 存在圆心在原点的圆 x ? y ?
2 2

,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个

交点 A,B,且 O A ? O B .----------------14 分

??? ?

??? ?

13


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