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2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3课件:1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


1.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理
[提出问题] 一名游客从沈阳出发去长沙游玩,已知从沈阳到长沙每天 有 7 个航班、6 列火车. 问题 1:该游客从沈阳到长沙的方案可分几类?

提示:两类,即乘飞机、坐火车.
问题 2:这几类方案中各有几种方法?
提示: 第 1 类方案(乘飞机)有 7 种方法, 第 2 类方案(坐火车) 有 6 种方法.

问题 3:该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法?
提示: 共有 7+6=13 种不同的方法.

[导入新知] 1.完成一件事有两类不同的方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法,那 么完成这件事共有 N= m+n 种不同的方法. 2.完成一件事有 n 类不同的方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方 法,??,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成这 件事共有 N= m1+m2+?+mn 种不同的方法.

[化解疑难] 1.分类加法计数原理中各类办法相互独立,各类办法中的 各种方法也相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单 独完成这件事. 2.要清楚“完成一件事”的含义,即知道做“一件事”或 完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么. 3.分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类标准,然 后在这个标准下进行分类.

分步乘法计数原理
[提出问题] 一名游客从沈阳出发去长沙游玩,但需在北京停留,已知从 沈阳到北京每天有 7 个航班,从北京到长沙每天有 6 列火车. 问题 1:该游客从沈阳到长沙需要经历几个步骤?

提示:两个,即先乘飞机到北京,再坐火车到长沙.

问题 2: 完成每一步各有几种方法?
提示:第 1 个步骤有 7 种方法,第 2 个步骤有 6 种方法.
问题 3:该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法?

提示:共有 7×6=42 种不同的方法.

[导入新知] 1.完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的 方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N = m×n 种不同的方法. 2.完成一件事需要 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的 方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,则完成这件事共有 N= m1×m2×?×mn 种 不同的方法.

[化解疑难] 1.分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步,各 个步骤相互依存,完不成其中任何的一步都不能完成这件 事,只有当各个步骤都完成之后,才能完成该事件. 2. 要清楚“完成一件事”的含义, 即知道做“一件事” 或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么. 3.分步时,首先要根据问题特点确定一个可行的分步 标准,标准不同,分的步骤数也会不同.

分类加法计数原理
[例 1] 某校高三共有三个班,各班人数如下表.

男生数 高三(1)班 高三(2)班 高三(3)班 30 30 35

女生数 20 30 20

总数 50 60 55

(1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席,有多少种不同的 选法? (2)从高三(1)班、 (2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学 生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?

[解]

(1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席, 共有三类不

同的方案: 第 1 类, 从高三(1)班中选出 1 名学生, 有 50 种不同的选法; 第 2 类, 从高三(2)班中选出 1 名学生, 有 60 种不同的选法; 第 3 类, 从高三(3)班中选出 1 名学生, 有 55 种不同的选法. 根据分类加法计数原理知, 从三个班中选 1 名学生任学生会 主席,共有 50+60+55=165 种不同的选法. 从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生 任学生会生活部部长,共有三类不同的方案:

(2)第 1 类,从高三(1)班男生中选出 1 名学生,有 30 种不 同的选法; 第 2 类,从高三(2)班男生中选出 1 名学生,有 30 种不同 的选法; 第 3 类,从高三(3)班女生中选出 1 名学生,有 20 种不同 的选法. 根据分类加法计数原理知,从高三 (1)班、(2)班男生中或 从高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长,共有 30 +30+20=80 种不同的选法.

[类题通法] 利用分类加法计数原理计数时的解题流程

[活学活用] 若 x,y∈N*,且 x+y≤6,试求有序自然数对(x,y)的个数.
解:按 x 的取值进行分类: x=1 时,y=1,2,3,4,5,共构成 5 个有序自然数对; x=2 时,y=1,2,3,4,共构成 4 个有序自然数对; ?? x=5 时,y=1,共构成 1 个有序自然数对. 根据分类加法计数原理,共有 N=5+4+3+2+1=15 个有 序自然数对.

分步乘法计数原理
[例 2] 从 1,2,3,4 中选三个数字,组成无重复数字的整数,

则满足下列条件的数有多少个? (1)三位数; (2)三位偶数.

[解 ]

(1)三位数有三个数位:

百位

十位

个位



故可分三个步骤完成: 第 1 步,排个位,从 1,2,3,4 中选 1 个数字,有 4 种方法; 第 2 步,排十位,从剩下的 3 个数字中选 1 个,有 3 种方法;

第 3 步, 排百位, 从剩下的 2 个数字中选 1 个, 有 2 种方法. 根据分步乘法计数原理, 共有 4×3×2=24 个满足要求的三 位数. (2)分三个步骤完成: 第 1 步,排个位,从 2,4 中选 1 个,有 2 种方法; 第 2 步, 排十位, 从余下的 3 个数字中选 1 个, 有 3 种方法; 第 3 步,排百位,只能从余下的 2 个数字中选 1 个,有 2 种 方法. 根据分步乘法计数原理, 共有 2×3×2=12 个满足要求的三 位偶数.

[类题通法] 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程

[活学活用] 一个口袋里有 5 封信,另一个口袋里有 4 封信,各封信内 容均不相同. (1)从两个口袋里各取 1 封信,有多少种不同的取法? (2)把这两个口袋里的 9 封信,分别投入 4 个邮筒,有多少 种不同的投法?
解:(1)各取 1 封信,不论从哪个口袋里取,都不能算完成 了这件事,因此应分两个步骤完成,由分步乘法计数原理知, 共有 5×4=20 种不同的取法. (2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑,第 1 封信投入邮筒 有 4 种可能,第 2 封信仍有 4 种可能??第 9 封信还有 4 种可 能,所以共有 49 种不同的投法.

两个计数原理的综合应用
[例 3] 王华同学有课外参考书若干本,其中有 5 本不同

的外语书,4 本不同的数学书,3 本不同的物理书,他欲带参 考书到图书馆阅读. (1)若他从这些参考书中带 1 本去图书馆, 则有多少种不同 的带法? (2)若带外语、数学、物理参考书各 1 本,则有多少种不同 的带法? (3)若从这些参考书中选 2 本不同学科的参考书带到图书 馆,则有多少种不同的带法?

[解]

(1)完成的事情是带一本书, 无论带外语书, 还是数学书、

物理书,事情都已完成,从而确定应用分类加法计数原理,结果 为 5+4+3=12(种). (2)完成的事情是带 3 本不同学科的参考书,只有从外语、数 学、物理书中各选 1 本后,才能完成这件事,因此应用分步乘法 计数原理,结果为 5×4×3=60(种). (3)选 1 本外语书和选 1 本数学书应用分步乘法计数原理,有 5×4=20 种选法;同样,选外语书、物理书各 1 本,有 5×3=15 种选法;选数学书、物理书各 1 本,有 4×3=12 种选法.即有三 类情况,应用分类加法计数原理,结果为 20+15+12=47(种).

[类题通法] 在用两个计数原理处理问题时,首先要分清是 “ 分 类”还是“分步”,其次要清楚“分类”或“分步”的具 体标准,在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则, 在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意“步”与 “步”之间的连续性.

[活学活用] 有一项活动, 需在 3 名老师、 8 名男同学和 5 名女同学中选部 分人员参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同的选法? (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同的 选法? (3)若需一名老师、一名同学参加,有多少种不同的选法?
解:(1)有三类:3 名老师中选一人,有 3 种方法;8 名男同 学中选一人,有 8 种方法;5 名女同学中选一人,有 5 种方法.

由分类加法计数原理知,有 3+8+5=16 种选法. (2)分三步:第 1 步选老师,有 3 种方法;第 2 步选男同学, 有 8 种方法;第 3 步选女同学,有 5 种方法. 由分步乘法计数原理知,共有 3×8×5=120 种选法. (3)可分两类,每一类又分两步. 第 1 类,选一名老师再选一名男同学,有 3×8=24 种选法; 第 2 类, 选一名老师再选一名女同学, 共有 3×5=15 种选法. 由分类加法计数原理知,共有 24+15=39 种选法.

1.计数时出现的“遗漏”
[典例] 有红、黄、蓝旗各 3 面,每次升 1 面、2 面或 3 面旗

纵向排列在某一旗杆上,表示不同的信号,顺序不同也表示不同 的信号,共可以组成多少种不同的信号?
[解] 每次升 1 面旗可组成 3 种不同的信号;每次升 2 面旗

可组成 3×3=9 种不同的信号;每次升 3 面旗可组成 3×3×3= 27 种不同的信号.根据分类加法计数原理,共可组成 3+9+27 =39 种不同的信号.

[易错防范] 1.求解时,易忽略信号可分为每次升 1 面、每次升 2 面、每次升 3 面这三类. 2.解决此类问题一般是先分类再分步,分类时要设计 好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏,分步时要注意 步与步之间的连续性.

[成功破障] 某外语小组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人 会英语,3 人会日语,从中选出会英语和日语的各一人组成一个 二人活动小组,有多少种不同的选法?

解:共分三类:第 1 类,当既会英语又会日语的人被当作会英语 的人时,选出只会日语的一人即可,有 2 种选法;第 2 类,既会 英语又会日语的人被当作会日语的人时, 选出只会英语的一人即 可,有 6 种选法;第 3 类,既会英语又会日语的人都不参加该二 人组时,则需从只会日语和只会英语的人中各选一人,有 2×6 =12 种方法,故共有 2+6+12=20 种选法.

[随堂即时演练] 1.现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤,如果一条
长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为 A. 7 C.64 B.12 D.81 ( )

解析:要完成长裤与上衣配成一套,分两步:第 1 步,选上 衣,从 4 件上衣中任选一件,有 4 种不同选法;第 2 步,选 长裤, 从 3 条长裤中任选一条, 有 3 种不同选法. 故共有 4× 3 =12 种不同的配法. 答案:B

2.已知集合 M={-2,1,3},N={-4,5,6,7},从两个集合中各取 一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表 示第一、二象限内不同的点的个数是 A.18 C.16 B.17 D.10 ( )

解析:分两类:第 1 类,M 中的元素作横坐标,N 中的元素 作纵坐标,则有 3× 3=9 个在第一、二象限内的点;第 2 类, N 中的元素作横坐标,M 中的元素作纵坐标,则有 4× 2=8 个 在第一、二象限内的点.由分类加法计数原理,共有 9+8= 17 个点在第一、二象限内. 答案:B

3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成 复数 a+bi,其中虚数有________个.
解析:第 1 步取 b 的数,有 6 种方法;第 2 步取 a 的数, 也有 6 种方法.根据分步乘法计数原理,共有 6×6=36 个虚数. 答案:36

4.一学习小组有 4 名男生、3 名女生,任选一名学生当数学课代 表,共有________种不同选法;若选男、女生各一名当组长, 共有________种不同选法.
解析:任选一名当数学课代表可分两类,一类是从男生中选, 有 4 种选法;另一类是从女生中选,有 3 种选法.根据分类 加法计数原理,共有 4+3=7 种不同选法. 若选男、女生各一名当组长,需分两步:第 1 步,从男生中 选一名,有 4 种选法;第 2 步,从女生中选一名,有 3 种选 法.根据分步乘法计数原理,共有 4×3=12 种不同选法. 答案:7 12

5.有不同的红球 8 个,不同的白球 7 个. (1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法? (2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法?
解:(1)由分类加法计数原理得, 从中任取一个球共有 8+7=15 种取法. (2)由分步乘法计数原理得, 从中任取两个不同颜色的球共有 8×7=56 种取法.

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