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2016


3.1

数系的扩充

1.理解复数的基本概念、复数的代数表示.(重点) 2.利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用.(重点、难点) 3.实部、虚部的概念.(易混点)

[基础·初探] 教材整理 1 复数的相关概念 阅读教材 P65~P66“例 1”以上部分,完成下列问题. 1.虚数单位 我们引入一个新数 i,叫做虚数单位,并规定: (1)i =-1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立. 2.复数、复数集 (1)形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,全体复数所组成的集合叫做复数集,记作 C. (2)复数 z=a+bi(a,b∈R),其中 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部.
2

判断正误: (1)若 a,b 为实数,则 z=a+bi 为虚数.( (2)若 a 为实数,则 z=a 一定不是虚数.( (3)bi 是纯虚数.( ) ) ) )

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这两个复数相等.( 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√

教材整理 2 复数的分类与复数相等 阅读教材 P66,完成下列问题. 1.复数的分类 复数 z=a+bi(a,b∈R),当且仅当 b=0 时,z 是实数;当 b≠0 时,z 叫做虚数;当 a =0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数. 2.复数相等的充要条件
1

设 a,b,c,d 都是实数,那么 a+bi=c+di?a=c 且 b=d.

1.①若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ②若(x -1)+(x +3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则 x=±1; ③两个虚数不能比较大小. 其中正确命题的序号是__________.(填序号) 【解析】 当 a=-1 时,(a+1)i=0,故①错误;两个虚数不能比较大小,故③对;若
? ?x -1=0, (x -1)+(x +3x+2)i 是纯虚数,则? 2 ?x +3x+2≠0, ?
2 2 2 2 2

即 x=1,故②错.

【答案】 ③ 2.(2016·盐城检测)若 xi-i =y+2i,x,y∈R,则复数 x+yi=________. 【解析】 由 i =-1 得 xi-i =1+xi,即 1+xi=y+2i,根据两个复数相等的充要条 件得?
? ?x=2, ?y=1, ?
2 2 2

故 x+yi=2+i. 【答案】 2+i [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型] 复数的相关概念 (1)复数 z=4-3i 的实部和虚部分别是________和________. (2)复数 z=(m -3m+2)+(m +m-2)i,当实数 m 为何值时, ①z 为实数;②z 为虚数;③z 为纯虚数. (3)当实数 m 为何值时,复数 z=
2 2

m2+m-6 2 +(m -2m)i 为:①实数;②虚数;③纯虚数. m

2

【自主解答】 (1)由复数的代数形式及实、虚部的概念知,复数 z 的实部和虚部分别 为 4 和-3. 【答案】 4
2

-3

(2)①当 m +m-2=0,即 m=-2 或 m=1 时,z 为实数. ②当 m +m-2≠0,即 m≠-2 且 m≠1 时,z 为虚数.
? ?m +m-2≠0, ③当? 2 ?m -3m+2=0, ? ?m -2m=0, ? (3)①当? ?m≠0, ?
2 2 2

即 m=2 时,z 为纯虚数.

即 m=2,

∴当 m=2 时,复数 z 是实数. ②当 m -2m≠0,且 m≠0,即 m≠0 且 m≠2 时,复数 z 是虚数.
2

m +m-6 ? ? =0, ③由? m ? ?m2-2m≠0,

2

解得 m=-3,

∴当 m=-3 时,复数 z 是纯虚数.

判断与复数有关的命题是否正确的方法 1.举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题型时,可按 照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答. 2.化代数式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为 a+bi 的形式,更要注意 这里 a,b 均为实数时,才能确定复数的实、虚部.

[再练一题] 1.下列命题中是假命题的是________.(填序号) ①自然数集是非负整数集; ②实数集与复数集的交集为实数集; ③实数集与虚数集的交集是{0}; ④纯虚数集与实数集的交集为空集. 【解析】 复数可分为实数和虚数两大部分,虚数中含有纯虚数,因此,实数集与虚数 集没有公共元素,③是假命题. 【答案】 ③ 复数的分类及应用 (1)复数 z=a -b +(a+|a|)i(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是________.
2 2

3

【导学号:97220023】 (2)已知 m∈R,复数 z=

m?m+2? 2 +(m +2m-3)i,当 m 为何值时, m-1

①z 为实数;②z 为虚数;③z 为纯虚数. 【精彩点拨】 依据复数的分类列出方程(不等式)组求解. 【自主解答】
?a -b =0, ? (1)要使复数 z 为纯虚数,则? ?a+|a|≠0, ?
2 2

∴a>0,a=±b.

【答案】 a>0 且 a=±b (2)①要使 z 为实数,需满足 m +2m-3=0,且 -3. ②要使 z 为虚数,需满足 m +2m-3≠0,且
2 2

m?m+2? 有意义,即 m-1≠0,解得 m= m-1

m?m+2? 有意义,即 m-1≠0,解得 m≠1 且 m-1

m≠-3.
③要使 z 为纯虚数,需满足

m?m+2? 2 =0,且 m +2m-3≠0,解得 m=0 或 m=-2. m-1

利用复数的分类求参数时,要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部 与虚部的取值求解.要特别注意复数 z=a+bi?a,b∈R?为纯虚数的充要条件是 a=0 且

b≠0.

[再练一题] 2.若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”,则结果如何? 【解】 复数 z 为实数的充要条件是 a+|a|=0,即|a|=-a,所以 a≤0. [探究共研型] 复数相等的充要条件 探究 1 a=0 是复数 z=a+bi 为纯虚数的充分条件吗? 【提示】 因为当 a=0 且 b≠0 时,z=a+bi 才是纯虚数,所以 a=0 是复数 z=a+bi 为纯虚数的必要不充分条件. 探究 2 3+2i>3+i 正确吗? 【提示】 不正确,如果两个复数不全是实数,那么它们就不能比较大小. (1)若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数 x,y 的值; (2)关于 x 的方程 3x - x-1=(10-x-2x )i 有实根,求实数 a 的值. 2 【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解.
4
2

a

2

【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件, 得?
?x+y=0, ? ?y=x+1, ?

1 ? ?x=-2, 解得? 1 ?y=2. ? (2)设方程的实根为 x=m, 则原方程可变为 3m - m-1=(10-m-2m )i, 2
2

a

2

a ? ?3m2- m-1=0, 2 所以? ? ?10-m-2m2=0,
71 解得 a=11 或 a=- . 5

1.复数 z1=a+bi,z2=c+di,其中 a,b,c,d∈R,则 z1=z2?a=c 且 b=d. 2.复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要 依据复数相等的充要条件.基本思路是: (1)等式两边整理为 a+bi(a,b∈R)的形式; (2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组; (3)解方程组,求出相应的参数.

[再练一题] 3.已知 x +y -6+(x-y-2)i=0,求实数 x,y 的值. 【解】
? ?x +y -6=0,① 由复数相等的条件得方程组? ?x-y-2=0,② ?
2 2 2 2 2

由②得 x=y+2,代入①得 y +2y-1=0. 解得 y1=-1+ 2,y2=-1- 2. 所以 x1=y1+2=1+ 2,x2=y2+2=1- 2. 即?

?x=1+ 2, ?y=-1+ 2

或?

?x=1- 2, ?y=-1- 2.
[构建·体系]

5

— 复数的概念 ? 数系的扩充和 — — 复数的分类 ? 复数的概念 ?— 复数相等的充要条件

1. 已知复数 z = a -(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3 ,则实数 a , b 的值分别是 __________. 【解析】 由题意,得 a =2,-(2-b)=3,所以 a=± 2,b=5. 【答案】 ± 2,5 2.若关于 x 的方程 x +(1+2i)x+3m+i=0 有实数根,则实数 m=________. 【解析】 关于 x 的方程 x +(1+2i)x+3m+i=0 可化为(x +x+3m)+(2x+1)i=0, ∵方程有实数解.
? ?x +x+3m=0, ∴? ?2x+1=0, ?
2 2 2 2 2

2

1 解得 m= . 12

【答案】

1 12
2

3.已知 z1=m -3m+mi,z2=4+(5m+4)i,其中 m∈R,i 为虚数单位,若 z1=z2,则 m 的值为________. 【解析】 由题意得 m -3m+mi=4+(5m+4)i,从而? 【答案】 -1 4.(2016·河南调研)复数 z1,z2 满足 z1=m+(4-m )i,z2=2cos θ +(λ +3sin θ )i(m, λ ,θ ∈R),并且 z1=z2,则 λ 的取值范围为________.
?m=2cos θ , ? 【解析】 由复数相等的充要条件可得? 2 ?4-m =λ +3sin θ , ?
2 2

?m -3m=4, ? ? ?m=5m+4,

2

解得 m=-1.

化 简 得 4-4cos θ = λ + 3sin θ , 由 此 可 得 λ = -4cos θ -3sin θ + 4 = 3?2 9 ? 2 2 -4(1-sin θ )-3sin θ +4=4sin θ -3sin θ =4?sin θ - ? - ,因为 sin θ ∈[-1,1],所 8? 16 ?

2

2

? 9 ? 2 以 4sin θ -3sin θ ∈?- ,7?. ? 16 ? ? 9 ? 【答案】 ?- ,7? ? 16 ?
5.(2016·佛山高二检测)已知集合 M={(a+3)+(b -1)i,8}, 集合 N={3i, (a -1)+(b
6
2 2

+2)i}满足 M∩N≠?,求整数 a,b. 【解】 依题意得(a+3)+(b -1)i=3i, 或 8=(a -1)+(b+2)i,
2 2 2 2





或(a+3)+(b -1)i=(a -1)+(b+2)i. ③ 由①得 a=-3,b=±2, 由②得 a=±3,b=-2. ③中,a,b 无整数解不符合题意. 综上所述得 a=-3,b=2 或 a=3,

b=-2 或 a=-3,b=-2.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

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