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附中2014-2015学年第二学期半期考试卷高二(理)(无答案)

福建师大附中 2014-2015 学年第二学期半期考试卷

高二数学选修 2-2(理科)

命题人:刘文清

(满分:150 分,时间:120 分钟)

审题人:江 泽

说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷。

一.选择题:(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题

目要求)

1.一直复数 Z 的共轭复数 z ?1? 2i (i 为虚数单位),则 Z 在复平面内对应的点位于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f (x) ,如果 f ?(x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是

函数 f (x) 的极值点,因为函数 f (x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以 x ? 0 是函数

f (x) ? x3 的极值点,以上推理中( )

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确
3.用反证法证明命题“设 a, b 为实数,则方程 x2 ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做的

假设是( )

A.方程 x2 ? ax ? b ? 0 没有实根

B.方程 x2 ? ax ? b ? 0 至多有一个实根

C.方程 x2 ? ax ? b ? 0 至多有两个实根 D.方程 x2 ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根 4.如果命题 p(n) 对 n ? k(k ? N?) 成立,则它对 n ? k ? 2 也成立,若 p(n) 对 n ? 2 也成立,
则下列结论正确的是( )
A. p(n) 对所有正整数 n 都成立 B. p(n) 对所有正偶数 n 都成立

C. p(n) 对所有正奇数 n 都成立 D. p(n) 对所有自然数 n 都成立

5.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法 共有( ) A. 10 种 B.20 种 C.25 种 D.32 种

6.曲线

y

?

x x?2

在点(-1,1)处的切线方程为(



A. y ? ?2x ? 3

B. y ? ?2x ? 2 C. y ? 2x ?1

D. y ? 2x ?1

7.直线 l 过抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( )

4

8

A.

B. 2 C.

3

3

16 2
D.
3

8.设 y ? f ?(x) 是函数的导 f (x) 函 f (x) 数, y ? f ?(x) 的图像如右图所示,则 f (x) 的图像

最有可能是下图中的( )

A

B

C

D

? ? ? 9.若 s1 ?

2 1

x

2dx,

s2

?

2 1

1 x

dx, s3

?

2 x3dx 则
1

的大小关系为(



A.S1 ? S2 ? S3

A.S2 ? S1 ? S3

A.S2 ? S3 ? S1

A.S3 ? S2 ? S1

10.设 Z1, Z2 是复数,则下列命题中的假命题是( )

A. Z1 ? Z2 ? 0,则Z1 ? Z2

B. 若Z1 ? Z2 ,则Z1 ? Z2

C. 若 Z1 ? Z2 ,则Z1 ? Z1 ? Z2 ? Z2 D. 若 Z1 ? Z2 ,则Z12 ? Z22

11.设函数 f (x) 的定义域为 R, x0 (x0 ? 0) 是 f (x) 的极大值点,以下结论一定正确的是
()

A. ?x ? R, f (x) ? f (x0 )

B. ? x0是f (x)的极小值点

C. ? x0是 ? f (x)的极小值点 C. ? x0是 ? f (?x)的极小值点

12.定义在 (0,??) 上的可导函数 f (x) 满足 xf ?(x) ? f (x) ? x,且f (1) ? 1 ,现给出关于函数

的下列结论:

①函数 f (x) 在 (1 ,??) 上单调递增 e

②函数

f

(x)

的最小值为 ?

1 e2

③函数 f (x) 有且只有一个零点 ④对于任意 x ? 0 ,都有 f (x) ? x2

其中正确结论的个数是

A. 1 B. 2 C.3 D.4

二.填空题:(每小题 5 分,共 30 分)

13.设复数 Z 满足(1-i)Z=2i,则 Z=
14.函数 y ? 1 x2 ? ln x 的单调递减区间为 2

。 。

15.若曲线 y ? x ln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x ? y ?1 ? 0 ,则点 P 的坐标为



16.用数学归纳法证明1? 2 ? 3 ? ....... ? n2 ? n4 ? n2 ,则当 n ? k ?1时左端应在 n ? k 的基 2

础上加上的项为



17.现有 4 种不同的颜色要对如图所示的 5 个区域进行着色,要求相邻区域不使用同一种颜

色,则有 种不同的着色方法。

18.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y ? x 与直线 x ?1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋 2

? 转一周得到一个圆锥,圆锥的体积V

?

1
π

(

x

2
)

dx

02

?

π 12

x3

1 0

?

π 12

据此类比:将曲线 y ? x2 与直线 y ? 4 所围成的图像绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋

转体的体积 V=



三.解答题:(本大题共 4 题,共 60 分) 19.(本小题满分 15 分)3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的 方法种数:(用数字作答) (1)选其中 5 人排成一排; (2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (3)全体站成一排,3 名男生必须相邻且 4 名女生也必须相邻; (4)全体站成一排,3 名男生互不相邻; (5)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾;
20.(本小题满分 15 分)数列?an?满足Sn ? 2n ? an (n ? N ? )
(1)计算 a1, a2 , a3, a4 ,并由此猜想通项公式 an ;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想。
21.(本小题满分 15 分)设函数 f (x) ? ln x ? m , m ? R x
(1)当 m ? e (e 为自然对数的底数)时,求 f (x) 的最小值; (2)讨论函数 g(x) ? f ?(x) ? x 零点的个数。
3 21.(本小题满分 15 分)设函数 f (x) ? x3 ? 3ax2 ? 3b2 x(a, b ? R)

(1)若 a ? 1,b ? 0 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程;

(2)当 b ?1时,若函数 f (x) 在 ??1,1?上是增函数,求 a 的取值范围;

(3)若 0 ? a ? b ,不等式 f (1? ln x ) ? f ( k ) 对任意 x ? (1,??) 恒成立,求整数 k 的最大

x ?1

x

值。

福建师大附中 2014-2015 学年第二学期半期考试卷参考答案

一.DAABD CCCBD DD
二.13. ?1? i 14. (0,1? 15. (e, e)

16. (k 2 ?1) ? (k 2 ? 2) ? ....... ? (k ?1)2

17.72 三.

18. 8π

19.(1) A75 ? 2520

(2) A74 ? 5040

(3) N ? A75 A44 A22 ? 288

(4) N ? A44 A33 ? 1440

(5) A51A66 ? 3600

20.

(1)当n ? 1时,a1 ? S1 ? 2 ? a1

? a1 ? 1

当n ? 2时,a1 ? a2 ? S2 ? 2 * 2 ? a2

? a2

?

3 2

当n ? 3时,a1 ? a2 ? a3 ? S3 ? 2 *3 ? a3

7 ? a3 ? 4

当n ? 4时,a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? S4 ? 2 * 4 ? a4

? a4

?

15 8

?由此猜想an

?

2n ?1 2n?1

(

n

?

N

?)

(2)证明:当n ? 1时,a1 ? 1,结论成立

假设n ? k时,结论成立。

那么n ? k ?1时,

ak?1 ? Sk?1 ? Sk ? 2(k ?1) ? ak?1 ? 2k ? ak

? 2 ? ak ? ak?1

? ak ?1

?

2k?1 ?1 2k

所以结论成立。

21.

(1)当m

?

e时,f

?( x)

?

x?e x2 , x

?

0, 解f

?( x)

?

0得x

?

e, 所以f

( x)单调递增;

同理当0 ? x ? e时,f (x)单调递减

所以f (x)极小值为f (e) ? ln e ? e ? 2 e
(2)当m ? 0或m ? 2 时,g(x)有且只有一个零点 3
当0 ? m ? 2 时,g(x)有两个零点 3
当m ? 2 时,g(x)没有零点 3

22.
(1)切线方程为y ? 2 ? ?3(x ?1),即y ? ?3x ?1
(2) y ? f (x)在?-1,1?上单点递增,又f ?(x) ? 3x2 ? 6ax ? 3 ? 3(x2 ? 2ax ?1)
参数a的取值范围是-1 ? a ? 1 (3)k的最大值为3.