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2018高中数学初高中衔接教材第37课时二次函数与一元二次方程学案苏教版!


二次函数与一元二次方程
总 课 题 分 课 题 教学目标 重 难 点 点 函数与方程 分课时 第 1 课时 总课时 课 型 总第 37 课时 新 授 课 二次函数与一元二次方程

会用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二次方程根的情况。弄清二次函 数的零点与方程根的关系。渗透数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方 法。 函数与方程的关系。 数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法。

一、复习引入 问题 1、不解方程如何判断一元二次方 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 程解的情况。 问题 2、画出二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象,观察图象,指出 x 取哪些值时, y ? 0 。 二、建构数学 1、探究函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 与方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 图象之间的关系,填 表: Δ = b ? 4ac
2

Δ ?0

Δ ?0

Δ ?0

ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的


y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的零点 2、零点:对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做 y ? f ( x) 的零点;
f ( x) ? 0 有实数根 ? y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? y ? f ( x) 有零点。

三、例题分析 y ? f ( x) 的零点为 例 1、 (如图) 是一个二次函数 y ? f ( x) 图象的一部分, (1) (2) f ( x) ? 。
4 3 2 1

y



-4 -3 -2 -1

o 1
1

2

3

x

例 2、求证:一元二次方程 2 x ? 3x ? 7 ? 0 有两个不相等的实数根(用两种方法证) 。
2

例 3、 (1) f ( x) ? 2 x ? 1 在区间 (0,1) 上是否存在零点? (2) f ( x) ? 2x 2 ? 3x ? 7 在区间 (?3,?2) 、 (1,2) 上是否存在零点?

观察: f (0) f (1) 值的符号特点; f (?3) f (?2) 、 f (1) f (2) 值的符号特点。 结论:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且 f (a) f (b) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点。 (即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 .这个 c 也 就是方程 f ( x) ? 0 的根。 ) 思考: (1)若 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上是单调函数,且 f (a) f (b) ? 0 ,则 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的零点情 况如何? (2)若 x0 是二次函数 y ? f ( x) 的零点,且 m ? x0 ? n ,那么 f (m) f (n) ? 0 一定成立吗? 四、随堂练习 1、分别指出下列各图象对应的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 中 a, b, c, ? 与 0 的大小关 y y 系: (1) O ? ______0 x (2) O ( 1 ) a ______0 , b _____0 , c ______0 , x ( 2 ) a ______0 , b _____0 , c ______0 ,

? ______0
2、判断函数 f ( x) ? x ? 2x ? 1 在区间 (2,3) 上是否存在零点。
2

3、证明: (1)函数 y ? x ? 6x ? 4 有两个不同的零点;
2

(2)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1在区间(0,1)上有零点。
3

2

五、回顾小结 1、函数与方程的关系。 课后作业 班级:高一( 一、基础题 1、若二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 的两个零点分别是 2 和 3 ,则 a , b 的值分别是 ( A ) 5 、6 )班 姓名__________

B

?5、6

C (

6 、5
) D

D

6 、?5

2、函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 的零点个数是 A

0

B

1
2

C

2

3

3 、 若 一 元 二 次 方 程 x ? 2x ? a ? 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 则 a 的 取 值 范 围 是 。

4、已知函数 y ? x 2 ? 2 x ? a 在区间[ ? 2 , 1 ]上的最小值大于 0,则该函数的零点个数有 个。 5 、 若 二 次 函 数

y ? x 2 ? ax ? 1 的 图 象 与 x 轴 有 公 共 点 , 则


a?

6、设二次函数 y ? f ( x) 的两个零点分别为 1 和 5 ,则 f (0) ? f (6) 7、函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示。
2

0。 (填>,<) 。

(1)写出方程 f ( x) ? 0 的根; (2)求 a , b , c 的值。

y

-3 -2 -1 o -1 -2 -3

1

x

8、二次函数 y ? x ? 4x ? 3 的图象交 x 轴于 A, B 两点,交 y 轴于点 C ,求 ?ABC 的面积。
2

9、已知二次函数 y ? f ( x) 满足 f (?1) ? f (3) ? 0 且最小值为 ? 4 ,求 y ? f ( x) 的表达式。
3

二、提高题 10、求证:方程 x ? x ? 1 ? 0 没有实数根(用两种方法证) 。
2

11、若方程方程 5 x ? 7 x ? a ? 0 的一个根在区间( ? 1 , 0 )内,另一个在区间( 1 , 2 )
2

内,求实数 a 的取值范围。

三、提高题 12、当 a 为何值时,方程 2 x ? 3x ? a ? 0 在区间( 1 , 2 )内有实数解?
3



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4


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