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浙江省金华市磐安县第二中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题

2 2015 学年第一学期期中联考试卷 高 一 数学

时间:120 分钟

总分:150 分

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1.设集合P={0,1} ,那么集合P的子集个数是( A.1 B.2 C.3 ) . D.4 ) .

2.已知集合 A ? {x | x 2 ? 1 ? 0} ,则下列式子表示正确的有( ①1 ? A A.1 个 ② {?1} ? A ③ ? ? A B.2 个 C.3 个 ) . D.y= ④ {1,?1} ? A D.4 个

3.下列函数中,与函数 y=x 相同的是( A.y = ( x )
2

B.y = ( 3 x 3 ) C.y = x 2

x2 x
) .
1 x 6

4.设集合 A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},则从 A 到 B 的对应法则 f 不是 映射的是( .. A. f:x→y=
1 x 2

1 B. f:x→y= x 3

C. f:x→y=

1 x 4

D. f:x→y= ) .

5.已知 a ? 0, 且 a ? 1, 则函数 f ( x) ? a x ?1 ? 1的图象恒过定点( A. (1,1) B. (1, 2) ) . C. (2,1) D. (1, 0)

6.下列大小关系正确的是( A. 0.43 ? 30.4 ? log4 0.3 C. log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4

B. 0.43 ? log4 0.3 ? 30.4 D. log4 0.3 ? 30.4 ? 0.43 )

7. 已知 a ? 0 且 a ? 1, 则函数 f ( x) ? a x 与函数 g ( x) ? loga x 的图像可能是(

2 8.已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1 ? x) +1 ( a ? 0, a ? 1 ),如果 f ? log3 b ? ? 5 ( b ? 0, b ? 1) ,那么

? ? f ? log 1 b ? 的值是 ( ? 3 ?
A.3 B.-3

) . C.5 D. ?2

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. )

9.已知函数 f ( x) ?

4 ? x 2 , 则 f ( x) 的定义域为

;当 x ?

时, f ( x ) 取最小值.

10.(1)已知幂函数 y ? f ( x) 的图像过点(2,8) ,则 f ( x) = (2)已知 g ( x + 1) = 2 x + 3 ,则 g ( x) ? .



? 1 x ?( ) , x ? 0 11.设函数 f ( x) ? ? 2 , 则 f (?2) ? ? ?log 2 x, x ? 0

;若 f (a) ? 1, 则实数 a ?



12.已知 f ( x ) 是定义在 ?m, 4m ? 5? 上的偶函数, 则m? 时, f ( x) ? .

, 且当 x ? 0 时,f ( x) ? lg( x ? 1), 则当 x ? 0

13.已知函数 y ?| log1 x | 的定义域为 ? ,8? ,则该函数值域为 4
2

?1 ?

? ?



14. 已知 y ? f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数, 且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) , 则 a 的取值范围是



15.定义 A ? B ? ? 设 x ? 0, A ?

? AB, AB ? A ? B ? A ? B, AB ? A ? B , A? B ? ? , ? A ? B, AB ? A ? B ? AB, AB ? A ? B


1 , B ? x, 则 A ? B ? A ? B 的最小值为 x ?1

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本题满分 15 分)已知全集为 R, 集合 A ? x x ? 0或x ? 2 , B ? x 1 ? x ? 3 , 求(1) A ? B ; (2) A ? B ; (3) CR A.

?

?

?

?

17.(本题满分 14 分)计算: (1) 0.2
?2

?? 0 ? (

1 ?1 ) 3 27

; .

(2) log3 9 ? log2 6 ? log2 3 ? log4 3 ? log3 16

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? a ?

1 . 2 ?1
x

(1)当函数 f ( x ) 为奇函数时,求 a 的值; (2)判断函数 f ( x ) 在区间 (??, ??) 上是增函数还是减函数,并用定义证明你的结论.

19.(本题满分15分)已知函数 f ( x)= lg(m ? x) ? lg(1 ? x) . (1)当 m ? 1 时,判断函数 f ( x) 的奇偶性; (2)若不等式 f ( x) ? 1 的解集为A,且 A ? ? ? , ? ,求实数m的取值范围.

? 1 1? ? 2 2?

20.( 本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ?

a ( a ? 0) 有如下性质:该函数在 0, a ? ? 上是减函数,在 x

?

( a , ??) 上是增函数.
(1)若 a ? 4 ,求 f ( x ) 在区间 ?1,3? 上的最大值与最小值; (2)若 x ??1,3? 时,不等式 f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.

2015 学年第一学期期中联考高一数学参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)

DCBA

BCBB

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. ) 9. ? ?2, 2? 11. 4 13. ?0,3? 三、解答题 16.(本题满分 15 分)已知全集为 R, 集合 A ? x x ? 0或x ? 2 , B ? x 1 ? x ? 3 , 求(1) A ? B ; (2) A ? B ; (3) CR A.

?2

10. (1) x 12. ?1 14. (0, )

3

(2) 2 x ? 1

0 或2

lg(? x ? 1)
15. 2 2 ? 2

2 3

?

?

?

?

解: (1) A ? B ? x 2 ? x ? 3

?

?

…………………………………5 分

(2) A ? B ? x x ? 0或x ? 1 (3) CR A ? x 0 ? x ? 2 . 17.(本题满分 1 4 分)计算: (1) 0.2
?2

?

?

………………10 分 ………………15 分

?

?

?? 0 ? (

1 ?1 ) 3 27


1

? ?1? 解:原式= ? ? ? 1 ? (3-3 ) 3 ?5?

?2

= 25 ? 1 ? 3

…………………………………6 分

= 27

……………………………7 分

(2) log3 9 ? log2 6 ? log2 3 ? log4 3 ? log3 16 解:原式= log 3 3 ? log 2
2

..

6 ? log 4 3 ? log 3 42 3
………………13 分 ………………14 分

= 2 ?1? 2 =5

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? a ?

1 . 2 ?1
x

(1)当函数 f ( x ) 为奇函数时,求 a 的值; (2 判断函数 f ( x ) 在区间 (??, ??) 上是增函数还是减函数,并用定义证明你的结论. 解: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 R, 由于定义域为 R 的奇函数有 f (0) ? 0, 故 f (0) ? a ? ………………4 分 ………………7 分 ………………8 分

1 1 ? 0, 解得 a ? ? . 2 ?1 2
0

(2)函数 f ( x ) 在区间 (??, ??) 上是减函数. 证明:任取 x1 ? x2 ,有 2 2 ? 2 1 ? 0,
x x

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

1 1 ) ? (a ? x2 ) 2 ?1 2 ?1
x1

?

1 1 2x2 ? 2x1 ? ? ? 0, 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

………………13 分

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 所以函数 f ( x ) 在区间 (??, ??) 上是减函数. …………15 分 (注:在本小题中若取 a ? ?

1 证明,其它无误,则扣2分) 2

19.(本题满分15分)已知函数 f ( x)= lg(m ? x) ? lg(1 ? x) . (1)当 m ? 1 时,判断函数 f ( x) 的奇偶性; (2)若不等式 f ( x) ? 1 的解集为A,且 A ? ? ? , ? ,求实数m的取值范围. 解:(1)当 m ? 1 时, f ( x)= lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ,

? 1 1? ? 2 2?

由?

?1 ? x ? 0 得, ?1 ? x ? 1 . ?1 ? x ? 0

………………3 分

∴函数 f ( x ) 定义域为(-1,1) ,关于原点对称.又对定义域内每一个都有

f (? x)= lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) 为奇函数. ………………7 分
(2)∵ f ( x) ? 1 ,∴ lg(m ? x) ? lg(1 ? x) ? 1 ,∴ lg(m ? x) ? lg(1 ? x) ? 1 , ∴ lg(m ? x) ? lg(10 ?10 x) , ∴ 0 ? m ? x ? 10 ? 10 x , ∴ A ? ? ?m,

? ?

10 ? m ? ?, 11 ? ? ? 10 ? m ? ? 1 1 ? ? ? ?? , ? , 11 ? ? 2 2 ?

………………10 分

∵ A ? ? ? , ? , ∴ ? ?m,

? 1 1? ? 2 2?

………………12 分

1 ? ?m ? ? ? ? 2 ∴? , 10 ? m 1 ? ? ? ? 11 2


1 9 ?m? 2 2

………………15 分

20.( 本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ?

a (a ? 0) 有如下性质:该函数在 0, a ? ? 上是减函数,在 x

?

( a , ?? ) 上是增函数.
(1)若 a ? 4 ,求 f ( x ) 在区间 ?1,3? 上的最大值与最小值; (2)若 x ??1,3? 时,不等式 f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 解: (1)a=4 时,f (x)= x ?

4 ,则 f(x)在上单调递减,在上单调递增, x
………………3 分

f min(x)=f(2)=4,

f max(x)= max {f(1) ,f(3)}=

13 , 3

………………5 分

(2)①若 0 ?

a ? 1即 0<a≤1,则 f(x)在 上单调递增,f min(x)=f(1)=1+a.
………………8 分

所以,1+a≥2,即 a≥1,所以 a=1.

②若 1 ?

a ? 3 即 1<a<9,则 f(x)在上单调递减,在上单调递增,

f min(x)=f( a )=2 a .所以,2 a ≥2,得 a≥1,又 1<a<9,
∴1<a<9 ………………11 分

③若 a ? 3 即 a≥9,则 f(x)在上单调递减,f min(x)=f(3)=3+

a ≥2,得 a≥-3,又 a≥9,∴ 3

a≥9.

………………14 分

综上,a 的取值范围是 a≥1.

………………15 分