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高二数学下册同步强化训练题24

专题 7 不等式、推理与证明、算法与复数 第 1 讲 不等式
一、选择题 1 . ( 文 )(2011· 天 津 文 , 2) 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 x≥1, ? ? ?x+y-4≤0, ? ?x-3y+4≤0, A.-4 4 C.3 [答案] D x≥1, ? ? 由?x+y-4≤0, ? ?x-3y+4≤0,

则目标函数 z=3x-y 的最大值为(

)

B.0 D.4

[解析]

作出可行域如图:

当直线 z=3x-y 过点 A(2,2)点时 z 有最大值. z 最大值=3×2-2=4. x+2y-5>0 ? ? (理)(2011· 浙江理,5)设实数 x、y 满足不等式组?2x+y-7>0 ? ?x≥0,y≥0



若 x、y 为整数,则 3x+4y 的最小值为( A.14 C.17 [答案] B [解析] B.16 D.19

)

如图,作出不等式组表示的平面区域 ,作直线 l0:3x

+4y=0 平移 l0 与平面区域有交点,由于 x,y 为整数,结合图形可 知当 x=4,y=1 时,3x+4y 取最小值为 16,选 B.

1 2.(2011· 重庆文,7)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小 x-2 值,则 a=( A.1+ 2 C.3 [答案] C [解析 ] +2=4. 1 当且仅当 x-2= x-2 即(x-2)2=1,∵x>2,∴x-2>0, ∴x-2=1,即 a=3. f(x)=x + 1 x-2 (x>2)=x-2+ 1 x-2 + 2≥2 1 ?x-2?· x-2 ) B.1+ 3 D.4

3.(文)(2011· 江西理,4)若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f′(x)>0 的解 集为( ) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0)

A.(0,+∞) C.(2,+∞) [答案] C

[解析] 因为 f(x)=x2-2x-4lnx,
2 4 2?x -x-2? ∴f′(x)=2x-2-x= >0, x

? ?x>0 即? 2 ,解得 2<x,故选 C. ? ?2?x -x-2?>0

(理)(2011· 安徽理,4)设变量 x,y 满足|x|+|y|≤1,则 x+2y 的最 大值和最小值分别为( A.1,-1 C.1,-2 [答案] B [解析] 不等式|x|+|y|≤1 表示的平面区域如 图所示, 当目标函数 z=x+2y 过点(0, -1), (0,1) 时,分别取最小和最大值,所以 x+2y 的最大值 和最小值分别为 2,-2,故选 B. ) B.2,-2 D.2,-1

4.(2011· 西城抽样)若 b<a<0,则下列不等式中正确的是(

)

1 1 A.a>b b a C.a+b>2 [答案] C

B.|a|>|b| D.a+b>ab

1 1 b-a [解析] a-b= ab <0,A 选项错;b<a<0?-b>-a>0?|b|>|a|, b a b a b a B 选项错;a+b=|a|+|b|≥2,由于a≠b,所以等号不成立,C 选项正 确;a+b<0 且 ab>0,D 选项错.故选 C. 5.(2011· 深圳二模)设 a>0,b>0,则以下不等式中,不恒成立的 是( ) 1 1 A.(a+b)(a+b)≥4 a+b a b C. < + 1+a+b 1+a 1+b [答案] B b+2 b [解析] 当 0<a<b 时, > 不成立,所以 B 不恒成立;由(a+ a+2 a 1 1 b a b)(a+b)=2+a+b≥4(当且仅当 a=b 时取等号)可知,A 恒成立;由 a b a b = + < + ,可知 C 恒成立; 1+a+b 1+a+b 1+a+b 1+a 1+b aabb a-b 1 a-b a a-b abba=a (b) =(b) ,无论 a,b 的大小关系如何,上式恒大 于等于 1,故 D 恒成立. 6.(2011· 北京文,7)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备 a+b b+2 b B. > a+2 a D.aabb≥abba

x 费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为8天,且每件产 品每天的仓储费用为 1 元. 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓 储费用之和最小,每批应生产产品( A.60 件 C.100 件 [答案] B x2 [解析] 由题意知仓储 x 件需要的仓储费为 8 , 所以平均费用为 y x 800 =8+ x ≥2 x 800 8× x =20,当且仅当 x=80 等号成立. ) B.80 件 D.120 件

7.(文)(2011· 福建文,10)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2- 2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( A.2 C.6 [答案] D [解析] f′(x)=12x2-2ax-2b=0 的一根为 x=1, 即 12-2a-2b=0.∴a+b=6, a+b ∴ab≤( 2 )2=9,当且仅当 a=b=3 时“=”号成立. (理)(2010· 重庆理,7)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 9 C.2 [答案] B ) B.4 11 D. 2 B.3 D.9 )

[解析] ∵2xy=8-(x+2y), x +2 y 故 8-(x+2y)≤( 2 )2,

?x+2y+2xy=8 当且仅当? ?x=2y

?x=2 即? ?y=1

时等号成立.

∴(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0 解得 x+2y≥4 或 x+2y≤-8(舍去) ∴x+2y 的最小值为 4. 8.(2011· 银川三模)设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶 函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) B.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(0,3)

A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) [答案] D

[解析] 设 F(x)=f(x)g(x),所以 F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x) =-F(x),即 F(x)为奇函数.由 F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),故可 知当 x<0 时,F(x)为增函数,因为 g(-3)=0,所以 F(-3)=0,故由 奇函数图像关于原点对称,可画出其模拟图形,如图所示.易于判断 满足 f(x)g(x)<0 的解集为(-∞,-3)∪(0,3).

二、填空题 ax-1 1 9.已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪(-2+ x+1 ∞),则 a=________. [答案] -2 ax-1 1 [解析] 由于不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪(-2,+∞), x+1 1 故-2应是 ax-1=0 的根.∴a=-2. 10.若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且 b- a=2,则 k=________. [答案] 2 9-x2,y2=k(x+2)- 2,

[解析] 令 y1=

在同一个坐标系中作出其图像. 因 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为[a,b]且 b-a=2,

结合图像知 b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 2). 2 2+ 2 ∴ k= = 2. 1+2

11.(2011· 陕西文,12)如图,点(x,y)在四边形 ABCD 内部和边 界上运动,那么 2x-y 的最小值为________.

[答案] 1 [解析] 设 z=2x-y,求 z 的最小值,即求直线 z=2x-y 过可行 域时截距的最大值.由于直线 AB 斜率 kAB= 3-1 <2,所以当 z=2x 2-1

-y 过 A 点时 2x-y 最小,此时 2x-y=2×1-1=1. 12.(文)(2011· 天津文,12)已知 log2a+log2b≥1,则 3a+9b 的最 小值为________. [答案] 18 [解析] ∵log2a+log2b≥1 ∴log2ab≥1,ab≥2. ∴a · 2b≥4,∴a+2b≥2 a· 2b≥4(当且仅当 a=2b=2 时取“=”) 3a+9b=3a+32b≥2 3a· 32b=2 3a+2b≥2 34=18.

(当且仅当 a=2b=2 时取“=”) (理)(2011· 浙江理,16)设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x +y 的最大值是________. [答案] 2 10 5

[解析] 令 2x+y=t,则 y=t-2x, 代入 4x2+y2+xy=1,得:6x2-3tx+t2-1=0,

由 Δ=9t2-24(t2-1)≥0,得: 8 2 10 2 10 t2≤5,∴- 5 ≤t≤ 5 . 2 10 ∴t 的最大值为 5 . 三、解答题 13.(2011· 宁夏三模)实数 a 为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x -1<0 对任意 x∈R 恒成立? [解析] (1)当 a2-1=0 时, a=± 1, 若 a=1, 原不等式化为-1<0, 显然恒成立;若 a=-1,原不等式化为 2x-1<0,显然不恒成立,不 合题意. (2)当 a2-1≠0 时,函数 y=(a2-1)x2-(a-1)x-1 是二次函数, 图像为抛物线,结合图像可知要使不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 对 任意 x∈R 恒成立,须

?a2-1<0 ? 2 2 ?Δ=?a-1? +4?a -1?<0

3 ,解得-5<a<1.

3 综上可知,当-5<a≤1 时,原不等式对任意 x∈R 恒成立. 14.(2009· 湖北)围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩形 场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在 旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已知旧 墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长 度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元).

(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小 总费用. [解析] m, 则 y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360. 360 由已知 xa=360,得 a= x , 3602 所以 y=225x+ x -360(x>0). 3602 (2)∵x>0,∴225x+ x ≥2 225×3602=10800. 3602 ∴y=225x+ x -360≥10440. 3602 当且仅当 225x= x 时,等号成立. 即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. x2-ax+2 15.(2011· 南京市调研)已知函数 f(x)= (x>0), x (1)指出 f(x)的单调区间,并进行证明; 1 (2)若 x>0 时,不等式 f(x)≥2x 恒成立,求实数 a 的取值范围. [分析] (1)函数的单调性、单调区间的确定一般用导数或单调性 (1)如图,设矩形的另一边长为 a

定义;(2)用均值不等式求解. 2 [解析] (1)解法一:∵f(x)=x+x -a(x>0)
2 2 x -2 ∴f ′(x)=1-x2= x2 (x>0).

令 f ′(x)>0 则 x2-2>0(x>0)∴x∈( 2,+∞). 令 f ′(x)<0 则 x2-2<0(x>0)∴x∈(0, 2). ∴f(x)的增区间为( 2,+∞),减区间为(0, 2). x2-ax+2 2 解法二:f(x)= = x + x x-a(x>0), f(x)在(0, 2]上为减函数,在[ 2,+∞) 上为增函数. 设 0<x1<x2≤ 2, 2 2 则 f(x1)-f(x2)=(x1+x -a)-(x2+x -a)
1 2

2 2 ?x1-x2??x1x2-2? =(x1-x2)+(x -x )= . xx
1 2 1 2

因为 0<x1<x2≤ 2,所以 x1-x2<0,0<x1x2<2, 所以 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). 故 f(x)在(0, 2]上为减函数,得证. 同理可证,f(x)在[ 2,+∞)上为增函数. 1 2 1 1 2 (2)由 f(x)≥2x,有 x+x-a≥2x,2x+x -a≥0, 1 2 因为 x>0,所以2x+x ≥2 1 2 2x· x=2(当且仅当 x=2 时取等号).

1 要使不等式 f(x)≥2x 对 x>0 恒成立, 只需 2-a≥0,所以 a≤2 即为所求.