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2014届南安三中高三数学周考试卷 (16周)


2014 届南安三中高三数学周考试卷 (16 周)
一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合A= {x 1 ? x ? 2},B= {x x ? a} ,若A ? ? B,则a的取值范围是 A.a ? 1
2.函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ? ( )

B.a<1

C.a>2
高考。

D.a ? 2
( )

?
3

) 图像的对称轴方程可能是
B. x ? ?

?
6

?

12 a 1? i ? 3. i 为虚数单位,若 ,则 a 的值为 1? i i
A. i B. ?i

C. x ?

?
6

D. x ?

?
12

C. ? 2i

D. 2i

4. 已知 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? R) ,函数 y ? f ( x ? ? ) 的图象关于直线 x ? 0 对称,则? 的 值可以是 A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6


5. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积为(

5

6

正视图 A. 12cm
2

侧视图
2

俯视图
2

B. 15?cm

C. 24?cm

D. 36?cm ( )

2

6.如图 e1 , e2 为互相垂直的单位向量,向量 a ? b 可表示为 A. 3e2 ? e1 B. ?2e1 ? 4e2 C. e1 ? 3e2 ( )

D. 3e1 ? e2

7.平面 ? // 平面β 的一个充分条件是 A.存在一条直线 a,a// ? ,a//β

B.存在两条相交直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? C.存在两条平行直线 a、b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? D.存在一条直线 a, a ? ? , a // ?

1

8.设 OA ? (1,?2) , OB ? (a,?1) , OC ? (?b,0) , a ? 0, b ? 0 , O 为坐标原点,若 A 、 B 、C 三点共线,则 A.2

1 2 ? 的最小值是 a b
B.4 C .6 D.8





9.已知函数 f ( x) ? log 2 x ? ( ) , 若实数x0 是方程f ( x) ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x0 , 则f ( x1 ) 的值
x

1 3

( A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不小于零



10. 已知函教 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象与直线 y ? b ? 0 ? b ? A? 的三个相邻交 点的横坐标分别是 2, 4,8 ,则 f ( x) 的单调递增区间是( *** ) A. ?6k? ,6k? ? 3?, k ? Z C. ?6k ,6k ? 3?, k ? Z B. ?6k ? 3,6k ?, k ? Z D.

?6k? ? 3,

6k? ? , k ? Z

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.在△ABC 中,A= 60 ,b=1, 其面积为 3 ,则 ?ABC 外接的半圆径为 ▲ .

x ? y ? 3 ? 0, (12)若 x, y 满足 x ? y ? 1 ? 0, 设 y ? kx, 则 k 的取值范围是 3x ? y ? 5 ? 0,
13.如右图,在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点,



A
P

AM ? 3 ,点 P 在 AM 上,且满足 AP ? 2PM ,
则 PA ? ( PB ? PC) 的值等于 ▲

B

M

C

14.如图,空间有两个正方形 ABCD 和 ADEF,M、N 分别为 BD、AE 的中点 ,则以下结论中正确 .. 的是 (填写所有正确结论对应的序号) ①MN⊥AD; ②MN 与 BF 的是对异面直线; ③MN//平面 ABF ④MN 与 AB 的所成角为 60° 15.观察下图: 第一行:1 第二行:2 3 4 第三行:3 4 5 6 7 第四行:4 5 6 7 8 9 10 … …则第 ▲ 行的各数之和等于 2011 .
2
2
1 0

0

0

8

0

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。 ) 16. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? A sin(x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) , x ? R 的最大值是 1 且其图像经过点 M ?

?? 1? , ?. ? 3 2?

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? ? 0,

3 12 ? ?? ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值 5 13 ? 2?

17. (本小题满分 13 分) 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱垂直于底面, ?BAC ? 900 , AB ? AA1 ? 2, AC ? 1, M , N 分别 是 A1 B1 , BC 的中点. (Ⅰ)证明: MN / / 平面 ACC1 A1 ; (II)求二面角 M—AN—B 的余弦值。

18. (本小题满分 13 分) 如图所示的几何体中,PB ? 面 ABC, PQ // AB , PQ ? PB ? 1 ,

AB ? BC ?
(I) (II)

1 o , ?ABC ? 90 , M ? PB, N ? PC 。 2
求 QC 与面 ABC 所成的正弦值; 若 QC ? 面 AMN,求线段 MN 的长度

3

19. (本小题满分 13 分)有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全, 交通部门规定。 大桥上的车距 d ( m) 与车速 v(km / h) 和车长 l (m) 的关系满足:d ? kv l ?
2

1 l( k 2

为正的常数) ,假定车身长为 4 m ,当车速为 60(km / h) 时,车距为 2.66 个车身长。 (1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式; (2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?

20. (本题满分 14 分) 已知 f ( x ) = log a

1 ? mx (0 ? a, 且a ? 1) 是奇函数. x ?1

(1)求 m 的值 (2)讨论 f(x)的单调性

[3,4] (3)若a= ,对于x? ,不等式 f(x)>( ) +t 恒成立,求实数 t 的取值范围。

1 2

1x 2

21. 本题(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如果多 做,则按所做的前两题计分. 作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑, 并将所选题号填入括号中 (Ⅰ) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

?2 ?3 已知矩阵 M ? ? ?1 ? ?3
?1

1? ? ? 3 ?, 1 ? ? 3 ?

ABC 的顶点为 A(0,0) ,B(2,0) ,C(1,2) ,求 ABC

在矩阵 M 的变换作用下所得 A B C 的面积. (Ⅱ) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

'

'

'

1 ? x ? x0 ? t ? 2 ? 极坐标的极点是直角坐标系原点,极轴为 X 轴正半轴,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 3 t ? ? 2 (t 为参数) 。 O 的极坐标方程为 ? ? 2 ,若直线 l 与 O 相切,求实数 x0 的值。
(Ⅲ) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c? R , 且 的值。
4
?

1 2 3 ? ? ? 2, a b c

求 a ? 2b ? 3c 的最小值及取得最小值时 a, b, c

2011 届南安三中高三数学周考试卷 (16 周)参考答案
1-5 BDCDC 6-10 CBDAC 11. 12. [ , 2]

1 2

13. -4


14. ①③ 15. 1006

16【解】 :(1)因为 ? 1 ? sin( x ? ? ) ? 1 ,又 A>0,所以 ? f ( x)?max ? A ? 1 ,………2 分

?? 1? , ?, ? 3 2? ? ?? ? 1 所以 f ( ) ? sin ? ? ? ? ? ………3 分 3 ?3 ? 2 ? ? 4? ? 5? ? 由 0 ? ? ? ? ,得 ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ,解得 ? ? .………5 分 3 3 3 3 6 2 ? ? ? 所以 f ( x) ? sin ? x ? ? ? cos x ………6 分 2? ? 3 12 3 12 (2)由 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,得 cos ? ? , cos ? ? , 5 13 5 13 4 5 ? ?? 2 2 又 ? , ? ? ? 0, ? ,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? , sin ? ? 1 ? cos ? ? ,………10 分 5 13 ? 2? 所以 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ………12 分 3 12 4 5 56 ? ? ? ? ? ………13 分 5 13 5 13 65
因为,f(x)的图像经过点 M ? 17. (本小题满分 13 分) 解法一: 依条件可知 AB、 AC, AA1 两两垂直, 如图, 以点 A 为原点建立空间直角坐标系 A ? xyz. 根据条件容易求出如下各点坐标:
A(0, 0, 0), B (0, 2, 0), C ( ?1, 0, 0), A 1 (0, 0, 2), B1 (0, 2, 2), C1 ( ?1, 0, 2), M (0,1, 2), N (? 1 , 0,1) 2 2分

(I)证明:

1 MN ? (? , 0, ?2), AB ? (0, 2, 0) 2 1 ? 0 ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? 0, 2
………………4 分

是平面 ACCA1 的一个法向量, 且 MN ? AB ? ? 所以 MN ? AB 又

MN ? 平面ACC1 A1 ,
………………6 分

? MN / /平面ACC1 A1

5

(II)设 n ? ( x, y, z ) 是平面 AMN 的法向量,因为 AM ? (0,1, 2), AN ? ( ?

1 ,1, 0) , 2

? ? AM ? n ? 0, 由? ? ? AN ? n ? 0,

?0 ? y ? 2 z ? 0, ? ………………8 分得 ? 1 ? x ? y ? 0. ? ? 2
………………10 分 ………………11 分

解得平面 AMN 的一个法向量 n ? (4, 2, ?1)

由已知,平面 ABC 的一个法向量为 m ? (0,0,1)

cos ? m, n ??

m?n ?1 21 ? ?? | n || m | 21 21 ? 1
21 21

………………12 分

? 二面角M ? AN ? B的余弦值是
18. (本小题满分 13 分)

………………13 分

6

1 2.66l ? l 2 ? 2.16 ? 0.0006, ……3 分 19. 【解】⑴因为当 v ? 60 时, d ? 2.66l ,所以 k ? 2 60 l 602
∴ d = 0.0024v 2 + 2 ……………………………………………………4 分

⑵设每小时通过的车辆为 Q ,则 Q ?

1000v 1000 .即 Q ? 1000v ……8 分 ? 2 d ?4 0.0024v ? 6 0.0024v ? 6
v

6 6 ∵ 0.0024v ? ≥2 0.0024v ? ? 0.24 ,…………………………………………………10 分 v v
∴ Q≤

1000 12500 6 12500 ,当且仅当 0.0024v ? ,即 v ? 50 时, Q 取最大值 …12 分. ? 0.24 3 v 3

答:当 v ? 50 ?km / h? 时,大桥每小时通过的车辆最多.………13 分 20.解(1)∵ f ( x ) = log a

1 ? mx (0 ? a, 且a ? 1) 是奇函数. x ?1 1 ? mx 1 ? mx 1 ? m2 x 2 ? f (? x) ? f ( x) ? log a ? log a ? log a ?0 ? x ?1 x ?1 1 ? x2

………2 分

?

1 ? m2 x 2 ? 1? (m2 ? 1) x 2 ? 0, m ? ?1 ; 2 1? x
当m ? 1时,

1 ? mx ? ?1, 函数无意义, ? m=-1 ………4 分 x ?1 x ?1 ? 定义域为( ? ?, ?1 )( ? 1, ? ?) (2).由(1)知 f ( x) ? log a ; x ?1 ?2 f ' ( x) ? 2 ……6 分 ( x ? 1) ln a ' (? ?, ?1 )和(, 1 ? ?)上都是减函数 …8 分 ①当 a>1 时, f ( x) ? 0 ? f ( x)在

(? ?, ?1 )和(, 1 ? ?)上都是增函数 ……9 分 ②当 0<a<1 时, f ( x) ? 0 ? f ( x)在
'

注:化 f ( x) ? log a (1 ?

2 ), x ?1

2 (? ?, ?1 )和(, 1 ? ?)上都是减函数 在 ……7 分 x ?1 1x x ?1 1 x [3,4] (3). f(x)>( ) +t 对于x? 恒成立, 即 log 1 -( ) >t ;…10 分 2 2 2 x ?1 x ?1 1 x 令g(x)=log 1 -( ) …11 分 2 2 x ?1 1 1 y ? ( ) x 在[3, 4]上单调递减 ?y ? ? ( )x 在 [, 3 上单调递增 4] 2 2 u ( x) ? 1 ?
7

? g ( x)在[3,上单调递增 4] 9 9 ? g ( x) min ? g (3) ? ? ?当t ? ? 时 恒成立 8 8

…13 分 …14 分

? 1 1 2 3 2 3 ? ( ? ? )(a ? 2b ? 3c) ? ?( ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? ( a ) 2 ? ( 2b ) 2 ? ( 3c ) 2 ? ? ? a b c b c ? ? a

? 1 ? 2 3 ?? ? a · a ? b · 2b ? c 3c ? 36 ? ? ? 36 . ? ?

2

………………………(5 分)

1 2 3 1 2 3 a ? b c , 又 ? ? ? 2 , ? a ? 2b ? 3c ? 18 . 当且仅当 a b c a 2b 3c 即 a ? b ? c ? 3 时等式成立. ∴当 a ? b ? c ? 3 时, a ? 2b ? 3c 取得最小值 18. ………………………(7 分)
8


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