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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件2.2.1直线与平面平行的判定_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

? ●课标展示 ? 1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理, 明确定理中“平面外”三个字的重要性. ? 2.能利用判定定理证明线面平行问题.

? ●温故知新 ? 旧知再现 相交、平行、直线在平面内 ? 1.直线与平面的位置关系: 无公共点 _______________________. ? 2.线线平行、线面平行的共同特征是什么? _________.实际上,平行问题的“无公共点” 为基本特征,抓住这一点,平行问题就迎刃 而解了. ? 3.判定线线平行常用的依据有:定义(判定 一半 无公共点)、公理4(找辅助线). ? 4.三角形中位线定理:三角形的中位线平行

? 5.梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两 一半 底边,且等于两底边和的 _______. 且只有一 ? 6.经过直线外一点有 __________条直线与已 知直线平行; 无数 ? 经过直线外一点有 ________个平面与已知直 无数 线平行; 且只有一 ? 经过平面外一点有_______条直线与已知平面 且只有一 平行; ? 经过平面外一点有__________个平面与已知 平面平行; ? 经过两条异面直线中的一条有__________个

? 新知导学 ? 直线与平面平行的判定定理
文字语言 图形 语言 符号语言 a?α,b?α,且 a∥b?a∥α 作用

平面外 一条直线与此平面内的一条直线 __________ 平行 ,则该直线与此平面平行 ________

平行 证明直线与平面__________

? [破疑点] 直线与平面平行的判定定理告诉我 们,可以通过直线间的平行来证明直线与平 面平行.通常我们将其记为“线线平行,则 线面平行”.因此,处理线面平行转化为处 理线线平行来解决.也就是说,以后证明一 条直线和一个平面平行,只要在这个平面内 找到一条直线和已知直线平行即可.

? ●自我检测 ? 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面 BDD1B1平行的棱有________;与棱CD平行的 面有________. ? [答案] A1A、C1C 面A1B1C1D1、面ABB1A1

? 2.一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内, 把这块矩形木板绕AB转动,在转动的过程中, AB的对边CD与平面α的位置关系是 ________. ? [答案] CD∥α,或CD?α ? [解析] 在旋转过程中CD∥AB,由直线与平 面平行的判定定理得CD∥α,或CD?α.

? 3.如图所示,E,F分别为三棱锥A-BCD的 棱BC,BA上的点,且BE∶BC=BF∶BA=1∶3. 求证:EF∥平面ACD.

? [证明] ∵BE∶BC=BF∶BA=1∶3, ∴EF∥AC. ? 又EF?平面ACD,AC?平面ACD,

互动课堂

●典例探究

线面平行判定定理的理解
判断下列命题是否正确: (1)一条直线平行于一个平面,这条直线就平行于平面内的 任何直线; (2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行; (3)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行; (4)与两条异面直线都平行的平面有无穷多个.
[分析] 理解线面平行的 逐个判断 → 定义和判定定理 是否正确

? [解析] (1)直线与平面平行,则直线与平面 无公共点,所以直线与平面内的直线有可能 平行,也有可能异面,故错误. ? (2)如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中, AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD,AB?平面ABCD, A′B′,A′D′?平面ABCD,所以A′B′∥平面ABCD, A′D′∥平面ABCD,由此说明过平面外一点不 止有一条直线与已知平面平行,故错误.

? (3)过直线外一点有且只有一条直线与之平行, 过这条平行直线显然有无数个平面与已知直 线平行,故错误. ? (4)两条异面直线可以平移到同一个平面内, 而这两条异面直线与这个平面都是平行的, 且与这个平面平行的平面有无数个,故正 确.

? ? ? ? ? ?

已知直线b,平面α,有以下条件: ①b与α内一条直线平行; ②b与α内所有直线都没有公共点; ③b与α无公共点; ④b不在α内,且与α内的一条直线平行. 其中能推出b∥α的条件有________.(把你认 为正确的序号都填上) ? [答案] ②③④

? [解析] ①中b可能在α内,不符合;②和③ 是直线与平面平行的定义,④是直线与平面 平行的判定定理,都能推出b∥α.

线面平行判定定理的应用

(2013· 新课标全国Ⅱ)如图,直 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 AB 的中点.证 明:BC1∥平面 A1CD.

[分析]

在平面A1CD内找到 利用线面平行的 → 与BC1平行的直线 判定定理证明

? [证明] 连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中 点. ? 又D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF. ? 因为DF?平面A1CD,BC1?平面A1CD, ? 所以BC1∥平面A1CD.

?

规律总结: 1.应用判定定理证明线面平 行的步骤

? 上面的第一步“找”是证题的关键,其常用 方法有:利用三角形、梯形中位线的性质; 利用平行四边形的性质;利用平行线分线段

? 2.线面平行判定定理应用的误区 ? (1)条件罗列不全,最易忘记的条件是a?α与 b?α. ? (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直 线. ? 3.证明直线与平面平行的方法 ? (1)定义:证明直线与平面无公共点(不易操 作 ). ? (2)排除法:证明直线与平面不相交,直线也 不在平面内.

? (2012·辽宁)如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,点 M,N分别为A′B和B′C′的中点.证明:MN∥ 平面A′A′CC′.

? ? ? ?

[证明] 连接AB′,AC′,则点M为AB′的中点. 又点N为B′C′的中点,所以MN∥AC′. 又MN?平面A′ACC′,AC′?平面A′ACC′, 因此MN∥平面A′ACC′.

●误区警示 易错点 忽略线面平行的判定定理使用的前提条件 如果两条平行直线 a,b 中的 a∥α,那么 b∥α. 这个命题正确吗?为什么?

? ? ? ? ? ?

[错解] 这个命题正确. ∵a∥α, ∴在平面α内一定存在一条直线c,使a∥c. 又∵a∥b,∴b∥c, ∴b∥α. [错因分析] 错误的原因是利用线面平行的判 定定理时,忽略了定理使用的前提条件必须 是平面外的一条直线与平面内的一条直线平 行.本题条件中的直线b与平面α有两种位置 关系:b∥α和b?α.

? ? ? ? ? ?

[正解] 这个命题不正确. 若b?α,∵a∥α, ∴在平面α内必存在一条直线c,使a∥c. 又∵a∥b,∴b∥c,∴b∥α. 若b?α,则不满足题意. 综上所述,b与α的位置关系是b∥α或b?α.

? 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分 别是棱BC,C1D1的中点,求证:EF∥平面 BB1D1D.

? [错解] 如图,连接C1E,并延 长至G点,使GE=C1E,连接D1G. ? 在△C1D1G中,F是C1D1的中点, E是C1G的中点,所以EF∥D1G. ? 而EF?平面BB1D1D,D1G?平面 BB1D1D,故EF∥平面BB1D1D.

? [错因分析] 上述证明中,“D1G?平面 BB1D1D”这一结论没有根据,只是主观认为 D1G在平面BB1D1D内,说明在利用线面平行的 判定定理时,对两条直线平行比较关注,而 对另外两个条件(一直线在平面内,另一直线 在平面外)忽视,大多数情况下这两个条件在 作图(添加辅助线)时就可以清楚地表达出来, 一般不需单独证明,而本题作图过程看不出 D1G?平面BB1D1D的理论依据,而且题设条件 “E是BC的中点”没有用到,而没有这一条件, 结论会成立吗?比如把E点移动B点,显然结 论不成立.

[正解] 如图,连接 C1E,并延长交 B1B 的延长线于 G,连接 D1G. 因为 C1C∥B1B,E 是 BC 的中点, 所以 E 是 C1G 的中点. 在△C1D1G 中,F 是 D1C1 的中点,E 是 C1G 的中点,所以 EF∥D1G. 又因为 D1G?平面 BB1D1D, 而 EF?平面 BB1D1D, 所以 EF ∥平面 BB1D1D.

? [反思] 利用判定定理证明线面平行时,所满 足的三个条件必须是明显的或证明成立的, 否则其证明过程不严密.

随堂测评

? 1.三棱台ABC-A1B1C1中,直线AB与平面 A1B1C1的位置关系是( ) ? A.相交 B.平行 ? C.在平面内 D.不确定 ? [答案] B ? [解析] ∵AB∥A1B1,AB?平面A1B1C1,A1B1? 平面A1B1C1,∴AB∥平面A1B1C1.

? 2.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于D, E,且AD∶DB=AE∶EC,如图所示,则BC与α 的位置关系是( )

? A.平行 ? C.异面 ? [答案] A

B.相交 D.BC?α

? [解析] 在△ABC中,∵AD∶DB=AE∶EC, ? ∴BC∥DE. ? ∵BC?α,DE?α,∴BC∥α.

? ? ? ? ?

3.若l∥α,m?α,则l与m的关系是( ) A.l∥m B.l与m异面 C.l与m相交 D.l与m无公共点 [答案] D [解析] l与α无公共点,∴l与m无公共点.

? ? ? ? ?

4.能保证直线a与平面α平行的条件是( ) A.a?α,b?α,a∥b B.b?α,a∥b C.b?α,c∥α,a∥b,a∥c D.b?α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC =BD ? [答案] A ? [解析] 根据线面平行的判定定理.

5.如下图,长方体 ABCD-A′B′C′D′中,

(1)与直线 CD 平行的平面是________; (2)与直线 CC′平行的平面是________; (3)与直线 CB 平行的平面是________.

? [答案] (1)平面A′C′,平面A′B ? (2)平面A′B,平面A′D ? (3)平面A′D,平面A′C′

? 6.如图,在四棱锥P-ABCD中,点F是棱PD 的中点,点E为CD的中点,试判断直线EF与平 面PAC的关系,并说明理由.

? ? ? ? ?

[解析] 平行. 在△PDC中,E、F分别为CD、PD中点, ∴EF∥PC. 又PC?平面PAC,EF?平面PAC, ∴EF∥平面PAC.

课后强化作业
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