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2014届高考数学二轮专题突破辅导与测试 第1部分 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用课件_图文

第三讲

基本初等函数、函数与方程及函数的应用

考点 指数函数、对数函数及幂函数 函数的零点及其应用 函数的实际应用问题

考情 1.对指数函数、对数函数及幂函数的考查多以函数的定义 域、比较大小等问题形式考查,如2013年新课标全国卷ⅡT8 等. 2.结合函数与方程的关系,求函数的零点. 3.结合根的存在性定理或函数图像,对函数是否存在零点 或存在零点的个数进行判断,如2013年湖南T6等. 4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围. 5.对函数实际应用问题的考查,题目大多以社会生活为背 景,设问新颖、灵活,而解决这些问题所涉及的数学知识、思 想方法都是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则 、定理等.

1.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23, 则 A.a>c>b C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b ( )

解析:易知 log23>1,log32,log52∈(0,1).在同一平面直角 坐标系中画出函数 y=log3 x 与 y=log5 x 的图像,观察可知 log32>log52.所以 c>a>b.比较 a, b 的其他解法: log32>log3 3 1 1 1 =2,log52<log5 5=2,得 a>b;0<log23<log25,所以log 3 2 1 >log 5,结合换底公式即得 log32>log52. 2

答案:D

2.(2013· 重庆高考)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x- b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 ( )

解析:由已知易得f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,故函数f(x)的两 个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.

答案:A

3.(2013· 天津高考)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ( A. 1 B. 2 )

C. 3 D. 4 解析:函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数即为函数y=

1 |log0.5x|与y= 2x 图像的交点个数.在同一直角坐标系中作出 1 函数y=|log0.5x|与y=2x的图像,易知有2个交点.

答案:B

4.函数f(x)=ln x的图像与函数g(x)=x2-4x+4的图像的交点个 数为 A. 0 C. 2 B. 1 D. 3 ( )

解析:结合对数函数f(x)=ln x与二次函数g(x)=x2-4x+4= (x-2)2可得函数图像有两个交点.

答案:C

5.(2013· 天津高考)设函数 f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若 实数 a,b 满足 f(a)=0,g(b)=0,则 A.g(a)<0<f(b) C.0<g(a)<f(b) B.f(b)<0<g(a) D.f(b)<g(a)<0
x+

(

)

解析:因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=1- 2<0,f(1)=e-1>0,所以f(a)=0时a∈(0,1).又g(x)=ln

x2-3在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0. 由g(2)=ln 2+1>0,g(b)=0得b∈(1,2),又f(1)=e-1>0,且 f(x)=ex+x-2在R上单调递增,所以f(b)>0.综上可知, g(a)<0<f(b).

答案:A

1.指数与对数式的七个运算公式 (1)am· an=am n;


(2)(am)n=amn; (3)loga(MN)=logaM+logaN; M (4)loga N =logaM-logaN; (5)logaMn=nlogaM; (6)alogaN=N; logbN (7)logaN= log a (a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,M>0,N>0). b

2.指数函数与对数函数的图像和性质
指数函数 对数函数

图像

单调性

0<a<1时,在R上单调递减; a>1时,在R上单调递增

a>1时,在(0,+∞)上单调 递增; 0<a<1时,在(0,+∞)上单 调递减

函数值 性质

0<a<1,当x>0时,0<y<1;当 x<0时,y>1

0<a<1,当x>1时,y<0;当 0<x<1时,y>0

a>1, a>1,当x>0时,y>1;当x<0时, 当x>1时,y>0;当0<x<1 0<y<1 时,y<0

3.函数的零点与方程根的关系 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根,即函 数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像交点的横坐标.

指数函数、对数函数及幂函数
[例 1] (1)(2013· 南昌模拟)已知 a=0.7 ,b=0.6 ,c= ( C.a<b<c )
? 1 3 ? 1 3

log2.11.5,则 a,b,c 的大小关系是 A.c<a<b B.c<b<a

D.b<a<c

(2)(2013· 太原模拟)已知函数 f(x)=ln x1<x2,则下列结论中正确的是

? 1? x,x1,x2∈?0, e?,且 ? ?

(

)

A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
?x1+x2? f?x1?+f?x2? ? B.f? ? 2 ?< 2 ? ?

C.x1f(x2)>x2f(x1) D.x2f(x2)>x1f(x1)

[自主解答]

(1)依题意得 a=0.7 >0.70=1,b=0.6 >0.60

?

1 3

?

1 3

?7?0 a ?7? ? 1 3 =1,b=?6? <?6? =1,即 1<a<b;又 c=log2.11.5<log2.12.1=1, ? ? ? ?

因此 c<a<b.

(2)选项 A,由于函数在区间上为增函数,由单调性定义可 知(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故 A 错误;选项 B,由函数图像的凸 凹性可知
?x1+x2? ? f? ? 2 ? ? ?

f?x1?+f?x2? f?x? > , 故 B 错误; 选项 C, 令 g(x)= x 2

? 1-ln x 1? ln x = x ,由于 g′(x)= x2 ,当 x∈?0, e?,g′(x)>0,即函数 ? ? ? 1? 在区间 ?0, e ? 上为增函数,故 ? ?

f?x1? f?x2? x1<x2 ? g(x1)<g(x2) ? x < x ? 1 2

x2f(x1)<x1f(x2),故 C 正确;同理,令 h(x)=xf(x)=xln x,可知 x1f(x1)>x2f(x2),D 错误.

[答案]

(1)A

(2)C

将本例(2)中“f(x)=ln 如何选择?

? 1? x,x1,x2∈ ?0, e? ”改为“f(x)=ex”, ? ?

解析:因为f(x)=ex为增函数,所以(x1-x2)· [f(x1)-f(x2)]>0,故A 错误;由于函数f(x)=e
x

?x1+x2? f?x1?+f?x2? ?< 的凸凹性可知f ? ,故B 2 2 ? ?

xex-ex ex?x-1? ex ex 正确;令g(x)= x ,则g′(x)= x2 = x2 ,所以g(x)= x 在 (-∞,0),(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,故C错 误;同理,令h(x)=xex,则h′(x)=ex+xex=(1+x)ex,所以h(x) =xex在(-∞,-1)上为减函数,在(-1,+∞)上为增函数,故D 错误. 答案:B

——————————规律· 总结————————————
1.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题 (1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较; (2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较; (3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个 数,常引入中间量或结合图像比较大小. 2.解决含参数的指数、对数问题应注意的问题 对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对 底数进行讨论.解决对数问题时,首先要考虑定义域,其次再利 用性质求解.

————————————————————————

1.定义两个实数间的一种新运算“*”:x*y=lg(10x+10y),x,y ∈R.对于任意实数a,b,c,给出如下结论: ①(a*b)*c=a*(b*c);②a*b=b*a;③(a*b)+c=(a+c)*(b +c). 其中正确结论的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 ( D. 3 )

解析:①因为 a*b=lg(10a+10b),故(a*b)*c=lg(10a+10b)*c=
a b (10 + 10 ) + 10c) = lg(10a + 10b + 10c) , 同 理 lg(10lg

a*(b*c) =

a*(lg(10 +10 ))=lg(10

b

c

a

b c lg(10 + 10 ))=lg(10a+10b+10c),故 +10

“*”运算满足结合律;②据定义易知运算符合交换律;③(a*b) + c = lg(10a + 10b) + c = lg(10a + 10b) + lg 10c = lg[(10a+ 10b)10c] =lg(10a+c+10b+c)=(a+c)*(b+c),故结论成立.综上可知①② ③正确.

答案:D

1? ? x + 1, x ∈ ? ?0, ?, ? 2 2? ? 2. 已知函数 f(x)=? ? 1 ?2x-1,x∈? ? ,2?. ? ?2 ?

若存在 x1, x 2, 当 0≤x1<x2<2

时,f(x1)=f(x2),则 x1f(x2)的取值范围是_____.

?x1+1=2x -1, ? 2 ? 2 1 1 解析: 作出函数 f(x)的图像, 由图知? - ≤x1< , 2 2 2 ? ?1≤x2<1. ?2
2

? ? ? 1 1 1 ? ? 2 x - 1 x - 1 所 以 x1f(x2) = 2 2 - ? · 2x2 - 1 = ?2 2 - ? ∈ ? -

4? 16 ?2- 2 1? ?2- 2 1? ? ,2?,即 x1f(x2)的取值范围是? 4 ,2?. ? 4 ? ? ?
?

? ? ? ?

2?

?2- 2 1? 答案:? , 2? 4 ? ?

函数的零点问题
[例2] 为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 1 (1)(2013· 青岛模拟)函数f(x)=log2x- x 的零点所在的区间 ( )

(2)(2013· 石家庄模拟)[x]表示不超过x的最大整数,例如[2.9]= 2,[-4.1]=-5.已知f(x)=x-[x](x∈R),g(x)=log4(x-1),则函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是 ( )

A. 1 C. 3

B.2 D.4

(3)(2013· 武汉模拟)定义运算M:x?y=

? ?|y|,x≥y, ? ? ?x, x<y.

设函数

f(x)=(x2-3)?(x-1),若函数y=f(x)-c 恰有两个零点,则实数 c的取值范围是 A.[-3,-2) B.[-3,-2]∪[3,+∞) C.[-2,2] D.(-3,-2)∪[2,+∞) ( )

[自主解答]

1 (1)由 f(1)=-1<0, f(2)=2>0 可得 f(x)在(1,2)内必有

零点. (2)函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数可转化为函数 f(x)与 g(x)图像

?? ?x+1?-1≤x<0?, ? 的交点个数,作出函数 f(x)=x-[x]=?x ?0≤x<1?, ?x-1?1≤x<2?, ? ??

与函数

g(x)=log4(x-1)的大致图像如图, 由图可知两函数图像的交点个数为 2,即函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是 2.

(3)由x2-3≥x-1解得x≤-1或x≥2,所以f(x)=
? ?|x-1|,x≤-1或x≥2, ? 2 ? ?x -3,-1<x<2.

函数y=f(x)-c恰有两个零点,即函

数y=f(x),y=c的图像恰有两个交点,作出函数y=f(x),y=c 的图像如图,由图可知-3<c<-2或c≥2时,两个图像有两个 不同的交点,故实数c的取值范围是(-3,-2)∪[2,+∞).

[答案]

(1)B

(2)B

(3)D

——————————规律· 总结————————————
判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点:令f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数. (2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的 曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确 定函数有多少个零点. (3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通 过分解转化为两个函数图像,然后数形结合,看其交点的个数有几 个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

————————————————————————

2 3.函数f(x)=2 - x -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取
x

值范围是 A.(1,3) C.(0,3) B.(1,2) D.(0,2)

(

)

解析:∵函数f(x)有一个零点在(1,2)内, ∴f(1)· f(2)<0,即-a(3-a)<0,∴0<a<3.

答案:C

? ?kx+1,x≤0, 4.若函数f(x)= ? ? ?ln x, x>0,

则当k>0时,函数y=f[f(x)]+1 ( )

的零点个数为 A. 1 B.2 C. 3

D. 4

解析:结合图像分析.当k>0时, f[f(x)]
? 1? =-1,则f(x)=t1∈ ?-∞,-k? 或f(x)=t2 ? ?

∈(0,1).对于f(x)=t1,存在两个零点x1, x2;对于f(x)=t2,存在两个零点x3,x4, 共存在4个零点.

答案:D

函数的实际应用
[例 3] (2013· 长沙模拟)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,

欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定对这种食品生产厂家提供政 府补贴,设这种食品的市场价格为 x 元/千克,政府补贴为 t 元/千克,据 调查,当 16≤x≤24 时,这种食品市场日供应量 p 万千克与市场日需求 量 q 万千克近似地满足关系:p=2(x+4t-14)(x≥16,t≥0),q=24+8ln 20 x (16≤x≤24).当 p=q 时的市场价格称为市场平衡价格. (1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域; (2)为使市场平衡价格不高于每千克 20 元,政府补贴至少为每千克 多少元?

[自主解答]

20 (1) 由 p = q , 得 2(x + 4t - 14) = 24 + 8ln x

13 1 20 13 x (16≤x≤24 , t≥0) ,则 t = 2 - 4 x + ln x = 2 + ln 20 - 4 - ln x(16≤x≤24). 1 1 ∵t′=-4-x<0,∴t 是 x 的减函数. 13 1 20 1 20 1 5 ∴tmin= 2 -4×24+ln 24=2+ln 24=2+ln 6; 13 1 20 5 5 tmax= 2 -4×16+ln 16=2+ln 4,
?1 ∴函数值域为? +ln ?2

5 5 5? ?. , + ln 6 2 4?

13 1 20 (2)由(1)知 t= 2 -4x+ln x (16≤x≤24). 13 1 20 而 x=20 时,t= 2 -4×20+ln 20=1.5(元/千克). ∵t 是 x 的减函数.欲使 x≤20,必须使 t≥1.5(元/千克),要使市 场平衡价格不高于每千克 20 元,政府补贴至少为 1.5 元/千克.

——————————规律· 总结————————————

解决函数应用题的四步曲 (1)阅读理解:读懂题意,弄清题中出现的量及其数学含义. (2)分析建模:分析题目中的量与量之间的关系,同时要注意 由已知条件联想熟知的函数模型,以确定函数模型的种类,建立 目标函数,将实际问题转化为数学问题. (3)数学求解:利用相关的函数知识求解计算. (4)还原总结:把计算获得的结果还原到实际问题中进行总结 作答.
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5.某企业为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设 备接入本企业电网,安装这种供电设备的成本费(单位:万元)与 1 太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为 2 .为了 保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设 在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费c(单位:万元)与安装 的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是c(x) 120 = (x>0).记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业 x+ 5 15年共将消耗的电费之和是F(x)(万元),则F(40)等于 A.80 B.60 C.42 D.40 ( )

1 120 1 120 解析:依题意得 F(x)=2x+ ×15,F(40)=2×40+ × x+5 40+5 15=60.

答案:B

课题3 [典例]

指数函数、对数函数与其他交汇性问题

(2013· 杭州模拟)设f(x)是定义在R上的偶函

数,对任意的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0] 时,f(x)=
?1? x ? ? -1,若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)- ?2?

loga(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实数根,则实数a的取值 范围是 ( )

A.(1,2) C.(1, 4)
[考题揭秘]

B.(2,+∞) D.( 4,2)
本题考查指数函数、对数函数的图像、性质以

3

3

及函数的零点问题,意在考查学生的推理论证能力、运算求解能 力、转化与化归能力以及数形结合思想的运用能力.

[审题过程]

第一步:审条件.(1)f(x)为偶函数;(2)f(x-2)

?1? x =f(x+2);(3)x∈[-2,0]时,f(x)= ?2? -1;(4)x∈(-2,6]时,方 ? ?

程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)有3个不同的实根. 第二步:审结论.求实数a的取值范围. 第三步:建联系.问题等价于函数y=f(x)的图像与y= loga(x+2)的图像在(-2,6]上恰有3个不同的交点.

[规范解答]

由 f(x-2)=f(x+2), 知 f(x)是以 4 为周期的周期

函数,故可作出函数 f(x) 及 y = loga(x + 2)(a>1) 在 ( - 2,6] 上的图 像.????????????????????????① f(x)在[-2,6]上的大致图像如图 中 实 线 所 示 . 令 g(x) = loga(x + 2)(a>1), 则 g(x)的大致图像如图中虚 线所示.?????②

结合图像可知,要使得方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)在区间 (-2,6]内恰有3个不同的实数根,则必须且只需
? ?g?2?<3, ? ? ?g?6?>3,

……………………………………………………③ 3

? ?loga4<3, 即? ? ?loga8>3,

解得 4<a<2. ………………………………④

[答案]

D

[模型归纳] 解决指数函数、对数函数与其他交汇性问题的模型示意图 如下:

[变式训练] 1.设方程 3x=|lg(-x)|的两个根为 x1,x2(x1<x2),则(
A.x1x2<0 C.x1x2>1 B.x1x2=0 D.0<x1x2<2

)

解析: 在同一平面直角坐标系中画出函数 y =3x 和 y=|lg(-x)|的图像, 可知-2<x1<- 1,-1<x2<0,所以 0<x1x2<2.

答案:D

2.当 x∈(3,4)时,不等式 loga(x-2)+(x-3)2<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A.[2,+∞ ) C.
?1 ? ? , 1? ?2 ?

( B.(1,2]
? D.?1, ?

)

1? ? 2?

解析:由 loga(x-2)+(x-3)2<0 知(x-3)2<- loga(x-2)=log 1 (x-2),要使函数 y=log 1 (x
a a

- 2)(x ∈ (3,4)) 的图像在函数 y = (x - 3)2(x ∈ 1 (3,4))的图像的上方,则a>1,数形结合可知 log 1 (4-2)≥(4-3)2, a 1 1 1 1 即 log 2≥log a,故a≤2,a≥2,故2 ≤a<1.
1 a 1 a

答案:C