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(人教版)高中数学必修二


必修二 第一章 空间几何体 知识点: 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的 多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长 l 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ;正方体的对角线长 l ? 3a 3、球的体积公式: V ?

4 ? R 3 ,球的表面积公式: S ? 4? R 3
2 1 S1 h1 s ? h ,锥体截面积比: ? 3 S 2 h2 2

2

4、柱体 V ? s ? h ,锥体 V ?

5、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积;

S侧面 ? 2? ? r ? l

⑵圆锥侧面积:

S 侧面 ? ? ? r ? l

典型例题: ★例 1:下列命题正确的是( ) A.棱柱的底面一定是平行四边形 B.棱锥的底面一定是三角形 C.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例 2:若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的 ( )

1 A 2倍

B

2 4 倍

C 2倍

D

2倍

★例 3:已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体,其三视图如下图所示,则这 个组合体的上、下两部分分别是( ) A.上部是一个圆锥,下部是一个圆柱 B.上部是一个圆锥,下部是一个四棱柱 C.上部是一个三棱锥,下部是一个四棱柱 D.上部是一个三棱锥,下部是一个圆柱

正视图 侧视图 俯视图

★★例 4:一个体积为 8cm3 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是 A. 8? cm 2 B 12? cm .
2

C 16? cm2 .

D. 20? cm2

二、填空题 ★例 1:若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的 直径为_______________. ★例 2:球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点: 1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行 (简 称线线平行,则线面平行) 。 ⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行(简称线面平行,则线线平行) 。 10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简 称线面平行,则面面平行) 。 ⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(简称 面面平行,则线线平行) 。 11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和 这个平面垂直。 ⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 (简称线线垂直,则线面垂直) 。 ⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直。 ⑵判定: 一个平面经过另一个平面的一条垂线, 则这两个平面垂直 (简称线面垂直, 则面面垂直) 。 ⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 (简称面面垂直,则线面垂直) 。

典型例题: ★例 1:一棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比是 1:2,则此棱锥的 高(自上而下)被分成两段长度之比为 A、1: 2 B、1:4 C、1: ( 2 ? 1) D、1: ( 2 ? 1)

★ 例 2: 已知两个不同平面 ? 、? 及三条不同直线 a、b、 c,? ? ? ,? ? ? ? c ,a ? ? ,

a ? b ,c 与 b 不平行,则(
A. b // ? 且 b 与 ? 相交 C. b 与 ? 相交

) B. b ? ? 且 b // ? D. b ? ? 且与 ? 不相交

★★ 例 3:有四个命题:①平行于同一直线的两条直线平行;②垂直于同一平面的两条直 线平行;③平行于同一直线的两个平面平行;④垂直于同一平面的两个平面平行。其中正确 的是 ( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④

★ ★ 例 4 : 在 正 方 体 ABCD ? A1 B1C 1D1 中 , E , F 分 别 是 DC和CC1 的 中 点 . 求 证 :

D1 E ? 平面ADF
例 5:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为 棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1 第三章 直线与方程 知识点: 1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? 2、直线方程: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? b D1 A1 B1 C1

E

D F B

C

y 2 ? y1 x2 ? x1

A

⑶两点式:

y ? y1 y2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

⑷截距式:

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0

3、对于直线: l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有: ⑴ l1 // l 2 ? ?

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑷ l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 . 4、对于直线:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

有:

⑴ l1 // l 2 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C 2 ? B2 C1

⑵ l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ; ? B1C 2 ? B2 C1

⑷ l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 5、两点间距离公式: P 1P 2 ? 6、点到直线距离公式: d ? 7、两平行线间的距离公式:

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2
A2 ? B 2
C1 ? C 2 A2 ? B 2

Ax0 ? By0 ? C

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 平行,则 d ?
典型例题: ★例 1:若过坐标原点的直线 l 的斜率为 ? 3 ,则在直线 l 上的点是( A



(1, 3)

B

( 3,1)

C

(? 3,1)

D

(1,? 3)

★例 2:直线 l1 : kx ? (1 ? k ) y ? 3 ? 0和l 2 : (k ? 1) x ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 A .-3 第四章 互相垂直,则 k 的值是( ) B .0 C . 0 或-3 D . 0或1 圆与方程

知识点: 1、圆的方程: ⑴标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r .
2 2

⑵ 一 般 方 程 : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 其 中 圆 心 为 ( ?

D 2

,?

E 2

) ,半径为

2 2、直线与圆的位置关系

r?

1

D2 ? E 2 ? 4F .

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;
d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
3、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 4、空间中两点间距离公式: P 1P 2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

典型例题: ★例 1:圆心在直线 y=2x 上,且与 x 轴相切与点(-1,0)的圆的标准方程是 _________________________. ★★ 例 2:已知 圆C : x ? y ? 4 ,
2 2

(1)过点 (?1, 3) 的圆的切线方程为________________. (2)过点 (3,0) 的圆的切线方程为________________. (3)过点 (?2,1) 的圆的切线方程为________________. (4)斜率为-1 的圆的切线方程为__________________. ★★例 3:已知圆 C 经过 A(3,2)、B(1,6)两点,且圆心在直线 y=2x 上。 (1)求圆C的方程; (2)若直线L经过点 P(-1,3)且与圆C相切, 求直线L的方程。


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