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高三数学第一轮复习单元测试题—-集合与函数

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高三数学第一轮复习单元测试题— 集合与函数

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1.设集合 A ? {1, 2},则满足 A ? B ? {1, 2,3}的集合 B 的个数是

()

A.1

B.3

C.4

D.8

2.已知集合

M={x|

(

x

x ? 1)

3

?

0 },N={y|y=3x2+1,x?R},则 M?N=

()

A.?

B.{x|x?1}

C.{x|x?1}

D.{x| x?1 或 x?0}

3.有限集合 S 中元素个数记作 card ?S ? ,设 A 、 B 都为有限集合,给出下列命题:

① A ? B ? ? 的充要条件是 card ?A ? B?= card ?A? + card ?B? ;

② A ? B 的必要条件是 card ?A? ? card ?B? ;

③ A ? B 的充分条件是 card ?A? ? card ?B? ;

④ A ? B 的充要条件是 card ?A? ? card ?B? .

其中真命题的序号是

A.③、④

B.①、②

C.①、④

D.②、③

4.已知集合 M={x|x<3},N={x|log2x>1},则 M∩N=

()

A. ?

B.{x|0<x<3} C.{x|1<x<3} D.{x|2<x<3}

5.函数

y

?

log2

x (x x ?1

? 1) 的反函数是

()

A.

y

?

2

2x x?

1

(

x

?

0)

B.

y

?

2x 2x ?

1

(

x

?

0)

C.

y

?

2x ?1 2x (x

?

0)

D.

y

?

2x ?1 2x (x

?

0)

6.函数 f (x) ? 3x2 ? lg(3x ?1) 的定义域是 1? x

()

A. (? 1 ,??) 3

B. (? 1 ,1) 3

C. (? 1 , 1) 33

D. (??,? 1) 3

7.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A. y ? ?x3 , x ? R

B. y ? sin x, x ? R

C. y ? x, x ? R

D. y ? (1) x , x ? R

2

8.函数 y ? f (x) 的反函数 y ? f ?1(x) 的图象与 y 轴交于点

()

P(0,2) (如图 2 所示),则方程 f (x) ? 0 的根是 x ? ( )

A.4

B.3

C.2

D.1

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9.已知函数 f (x) ? ax2 ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3), 若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1? a, 则
()

A. f (x1) ? f (x2 )

B. f (x1) ? f (x2 )

C. f (x1) ? f (x2 )

D. f (x1) 与 f (x2 ) 的大小不能确定

10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ? 密文(加密),接收方由密文 ? 明

文(解密),已知加密规则为:明文 a,b, c, d 对应密文 a ? 2b, 2b ? c, 2c ? 3d, 4d.例如,

明文1, 2,3, 4 对应密文 5, 7,18,16. 当接收方收到密文14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文



()

A. 7, 6,1, 4

B. 6, 4,1, 7

C. 4, 6,1, 7

D.1, 6, 4, 7

11.如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所

围成的弓形面积的 2 倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

? ? 12.关于 x 的方程 x2 ?1 2 ? x2 ?1 ? k ? 0,给出下列四个命题:

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;

②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根;

③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;

④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根.

其中假命题的个数是

()

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.

13.函数

f

? x? 对于任意实数 x 满足条件

f

?x ? 2? ?

f

1 ,若
?x?

f

?1? ? ?5,

则 f ? f ?5?? ? _______.

14.设 f(x)=log3(x+6)的反函数为 f-1(x),若〔f-1(m)+6〕〔f-1(n)+6〕=27, 则 f(m+n)=___________________.

15.设

g

(

x)

?

? ex , x ? 0. ??lnx, x ? 0.



g

(

g

(

1 2

))

?

__________.

16.设

f ?x? ? lg

2? x 2? x

,则

f ?? x ?? ? ? 2?

f ?? 2 ?? 的定义域为_____________
? x?



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三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x2 ? (lg a ? 2)x ? lg b 满足 f (?1) ? ?2 且对于任意 x ? R , 恒有 f (x) ? 2x 成立. (1)求实数 a, b 的值; (2)解不等式 f (x) ? x ? 5.

18(本小题满分 12 分) 20 个下岗职工开了 50 亩荒地,这些地可以种蔬菜、棉花、水稻,如果种这些农作
物每亩地所需的劳力和预计的产值如下:

每亩需劳力 每亩预计产值

蔬菜

1

2

1100 元

棉花

1

3

750 元

水稻

1

4

600 元

问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有职工都有工作,而且农作物的预计总产值

达到最高?

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19.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? ax2 ? bx ? 1 (a,b为实数), x ? R,

F

(

x)

?

? ? ?

f (x) ? f (x)

(x ? 0) (x ? 0)

(1)若 f (?1) ? 0, 且函数 f (x) 的值域为[0, ? ?) ,求 F(x) 的表达式;

(2)在(1)的条件下, 当 x ?[?2, 2] 时, g(x) ? f (x) ? kx 是单调函数, 求实数 k 的取
值范围;
(3)设 m ? n ? 0, m ? n ? 0, a ? 0 且 f (x) 为偶函数, 判断 F (m) + F(n) 能否大于零?

20.(满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x )=f(x)-x2+x. (1)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式.

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21.(本小题满分 12 分)
设函数 f (x) ? x2 ? 4x ? 5 .
(1)在区间[ ? 2, 6] 上画出函数 f (x) 的图像;
? ? (2)设集合 A ? x f (x) ? 5 , B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) . 试判断集合 A和 B
之间的关系,并给出证明;
(3)当 k ? 2 时,求证:在区间[ ?1, 5] 上, y ? kx ? 3k 的图像位于函数 f (x) 图像的
上方.

22.(本小题满分 14 分) 设 a 为实数,记函数 f (x) ? a 1 ? x2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a).
(1)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t); (2)求 g(a); (2)试求满足 g(a) ? g( 1 ) 的所有实数 a.
a

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参考答案(1)

1.C. A ? {1, 2}, A ? B ? {1, 2,3},则集合 B 中必含有元素 3,即此题可转化为求集合 A ? {1, 2}的子

个数问题,所以满足题目条件的集合 B 共有 22 ? 4 个.故选择答案 C.

2.C.M={x|x?1 或 x?0},N={y|y?1}故选 C

3.B.选由 card ?A ? B?= card ?A? + card ?B? + card ? A B? 知 card ?A ? B?= card ?A? +

card ?B? ? card ? A B? =0 ? A ? B ? ? .由 A ? B 的定义知 card ?A? ? card ?B? .

? ? ? ? 4.D. N ? x log2 x ? 1 ? x x ? 2 ,用数轴表示可得答案 D.

5.A.∵

y

?

log2

x x ?1

∴ x ? 2y x ?1



y

?

2x 2x ?1

∵ x ?1

∴ x ?1? 1 ?1 x ?1 x ?1



y

?

log2

x x ?1

?

0

∴函数

y

?

log2

x (x x ?1

? 1) 的反函数为

y

?

2x 2x ?1

(x

?

0)

.

6.B.由

?1? x ? 0 ??3x ?1 ? 0

?

?

1 3

?

x

?

1,故选

B.

7.B.在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇

函数,是减函数;故选 A.

8.C.利用互为反函数的图象关于直线 y=x 对称,得点(2,0)在原函数 y ? f (x) 的图象上,即 f (2) ? 0 ,

所以根为 x=2.故选 C
9. B.取特值 a ? 1, x1 ? ?2, x2 ? 2, f ?2? ? f ?? 2?,选 B;或二次函数其函数值的大小关系,分类研究对

成轴和区间的关系的方法, 易知函数的对成轴为 x ? ?1,开口向上的抛物线, 由 x1 ? x2 , x1+x2=0,需

分类研究 x1 ? x2 和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选 B;
10.B.理解明文 ? 密文(加密),密文 ? 明文(解密)为一种变换或为一种对应关系,构建方程组求解,

?x ? a ? 2b 依 提 意 用 明 文 表 示 密 文 的 变 换 公 式 为 ?? y ? 2b ? c , 于 是 密 文 14 , 9 , 23 , 28 满 足 , 即 有
??z ? 2c ? 3d ??m ? 4d

?14 ? a ? 2b ?d ? 7

??9 ? 2b ? c ??23 ? 2c ? 3d

,?

??c ??b

? ?

1 4

,选

B;

??28 ? 4d

??a ? 6

11 . D . 当

?
x=

时,阴影部分面积为 1

个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故此时

2

4

f

? (

)

?

? 2[

? 1] ? ?

?2

??

,即点( ?

? ,

?2

)在直线 y=x 的下方,故应在 C、D 中选;而当 x= 3?

时, ,

2 42 2 2

22

2

阴影部分面积为 3 个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,即 4

f (3? ) ? 2 ?[? ? ? ? 2] ? ? ? 2 ? 3? ,即点( 3? ,? ? 2 )在直线 y=x 的上方,故选 D.

2

2

2

2

12.B.本题考查换元法及方程根的讨论,要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力;据题意可令

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x2 ?1 ? t (t ? 0) ①,则方程化为 t2 ? t ? k ? 0 ②,作出函数 y ? x2 ?1 的图象,结合函数的

图象可知:(1)当 t=0 或 t>1 时方程①有 2 个不等的根;(2)当 0<t<1 时方程①有 4 个根;(3)当 t=1

时,方程①有 3 个根.

故当 t=0 时,代入方程②,解得 k=0 此时方程②有两个不等根 t=0 或 t=1,故此时原方程有 5 个根;当

方程②有两个不等正根时,即 0 ? k ? 1 此时方程②有两根且均小于 1 大于 0,故相应的满足方程 4

x2 ?1 ? t 的解有 8 个,即原方程的解有 8 个;当 k ? 1 时,方程②有两个相等正根 t= 1 ,相应的原方

4

2

程的解有 4 个;故选 B.

13.由

f

?x ? 2? ?

f

1得
?x?

f ?x ? 4? ?

f

?

1 x?

2

?

?

f (x) ,所以

f (5) ?

f (1) ? ?5 ,则

f ? f ?5?? ? f (?5) ? f (?1) ? 1 ? ? 1 .
f (?1? 2) 5

14.f-1(x)=3x-6 故〔f-1(m)+6〕?〔f-1(x)+6〕=3m?3n=3m +n=27

?m+n=3?f(m+n)=log3(3+6)=2.

15.

g ( g ( 1 ))

?

g (ln

1)

?

ln 1
e2

?

1



2

2

2

16.由

2?

x

?

0 得,

f

(x)

的定义域为 ?2

?

x

?

2 。故 ????2 ?

x 2

?

2, ,解得 x???4, ?1?

2?x

? ??2

?

2

?

2.

?? x

?1,4? .

? ? ? ? 故 f ?? x ?? ? f ?? 2 ?? 的定义域为 ? 4,?1 ? 1,4 . ?2? ?x?

17.

(1)

由 f (?1) ? ?2, 知,

lg b ? lg a ?1 ? 0, …①

a


? 10. …②又 f (x) ? 2x 恒成立,



x2

?

x ? lg

a

?

lg

b

?

0

恒成立,故 ?

?

(lg

a)2

?

4 lg b

b ? 0.

将①式代入上式得: (lg a)2 ? 2 lg b ? 1 ? 0 , 即 (lg b ?1)2 ? 0, 故 lg b ? 1.

即 b ? 10 , 代入② 得, a ? 100 .

(2) f (x) ? x2 ? 4x ? 1, f (x) ? x ? 5, 即 x2 ? 4x ?1 ? x ? 5, ∴ x2 ? 3x ? 4 ? 0,

解得:

? 4 ? x ? 1, ∴不等式的解集为{x | ?4 ? x ? 1} .

18.设种蔬菜、棉花、水稻分别为 x 亩,y 亩,z 亩,总产值为 u,

依题意得 x+y+z=50, 1 x ? 1 y ? 1 z ? 20 ,则 u=1100x+750y+600z=43500+50x. 234

∴ x ? 0,y=90-3x ? 0,z=wx-40 ? 0,得 20 ? x ? 30,∴当 x=30 时,u 取得大值 43500,此时 y=0,z=20.

∴安排 15 个职工种 30 亩蔬菜,5 个职工种 20 亩水稻,可使产值高达 45000 元.

19 (1) ∵ f (?1) ? 0 , ∴ a ? b ?1 ? 0, 又 x ? R, f (x) ? 0 恒成立,

∴ ?a ? 0

, ∴b2 ? 4(b ?1) ? 0 , b ? 2, a ? 1∴ f (x) ? x 2 ? 2x ? 1 ? (x ? 1)2 .

? ??

?

b2

?

4a

?

0



F

(

x)

?

??(x ? ???? (x

1) 2 ? 1)

2

(x ? 0) (x ? 0)

(2) 则 g(x) ? f (x) ? kx ? x2 ? 2x ? 1 ? kx ? x2 ? (2 ? k)x ? 1

? (x ? 2 ? k )2 ?1? (2 ? k)2 ,

2

4

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当 k ? 2 ? 2 或 k ? 2 ? ?2 时, 即 k ? 6 或 k ? ?2 时, g(x) 是单调函数.

2

2

(3)



f (x) 是偶函数∴

f

(x)

?

ax 2

? 1,

F ( x)

?

??ax2 ?

? ???

ax

2

1 ?

1

(x ? 0) , (x ? 0)

∵ m ? n ? 0, 设 m ? n, 则 n ? 0 .又 m ? n ? 0, m ? ?n ? 0,

∴| m | ? | ?n | F (m) + F(n)

? f (m) ? f (n) ? (am2 ? 1) ? an2 ?1 ? a(m2 ? n2 ) ? 0 ,∴ F(m) + F(n) 能大于零.

20.(1)因为对任意 xε R,有 f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x,所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.

又由 f(2)=3,得 f(3-22+2)-3-22+2,即 f(1)=1.

若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=A.

(2)因为对任意 xε R,有 f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.

又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)- x0. 所以对任意 xε R,有 f(x)- x2 +x= x0.

在上式中令

x=

x0,有

f(x0)-x

2 0

+ x0= x0,

又因为 f(x0)-

x0,所以 x0-

x

2 0

=0,故 x0=0 或 x0=1.

若 x0=0,则 f(x)- x2 +x=0,即 f(x)= x2 –x. 但方程 x2 –x=x 有两上不同实根,与题设条件矛质, 故 x2≠0. 若 x2=1,则有 f(x)- x2 +x=1,即 f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上,所求函数为 f(x)= x2 –x+1(x? R).
21.(1)

(2)方程 f (x) ? 5 的解分别是 2 ? 14, 0, 4和 2 ? 14 ,
由于 f (x) 在 ( ? ?, ?1] 和[ 2, 5] 上单调递减, 在[ ?1, 2] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此

? ? ? ? A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14, ? ? .

由于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A .

(3)[解法一] 当 x ?[ ?1, 5] 时, f (x) ? ?x 2 ? 4x ? 5 .

g(x) ? k(x ? 3) ? (?x 2 ? 4x ? 5)

? x 2 ? (k ? 4)x ? (3k ? 5) ? ?? x ? 4 ? k ??2 ? k 2 ? 20k ? 36 ,

? 2?

4

? k ? 2, ? 4 ? k ?1 . 又 ?1? x ? 5 , 2

① 当 ?1 ? 4 ? k ?1 ,即 2 ? k ? 6 时,取 x ? 4 ? k ,

2

2

? ? g(x)min

?

?

k2

?

20k 4

? 36

?

?

1 4

?k

? 10?2

? 64

.

? 16 ? (k ? 10)2 ? 64, ? (k ? 10)2 ? 64 ? 0 , 则 g(x)min ? 0 .

② 当 4 ? k ? ?1,即 k ? 6 时,取 x ? ?1, 2

g(x) min = 2k ? 0 .

由 ①、②可知,当 k ? 2 时, g(x) ? 0 , x ?[ ?1, 5] .

因此,在区间[ ? 1, 5 ] 上, y ? k(x ? 3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方.

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[解法二]

当 x ?[ ?1, 5] 时 ,

f (x) ? ?x2 ? 4x ? 5

.



? y ? k(x ? 3),

? ?

y

?

?x2

?

4x

?

5,



x 2 ? (k ? 4)x ? (3k ? 5) ? 0 ,

令 ? ? (k ? 4)2 ? 4(3k ? 5) ? 0 ,解得 k ? 2 或 k ?18 ,
在区间[ ? 1, 5 ] 上,当 k ? 2 时, y ? 2(x ? 3) 的图像与函数 f (x) 的图像只交于一点 (1, 8 ) ; 当 k ?18 时, y ?18(x ? 3) 的图像与函数 f (x) 的图像没有交点. 如图可知,由于直线 y ? k(x ? 3) 过点 ( ? 3, 0 ) ,当 k ? 2 时,直线 y ? k(x ? 3) 是由直线 y ? 2(x ? 3) 绕点 ( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此,在区间[ ?1, 5 ] 上, y ? k(x ? 3) 的图像 位于函数 f (x) 图像的上方.
22.(1)∵ t ? 1 ? x ? 1 ? x ,∴要使 t 有意义,必须1? x ? 0且1? x ? 0,即 ?1 ? x ? 1

∵ t 2 ? 2 ? 2 1? x2 ?[2,4] ,且 t ? 0 ……① ∴ t 的取值范围是[ 2,2] 。

由①得: 1 ? x2 ? 1 t 2 ?1,∴ m(t) ? a(1 t 2 ?1) ? t ? 1 at 2 ? t ? a , t ? [ 2,2] 。

2

2

2

(2)由题意知 g(a) 即为函数 m(t) ? 1 at 2 ? t ? a , t ? [ 2,2] 的最大值,
2

∵直线 t ? ? 1 是抛物线 m(t) ? 1 at 2 ? t ? a 的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论:

a

2

1)当 a ? 0 时,函数 y ? m(t) , t ? [ 2,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,

由 t ? ? 1 ? 0 知 m(t) 在 t ? [ 2,2] 上单调递增,故 g(a) ? m(2) ? a ? 2 ; a

2)当 a ? 0 时, m(t) ? t , t ? [ 2,2] ,有 g(a) =2;

3)当 a ? 0时,,函数 y ? m(t) , t ? [ 2,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

若 t ? ? 1 ? (0, 2] 即 a ? ? 2 时, g(a) ? m( 2) ? 2 ,

a

2

若 t ? ? 1 ? ( 2,2] 即 a ? (? 2 ,? 1 ] 时, g(a) ? m(? 1 ) ? ?a ? 1 ,

a

22

a

2a

若 t ? ? 1 ? (2,??) 即 a ? (? 1 ,0) 时, g(a) ? m(2) ? a ? 2.

a

2

? ?

a?2

综上所述,有

g(a)

=

???? ?

a

?

1 2a

? ??

2

(a ? ? 1)

, (?

2

?

a

?

2 ?1

)



2

2

(a ? ? 2 ) 2

(3)当 a ? ? 1 时, g(a) ? a ? 2 ? 3 ? 2 ;

2

2

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当 ? 2 ? a ? ? 1 时, ? a ?[1 , 2 ) , ? 1 ? ( 2 ,1] ,∴ ? a ? ? 1 ,

2

2

22

2a 2

2a

g(a) ? ?a ? 1 ? 2 (?a) ? (? 1 ) ?

2a

2a

2 ,故当 a ? ?

2 时, g(a) ? 2

2;

当 a ? 0 时, 1 ? 0 ,由 g(a) ? g( 1 ) 知: a ? 2 ? 1 ? 2 ,故 a ? 1 ;

a

a

a

当 a ? 0时, a ? 1 ? 1 ,故 a ? ?1或 1 ? ?1,从而有 g(a) ? 2 或 g( 1 ) ? 2 ,

a

a

a

要使

g(a)

?

g(1) a

,必须有 a

?

?

2 ,1 ?? 2a

2 ,即 ? 2

2?a?? 2, 2

此时, g(a) ? 2 ? g( 1 ) 。 a

综上所述,满足 g(a) ? g( 1 ) 的所有实数 a 为: ? 2 ? a ? ? 2 或 a ? 1 .

a

2