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江苏省南通市通州区2012年高一数学暑假自主学习 单元检测十二 综合试卷2


高一数学暑假自主学习单元检测十二 综合试卷 2
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分. 1.若点 P(m,n)(m,n≠0)为角 600°终边上一点,则 等于________. 2.根据表格中的数据,可以判定方程 e x ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间为 . 3 20.09 5

m n

x
ex
x?2

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3.如图,已知集合 A={2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9}, 用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 .

4.P,Q 分别为直线 3x+4y-12=0 与 6x+8y+6=0 上任意一点, 则 PQ 的最小值为________. 5.执行下图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2, 则输出的 P 值是 .


开始





p ?1 S ?1

S≤A


p ? p ?1

S?S?

1 p

A





结束

P 6.将一骰子连续向上抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为
(结果用最简分数表示) 7.已知函数 f ( x) ? x ?

.

a ( x ? 2) 的图像过点 A(3,7) ,则此函数的最小值是 _ x?2
1 1 b a
2



8.定义:关于 x 的两个不等式 f(x)<0 和 g(x)<0 的解集分别为(a,b)和 ( , ) ,则称这两 个不等式为对偶不等式.如果不等式 x -4 3 xcos2? +2<0 与不等式 2x -4xsin2? +1<
2

0 为对偶不等式,且? ∈(

?
2

,?),则?=



9.对于数列{ an },定义数列{ an?1 ? an }为数列{ an }的“差数列”,若 a1 ? 2 ,{ an }的“差 数列”的通项为 2 ,则数列{ an }的前 n 项和 S n =
n



π? ? 10.已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图象的对称轴完全相 6? ?
用心 爱心 专心 -1-

? π? 同.若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是________. 2? ?
x≥0 ? ? 11.若不等式组?x+3y≥4 ? ?3x+y≤4
则 k 的值是______ . 4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分, 3

12.设 y ? f ( x) 函数在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K ,定义函数:
? f ? x ? , f ( x) ≤ K 1 ? ,取函数 f ? x ? ? a? x ( a >1) ,当 K ? 时,函数 f K ? x ? 值域是 fK ? x? ? ? 1 a ? f ? x ? , f ( x) ? K ?

______



???? ? ??? ? ???? 2 ??? ?2 13.已知△ABC 所在平面上的动点 M 满足 2 AM ? BC ? AC ? AB ,则 M 点的轨迹过△ABC 的

心. 14.若不等式 a+

x2 ? 1 1 log x ≥ 2 2 在 x∈( ,2)上恒成立,则实数 a 的取值范围为 x 2



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,并统计了他们的物理成绩(成绩 均 为整数且满分为 100 分) ,把其中不低于 50 分的分成五段[50,60),[60,70),?,[90,100) 后画出如下部分 频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: .. (1)求出物理成绩低于 50 分的学生人数; (2)估计这次考试物理学科及格率(60 分及以上为及格) ; (3)从物理成绩不及格的学生中任选两人,求他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率.

频率 组距

0.03 0.025 0.015 0.005 50 60 70 80 90

分数
100

用心 爱心 专心

-2-

16.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (sin x,cos x ? sin x) , b ? (2cos x,cos x ? sin x) , x ? R ,设函数 f ( x) ? a ? b (1)求函数 f ( x) 的最大值及相应的自变量 x 的取值集合; (2)当 x0 ? (0, ) 且 f ( x0 ) ?

?

8

4 2 ? 时,求 f ( x0 ? ) 的值. 5 3

17.(本小题满分 14 分) 已知三条直线 l1:2x-y+a = 0 (a>0),直线 l2:-4x+2y+1 = 0 和直线 l3:x+y-1= 0 , 且 l1 与

l2 的距离是

7 5 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条件:①P 是第一象限的点;②P 点到

l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的

1 ;③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2 ∶ 5 .若 2

能,求 P 点坐标;若不能,说明理由.

18.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? 2 4 ? a x ? 1 (a ? 0 且 a ? 1) . (1)求函数 f ( x ) 的定义域、值域; (2)是否存在实数 a ,使得函数 f ( x) 满足:对于任意 x ? [?1, ??) ,都有 f ( x) ≤ 0 ?若 存 在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.

用心 爱心 专心

-3-

19.(本小题满分 16 分) 如图,某市市区有过市中心 O 南北走向的解放路,为了解决南徐新城的交通问题,市政府 决定修建两条公路:延伸从市中心 O 出发北偏西 60°方向的健康路至 B 点;在市中心正南方 向解放路上选取 A 点,在 A、B 间修建南徐新路. 3 (1)如果在 A 点处看市中心 O 和 B 点视角的正弦值为 ,求 5 在 B 点处看市中心 O 和 A 点视 角的余弦值; 15 (2) 如果△AOB 区域作为保护区,已知保护区的面积为 4 3 km ,A 点距市中心的距离 为 3 km,求南徐新路的长度; (3) 如果设计要求市中心 O 到南徐新路 AB 段的距离为 4 km,且南徐新路 AB 最短,请你 确定 A、B 两点的位置.
2

20.(本小题满分 16 分)
? ? ?an ?1 ? r , n ? 2k , k ? N , 定义数列 ?an ? : a1 ? 1 ,当 n ≥ 2 时, an ? ? ? ? ?2an ?1 , n ? 2k ? 1, k ? N .

其中, r ≥ 0

为 常数. (1)当 r ? 0 时, Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an . ①求: Sn ; ②求证:数列 ?S2 n ? 中任意三项均不能够成等差数列; (2)求证:对一切 n ? N 及 r ≥ 0 ,不等式
?

2k ? 4 恒成立. ? k ?1 a2 k ?1a2 k
n

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-4-

高一数学暑假自主学习单元检测十二参考答案 一、填空题: 1.答案: 3 m 3 n 解析: tan 600? ? tan 60? ? ? 3 ,∴ = . 3 n 3 m

2.答案: (1, 2) 解析:令 f ( x) ? e x ? x ? 2 ,∴ f (1) ? f (2) ? 0 . 3.答案: {2,8} 解析:由图即求 ( A ? C ) ? ?U B .

4.答案:3 解析:直线 6x+8y+6=0 可变形为 3x+4y+3=0,则 PQ 的最小值即两平行线 3x+4y-12=0 与 3x+4y+3=0 间的距离 d,又 d= 解析: S ? 1 ? |-12-3| =3,所以 PQ 的最小值为 3. 2 2 3 +4

5.答案:4 6.答案:

1 1 1 ? ? ? 2 ,此时 P= 4. 2 3 4

1 解析 古典概型,穷举法,分公差为 0,±1,±2 五种情形,成等差数列时共 12

18 种. 7.答案: 6 解析: a ? 4 ,∴ f ( x) ? x ?

4 4 ? x?2? ? 2≥ 4 ? 2 ? 6 . x?2 x?2

?a ? b ? 4 3 cos 2? ? 2? ?1 1 a t 2 8. 答案: 解析: 由韦达定理 ? ? ? 2sin 2? , ∴n 3 ?b a ?ab ? 2 ?

?3?

, 又? ∈(

?

4 , ?), ∴ 2? ? ? 3 2

2 ∴? ? ? . 3
9.答案: 2
n ?1

? 2 解析: an?1 ? an ? 2n ,由叠加法可得 an ? 2n ,∴ S n = 2 n?1 ? 2 .
解析:两图象的对称轴完全相同,则两函数的周期相同,∴ ? ? 2 ,∵

? 3 ? 10.答案:?- ,3? ? 2 ? ? ?
π?

x∈?0, ?,∴f(x)=3sin?2x- ? ? ?- ,3? . 2 6 2

?

? ?

π? ? 3

? ?

? ?

11.答案:

7 3

解析:由题目所给的不等式组可知,其表示的平面区域如图所示,

4 1 5 这里直线 y=kx+ 只需要经过线段 AB 的中点 D 即可,此时 D 点的坐标为( , ), 3 2 2

用心 爱心 专心

-5-

7 代入即可解得 k 的值为 . 3

1 ? 1? 12.答案: ? 0, ? ? ?1, a ? 解析: a >1 时, f ? x ? ? a ? x ? (0,1] ,当 K ? 时,若 f ( x) ≤ K ,则 a ? a? 1 1 ? [1, a ) . f K ? x ? ? f ?x ? ? (0, ] ;若 f ( x) > K ,则 f K ? x ? ? f a ? x? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? 2 ??? ?2 13.答案:外 解析: 2 AM ? BC ? AC ? AB ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) ? BC ,


???? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ( AC ? AB) ? BC ? 2 AM ? BC ? 0





??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ( AC ? AM ? AB ? AM ) ? BC ? 0





???? ? ???? ???? ? ???? (MC ? MB) ? (MC ? MB) ? 0 ,

???? ? ???? ∴ MC ? MB ,∴M 在 BC 的垂直平分线上,∴M 点的轨迹过△ABC 的外心.
14.答案:a≥1 解析:不等式即为 a≥ ?

x2 ? 1 1 log x + 2 2 ,在 x∈( ,2)上恒成立.而函数 x 2

1 ? x, ? x ? 1 , ? x ?1 1 ? log x 2 f ( x) = ? +2 2 =? ,则 f ( x) 在( ,2)上的最大值为 1,所以 a≥1. 1 x 2 ? ,1 ≤ x ? 2 ? ?x
2

二、解答题: 15.解: (1)因为各组的频率和等于 1,故低于 50 分的频率为:

f1 = 1 - (0.015?2+0.03+0.025+0.005)?10 =0.1 ,∴低于 50 分的人数为 60?0.1 = 6
(人) . (2)依题意,成绩 60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于 50 分的为第一组) , 频率和为 (0.015+0.03+0.025+0.005)?10=0.75.即抽样学生成绩的合格率是 75%. 答:估计这次考试物理学科及格率约为 75﹪. (3)“成绩低于 50 分”及“[50,60)”的人数分别是 6,9.所以从成绩不及格的学生中 选两人,他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率为 P=1- 答:至少有一个不低于 50 分的概率为

6 6?5 = . 15 ?14 7

6 . 7

16.解: (1)? a ? (sin x,cos x ? sin x) , b ? (2cos x,cos x ? sin x) , ∴ f ( x) ? a ? b = (sin x,cos x ? sin x) ? (2cos x,cos x ? sin x) ? 2 sin x cos x ? cos x ? sin x
2 2

? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

?
4

)

用心 爱心 专心

-6-

相应的自变量 x 的取值集合为{x| x ? ∴函数 f ( x) 取得最大值为 2 , (2)由 f ( x0 ) ?

π ? kπ( k ? Z) }. 8

? 4 2 4 2 ? 4 得 2 sin(2 x0 ? ) ? ,即 sin(2 x0 ? ) ? 4 5 5 4 5 ? 3 ? ? ? ? 因为 x0 ? (0, ) ,所以 2 x0 ? ? ( , ) ,从而 cos(2 x0 ? ) ? ,于是 4 5 8 4 4 2 ? 2? ? ? 2? f ( x0 ? ) ? 2 sin(2 x0 ? ? ) ? 2 sin[(2 x0 ? ) ? ] 3 3 4 4 3 ? 2? ? 2? 4 1 3 3 3 6 ?4 2 ? 2[sin(2 x0 ? )cos ? cos(2 x0 ? )sin ] ? 2[ ? ( ? ) ? ? ]? . 4 3 4 3 5 2 5 2 10
17.解: (1)l2 即 2x-y-

1 = 0, 2

1 1 | a ? (? ) | 7 5 |a? | 7 5 2 2 = ∴l1 与 l2 的距离 d = = , ? 2 2 10 10 5 2 ? ( ?1)
∴| a ?

1 7 | = ,由 a>0 解得 a = 3. 2 2

(2)设点 P(x0,y0),若 P 点满足条件②,则 P 点在与 l1、l2 平行的直线 l ? :2x-y+c = 0 上.

| c ?3| 1 |c? 2 | 13 13 11 11 且 = ? ,解得 c = 或 c = ,∴2x0-y0+ = 0 或 2x0-y0+ = 0; 2 2 2 6 6 5 5
若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式,有

1

| 2 x0 ? y 0 ? 3 | 5

=

2 5

?

| x0 ? y 0 ? 1 | 2

,即| 2 x0 ? y0 ? 3 | = | x0 ? y0 ? 1 |,

∴x0-2y0+4= 0 或 3x0+2 = 0; 由 P 在第一象限,显然 3x0+2 = 0 不可能,
0 13 ? 联立方程 2x0-y0+ = 0 和 x0-2y0+4= 0,解得 ? 1 (舍去), 2 ? y0 ?

? x ? ?3 ? 2

1 ? x0 ? ? 11 ? 9 联立方程 2x0-y0+ = 0 和 x0-2y0+4= 0,解得 ? , 6 ? y ? 37 0 ? 18 ?
∴点 P(

1 37 , )即为能同时满足三个条件的点. 9 18
x x

18.解: (1)由 4-a ≥0,得 a ≤4.当 a>1 时,x≤loga4;当 0<a<1 时,x≥loga4. 即当 a>1 时,f(x)的定义域为(-∞,loga4];当 0<a<1 时,f(x)的定义域为[loga4,

用心 爱心 专心

-7-

+∞) . 令 t= 4-a ,则 0≤t<2,且 a =4-t ,∴ f(x)=g(t)=4-t -2t-1=-(t+1) +4, 当 t≥0 时, g(x)是 t 的单调减函数, ∴g(2)<g(t)≤g(0), 即-5<f(x)≤3, ∴ 函数 f(x) 的值域是 (?5,3] . (2)若存在实数 a,使得对于任意 x ? [?1, ??) ,都有 f(x) ≤0,则区间 [?1, ??) 是定义 域的子集.
x x
2 2 2

1 由(1)知,a>1 不满足条件;所以 0<a<1,且 loga4≤-1, 即 ≤ a ? 1 . 4
令 t= 4-a ,由(1)知,f(x)=4-t -2t-1=-(t+1) +4,
x 由 f ( x) ≤ 0 ,解得 t ≤ ?3 (舍)或 t ≥ 1 ,即有 4-a ≥ 1 解得 a x ≤ 3 , x
2 2

由题意知对任意 x ? [?1, ??) , 有 a x ≤ 3 恒成立, 因为 0<a<1, 所以对任意 x ? [?1, ??) ,

1 1 1 都有 a x ≤ a ?1 .所以有 a ?1 ≤ 3 ,解得 a ≥ ,即 ≤ a ? 1 .∴存在 a ? [ ,1) ,对任意 3 3 3

x ? [ ?1, ??),都有 f(x) ≤0.
2 3 4 19.解: (1) 由题可得∠AOB= π ,∠BAO 为锐角,sin∠BAO= ? cos∠BAO= , 3 5 5 π 1 4 3 3 4+3 3 cos∠OBA=cos( -∠BAO)= ? + ? = . 3 2 5 2 5 10 1 1 2 15 (2) OA=3,S= OB?OAsin∠AOB= OB?3?sin π = 3, 解得 OB=5. 2 2 3 4 2 2 2 2 由余弦定理可得 AB =OA +OB -2OA?OBcos π =9+25+15=49, ∴ AB=7(km). 3 1 1 8 3 (3) ∵ AB?4= OA?OB?sin∠AOB,∴ OA?OB= AB, 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ∴AB =OA +OB -2OA?OBcos π =OA +OB +OA?OB ≥2OA?OB+OA?OB=3OA?OB= 3 8 3 3? AB, 3 ∴ AB ≥8 3AB,∴ AB≥8 3(等号成立 OA=OB=8). 20.解: (1)当 r ? 0 时,计算得数列的前 8 项为:1,1,2,2,4,4,8,8. 从而猜出数列 ?a2k ?1? 、 ?a2k ? (k ? N )
?
2

均为等比数列.

∵ a2k ? a2k ?1 ? 2a2k ?2 , a2k ?1 ? 2a2k ? 2a2k ?1 ,
用心 爱心 专心 -8-

∴数列 ?a2k ?1? 、 ?a2k ? (k ? N ? ) 均为等比数列,∴ a2k ?1 ? a2k ? 2k ?1 . ①∴ S2k ? 2(a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2k ?1 ) ? 2(2k ? 1) ? 2
k ?1

?2,

S2k ?1 ? S2k ?2 ? a2k ?1 ? 2k ? 2 ? 2k ?1 ? 3? 2k ?1 ? 2 ,
?1 ? n n ? 2k , ?2 2 ? 2, k ? N ?. ∴ Sn ? ? n ?1 ?3 ? 2 2 ? 2, n ? 2k ? 1, ?

②证明(反证法) :假设存在三项 Sm , Sn , S p (m, n, p ? N ? , m ? n ? p) 是等差数列,即

2Sn ? Sm ? S p

成立.因 m, n, p 均为偶数,设 m ? 2m1 , n ? 2n1 , p ? 2 p1 ,

( m1 , n1 , p1 ? N ? ) , ∴ 2 ? 2(2 1 ?1) ? 2(2 1 ?1) ? 2(2 1 ?1), 即 2 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ,
n m p n m p

∴2 1

n ? m1 ?1

? 1 ? 2 p1 ?m1 ,而此等式左边为偶数,右边为奇数,这就矛盾.

(2)∵ a2k ? a2k ?1 ? r ? 2a2k ?2 ? r ,∴ a2k ? r ? 2(a2k ?2 ? r ) ,∴ ?a2k ? r? 是首项为

1 ? 2r ,公比为 2 的等比数列,∴ a2k ? r ? (1 ? 2r ) ? 2k ?1 .
又∵ a2k ?1 ? 2a2k ? 2(a2k ?1 ? r ) ,∴ a2k ?1 ? 2r ? 2(a2k ?1 ? 2r ) ,∴ ?a2k ?1 ? 2r? 是首项为

1 ? 2r ,公比为 2 的等比数列,∴ a2k ?1 ? 2r ? (1 ? 2r ) ? 2k ?1 .


2k 2k ? ? k ?1 k ?1 a2 k ?1a2 k ? ? ? ? (1 ? 2 r ) ? 2 ? 2 r ? (1 ? 2 r ) ? 2 ? r ? ? ? ?

2k ?1 ? k ?2 k ?1 ? ?(1 ? 2r ) ? 2 ? r ? ??? ?(1 ? 2r ) ? 2 ? r ? ?

? 2 ? 1 1 , ?? ? k ?2 k ?1 1 ? 2r ? (1 ? 2r ) ? 2 ? r (1 ? 2r ) ? 2 ? r ? ?


? 2k 2 n ? 1 1 ? ? ? ? ? ? k ?2 k ?1 1 ? 2r k ?1 ? (1 ? 2r ) ? 2 ? r (1 ? 2r ) ? 2 ? r ? k ?1 a2 k ?1a2 k ?
n

? 2 2 4 2 ? 1 1 ? ? . ? ? ? ? ?1 n ?1 1 ? 2r ? (1 ? 2r ) ? 2 ? r (1 ? 2r ) ? 2 ? r ? 1 ? 2r 1 ? 2r ? 2r 1 ? 2r

用心 爱心 专心

-9-

∵ r ≥ 0 ,∴

2 4 ?4. ≤ 4 .∴ 1 ? 2r k ?1 a2 k ?1a2 k

?

n

k

用心 爱心 专心

- 10 -


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