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“等体积代换法”


问题—“等体积代换法” 。 (一)多面体的体积(表面积)问题
1. 【上海·理】 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; 【解】 (1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥ 平面 ABCD,得 ∠ PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,∠ PBO=60° . 在 Rt△ AOB 中 BO=ABsin30° =1,由 PO⊥ BO, 于是,PO=BOtg60° = 3, 而底面菱形的面积为 2 3 .
? ?

∴ 四棱锥 P-ABCD 的体积 V=

1 × 2 3 × 3 =2. 3

2. 【 上 海 · 文 】 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 ,

ABC 所成角为 45? ,求三棱锥 A1 ? ABC 的体积。 .(2)若 AC ?ABC ?9 0? , AB? BC? 1 1 与平面
【解】 (2)∵ AA1⊥ 平面 ABC, ∠ ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的角,∠ ACA1=45° . ∵ ∠ ABC=90° ,AB=BC=1,AC= 2 ∴ AA1= 2 。

∴ 三棱锥 A1-ABC 的体积 V=

1 2 S△ABC× AA1= 。 3 6

(二)点到平面的距离问题—“等体积代换法” 。
1. 【福建·理】 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、 BC 的中点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2. (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。 【解】 (III) 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .
A

D O B E C

?VE ? ACD ? VA?CDE ,

1 1 ∴ h?S ?ACD ? ?AO ?S ?CDE . 3 3

在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,

1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 2
而 AO ? 1, S?CDE ?

1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2

3 1? AO . S ?C D E ?h ? ? 2 S ?A C D 7 2

?

21 21 . ? 点 E 到平面 ACD 的距离为 . 7 7

1

2. 【湖北·文】 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱 长和底面边长为 1,M 是底面 BC 边上的中点, N 是侧棱 CC1 上 的点,且 CN=2C1 N 。 (Ⅱ)求点 B1 到平面 AMN 的距离。 【解】 (Ⅱ)过 B1 在面 BCC1B1 内作直线

B1H ? MN , H 为垂足。又 AM ? 平面 BCC1B1 ,所以 AM ? B1H 。
于是 B1 H ? 平 面 AMN , 故 B1H 即为 B1 到 平 面 AMN 的距离。 在

R1?B1HM 中, B1H = B1M sin B1MH ?

5 1 ? 1 ? ? 1 。故点 B1 到 2 5

平面 AMN 的距离为 1。 3. 【湖南·理】 如图 4, 已知两个正四棱锥
P

P ? ABCD与Q ? ABCD的高分别为 1 和 2, AB ? 4 。
(III)求点 P 到平面 QAD 的距离。 【解】 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,AD⊥平面 PQM,所以平面 QAD⊥平面 PQM 。 过点 P 作 PH⊥QM 于 H,则 PH⊥QAD,所以 PH 的长为点 P 到平面 QAD 的距离。 连结 OM。因为 OM=
A

D C B

Q 图4

1 AB=2=OQ,所以∠MQP=45°。 2

又 PQ=PO+QO=3,于是 PH=PQsin45°=

3 2 。 2

即点 P 到平面 QAD 的距离是

3 2 。 2

4. 【江西·文】 如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧 棱 OA、OB、OC 两两垂直,且 OA=1,OB=OC=2,E 是 OC 的中点。 (1)求 O 点到面 ABC 的距离;

2

【解】 (1)取 BC 的中点 D,连 AD、OD。 ? O B? O C ,则 OD ? BC、AD ? BC, ∴BC⊥面 OAD。过 O 点作 OH⊥AD 于 H, 则 OH⊥面 ABC,OH 的长就是所要求的距离。

BC ? 2 2 , OD ? OC2 ? CD2 ? 2 。
? OA ? OB,OA ? OC,
∴ OA ? 面 OBC,则 OA ? OD 。

AD ? OA2 ? OD2 ? 3 ,在直角三角形 OAD 中,有 OH ?

OA ? OD 2 6 ? ? 。 AD 3 3

(另解:由 VO ??ABC ?

1 1 2 6 S ?ABC ? OH ? OA ? OB ? OC ? 知: OH ? ) 3 6 3 3

5. 【山东·理】 如图,已知平面 A1 B1C1 平行于三棱锥 V ? ABC 的底面 ABC,等边△ AB1C 所在的平 面与底面 ABC 垂直,且∠ ACB=90° ,设 AC ? 2a, BC ? a (Ⅱ)求点 A 到平面 VBC 的距离; 【解】 (Ⅱ)解法 1:过 A 作 AD ? B1C 于 D, V ∵△ AB1C 为正三角形, ∵BC⊥平面 AB1C 又 B1C ? BC ? C , ∴D 为 B1C 的中点. ∴ BC ? AD , ∴AD⊥平面 VBC , A B A1 B1 C C1

∴线段 AD 的长即为点 A 到平面 VBC 的距离. 在正△ AB1C 中, AD ?

3 3 ? AC ? ? 2a ? 3a . 2 2

∴点 A 到平面 VBC 的距离为 3a . 解法 2: 取 AC 中点 O 连结 B1O , 则 B1O ⊥平面 ABC , 且 B1O = 3a . 由 ( Ⅰ ) 知 BC ? B1C , 设 A 到 平 面 VBC 的 距 离 为 x ,

?VB1 ? ABC ? VA?BB1C ,
即 ?

1 1 1 1 BC ? AC ? B1O ? ? BC ? B1C ? x ,解得 x ? 3a . 3 2 3 2

即 A 到平面 VBC 的距离为 3a . 所以, A 到平面 VBC 的距离为 3a

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