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2.4.2等比数列性质及简单应用


复习:等比数列概念
一、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与

它的 前一项的比等于同一个常数(指与n无关的数) 这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列 的公比,公比通常用字母q表示。
an ? q (是与n无关的数或式子, 且q ? 0) an ?1

二、等比数列 ?an ? 的通项公式为

an ? a1 ? q ,它的图象又是怎样?
三、如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b

n ?1

成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。

G ? ? ab

由等差数列的性质,猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列 性质1: an=am+(n-m)d 猜想1:bm ? b n q m ? n

性质2:若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 , 则2an=an+k+ an-k
性质3: 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq

猜想2: bn-k,bn,bn+k 若 是{bn}中的三项 则 2

bn ? bn?k ? bn?k

猜想3:若n+m=p+q 则bn·m=bp· q b b

由等差数列的性质,猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列 性质1: an=am+(n-m)d 猜想1:bm ? b n q m ? n

性质2:若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 , 则2an=an+k+ an-k
性质3: 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq

猜想2: bn-k,bn,bn+k 若 是{bn}中的三项 则 2

bn ? bn?k ? bn?k

猜想3:若n+m=p+q 则bn·m=bp· q b b

由等差数列的性质,猜想等比数列的性质
性质3: 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq 猜想3:若n+m=p+q 则bn·m=bp· q, b b

性质4:从原数列中取 猜想4:从原数列中 出偶数项组成的新数列 取出偶数项,组成的 公差为2d. 新数列公比为 q 2 . (可推广) (可推广) 性质5: 若{cn}是公差为 d′的等差数列,则数 列{an+cn}是公差为 d+d′的等差数列。 猜想5:若{dn}是公比 为q′的等比数列,则数 列{bn?dn}是公比为 q· q′的等比数列.

(6)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为q的 等比数列.

1 1 (7)数列 { } 是公比为 的等比数列. an q

例题:1、在等比数列

?a n,已知 a ?

1

? 5,a9 a10 ? 100 ,求

a18 。

解:∵ ∴

a1a18 ? a9 a10

a9 a10 a18 ? a1
100 ? 5 ? 20

2、在等比数列 ?bn ? 中,b4 ? 3,求该数列前七项之积。 解: b1b2b3b4b5b6b7 ? ?b1b7 ??b2b6 ??b3b5 ?b4 ?

b4 ? b1b7 ? b2 b6 ? b3b5
2

∴前七项之积 3

? ?

2 3

? 3 ? 37 ? 2187

3、在等比数列 ?a n ? 中,a2
3

? ?2, a5 ? 54 ,求 a 8

a5 54 解:a8 ? a5 q ? a5 ? ? 54 ? ? ?1458 a2 ?2
另解:∵

a 5 是 a 2 与 a 8 的等比中项,
2

? 54 ? a8 ? (?2)
?a8 ? ?1458

例4:

(1).在等比数列?an ? 中,an ? 0,若a5 a7 ? 2a6 a8 ? a7 a9 ? 49

则a6 ? a8 ?

7
2

(2).在正项等比数列中, a1, a99是方程x ? 10 x ? 16 ? 0

?的两个根,则 a40a50a60 ?

64

练习:
? 1.在等比数列{an}中,且an>0, ?

a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 . 2.在等比数列{an}中, a15 =10, a45=90,则 270 或-270 a60 =__________.

? 3.在等比数列{an}中,a1+a2 =30, a3+a4 =120, 480 则a5+a6=_____ .

解题技巧的类比应用:
三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,求这三个数。

? 分析:若三个数成等差数列,则设这三个数 为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得, 若三个数成等比数列,则设这三个数 为:, a a,a ? q

q.

再由方程组可得:q=2

1 或 既这三个数为2,4,8或8,4,2。 2

补充:三数成等比数列,若将第三个数减去 32,则成等差数列,若再将这等差数列的第二个数 减去4,则又成等比数列,求原来三个数。

解:设原来的三个数是:a, aq, aq ① 2aq ? a ? (aq 2 ? 32) 则必有 ② (aq ? 4) 2 ? a(aq2 ? 32)
由①得:
q?

2

代入②得: a ? 2 , q ? 5 或
5 a? 9

4a ? 2 a

38 ,q ? 5

5 38 1444 , , 故原来的三个数是:2,10,50. 或 9 45 9

S 练习:已知数列 ?a n ?中, n 是它的前 n 项和,并且
a1 ? 1, S n ?1 ? 4an ? 2.

1 2

设 bn ? an?1 ? 2an ,求证数列 ?bn ? 是等比数列; 设 cn ?
an , n 2

求证数列 ?cn ? 是等差数列。 ∴ a1 ? a 2 ? S 2 ? 4 a1 ? 1 ? a 2 ? 5 ,
,两式相减得:
n

证:1? ∵ ∵S 即: a

a1 ? 1

b1 ? a 2 ? 2a1 ? 3

n ?1

? 4a n ? 2 , S n? 2 ? 4an?1 ? 2

a n ? 2 ? 4a n ?1 ? a n

n?2

? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2a n )

∵b

? a n ?1 ? 2a n

∴ bn?1 ? 2bn

即 ?bn ? 是公比为2的等比数列 2? ∵
an cn ? n 2

bn ? 3 ? 2 n ?1


n ?1

cn?1 ? cn ?

a n ?1 a n a n ?1 ? 2a n b ? n ? ? nn 1 2 n?1 2 2 n ?1 2 ?

将bn ? 3 ? 2

代入得:cn?1 ? cn ?

3 4

∴ ?cn ? 成等差数列


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