当前位置:首页 >> 理学 >>

数学建模与数学试验作业


1、 (骨牌覆盖问题)用 n 个 2×1 的矩形(骨牌)去覆盖一个 2×n 的矩形,设共有 Gn 种覆盖方法,求 Gn 的通式。
解: 设覆盖 2×n 矩形时,Sn 为最左侧骨牌为“ ”的覆盖方法数目;

Tn 为最左侧骨牌为“ ”的覆盖方法数目; 显然有,Gn= Sn+ Tn. 初步分析,有 n=1 时, n=2 时, n=3 时, n=4 时, …… 因此,有下表: n Gn Sn Tn 1 1 2 2 1 1 3 3 1 2 4 5 2 3 或 或 或 或 或 或 或

而对于 2×n 矩形,我们可认为是在 2×(n-1)的矩形最左侧加上一个 2×1 的矩形而获得的。显然,对于从 2×(n-1)到 2×n,有两种情况: 对于最左侧骨牌为“ 侧骨牌为“ ” ,则只可用“ ”或“ ”一种方式来覆盖;对于最左 ”这两种方式来覆盖。亦即从

”的情况,则可用“

2×(n-1)到 2×n 将有, Sn= Tn-1 Tn= Sn-1+ Tn-1= Gn-1 所以,Gn= Sn+ Tn= Tn-1+ Gn-1= Gn?2+ Gn-1 (n>3) 设{Fn}为 Fibonacci 数列,则 Gn= Fn-1 (n>1),故 Gn 的通式可表示为,

1 ? 1 + 5 n ?1 1 ? 5 n ?1 ? ) ?( ) ? Gn = Fn ?1 = ?( 2 2 5? ?

n >1

2、 (传送带问题)在传送带问题中,把钩子改为每 3 个一组,其他条 件不变,再计算此时传送带的效率 D3。
解: 若钩子改为每 3 个一组,且仍为均匀排列,但对于一组钩子,至多可挂上 3 件产品。 对于任一组指定的钩子而言, 它被任一指定的工人挂上产品的概率是 m 。 相反地,没有被指定的工人挂上产品的概率 (1- m ) 。又由工人生产的独立性,
1

1

我们把 n 个工人的情况(挂与不挂产品到此对钩子上)视为 n 重贝努利试验, 故一 组钩子经过 n 个工作台的上方后, 没有被挂上产品的概率是 p0= (1 ?

1 n ) m
1

p1 Cn g g = (1 ? 恰好有一个工人把产品挂上去的概率是 p2 Cn g ( = 恰好有两个工人把产品挂上去的概率是
2

1 m

1 n ?1 ) m

1 2 1 ) g (1 ? ) n ? 2 m m

至少有三个工人把产品挂上去的概率是

p3 = 1 ? p0 ? p1 ? p2

所以,() = s m 0 p0 + 1p1 + 2p2 + 3 p3 = m(3 ? 3 p0 ? 2 p1 ? p2 )

= m [ p1 + 2p2 + 3(1 ? 1 ? p0 ? p1 ? p2 ) ]

1 1 (n ? 1) 1 2 1 s m? n ng ? (1 ? ) n ? 2g (1 ? ) n ?1 ? ( ) g (1 ? ) n ? 2 ? D3 = = ?3 ? 3g g 2 n n? m m m m m ?
当 m>>n 时,利用

(1 ?

1 n n n( n ? 1) n( n ? 1)( n ? 2) + ? + ) ≈ 1? 2 m m 2! m 3 !m 3 n( n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) 4 !m 4

(1 ?

1 n ?1 n ? 1 ( n ? 1)( n ? 2) ( n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) ) ≈ 1? + ? 2 m m 2! m 3 !m3 1 n?2 n?2 ( n ? 2)( n ? 3) (1 ? ) ≈ 1? + m m 2! m 2

代入即可得到,D3 ≈

m ? n n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? g ? ? n ? 4!m 4 ?m ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) = 1? 24m3

3、 (合建水电厂问题) 有两个村庄, 分别位于 XOY 平面上的点 A(?2, 5)与点 B(2,7)处(单位 km),它们要在河边(直线 y=x)合建一个水电厂, 请你设计水电厂的位置以及铺设电缆的方法,使电缆总长度最短. 并 问 8km 电缆是否够长.
解:分别采用“V”型法和“Y”型法进行探讨。 (1) 对于“V”型法,如图 3.1 所示,管道沿 A-W-B 路线进行铺设,不难求得 B 关于直线 y=x 的对称点 B‘的坐标(7,2) 。 显然,此时管道的总长为,
AB = AB′ = (?2 ? 7) 2 + (5 ? 2) 2 = 3 10 ≈ 9.487 Km

因 AB>8Km,即电缆线不够长。 (2) 对于“Y”型法,考虑费尔玛点,如图 3.2 所示。 设水电厂的位于直线 y=x 上点 M 处,以 AB 为一边向左上方作等边三角 形 ABC,并连接 CM,则费尔玛点必位于 CM 上。 设点 C 的坐标为(xc, yc) ,则有
3 1 ? ? xc =2 (?2 + 2) + 2 (5 ? 7) =? 3 ,即 C (? 3, 6 + 2 3) ? 3 1 ? ? yc = 2 (5 + 7) + 2 (?2 + 2 =) 6 + 2 3

当直线 CM 与直线 y=x 相垂直时,费尔玛距离 CM 最小。利用点斜式可 写出直线 CM 的方程 y = ?x + 6 + 3 。

? ?x + 6 + 3 ?y = 联立方程 ? 可解得点 M 的坐标为 (3 + y = x ? ?
可得铺设管道的总长(费尔玛距离)为,

3 2

,3 +

3 2

)。

CM =

? ? 3 ? (3 + ?

3 2

? )? ? + ?(6 + 2 3) ? (3 +

2

3 2

)? ?

2

=3 2+3 6 2 ≈ 7.917 Km
因为 CM < 8 Km ,所以电缆线足够长。 为求出管道的交叉点(费尔玛点) ,可同样地以 BM 为一边向右方作等边 三角形 BDM,则 AD 与 CM 的交点即为费尔玛点。 与点 C 坐标的求法相同,以 B(2, 7)和M (3 +
3 2

,3 +

3 2

) 求得点 D 的坐标为
2 3 ( x + 2) + 5 。 9+ 3

D( 5 2 +

3 2

,5 + 3) ,进而利用两点式求得直线 AD 的方程为 = y

? 2 3 ( x + 2) + 5 = ?y ,可求得费尔玛点 W 的坐标为 联立方程 ? 9+ 3 ? ?x + 6 + 3 ?y =
5 W (2 ? 2 3 3, 3 3 + 4) 。

综上, 在点 M (3 +

3 2

,3 +

3 2

) 处修建水电厂,并以点 W (2 ? 2 3

3, 5 3 3 + 4)

作为交叉点,按 AW-BW-WM 的“Y”型路线铺设,可使管道总长最短,且总长 为 7.917Km,故 8Km 的电缆线够长。

图 3.1 “V”型法

图 3.2 “Y”型法

4、 (效益的分配)某作坊主甲不善经营,他经营该作坊估计每年只能 获利 10 万元; 若把该作坊让乙来经营估计每年能获利 50 万元; 若把 该作坊让丙来经营估计每年能获利 60 万元;若把该作坊让乙和丙一 起来经营,估计每年能获利 100 万元.若采用获利最大的方案,试用 Shapley 公式来分配各人所得.
解: 因作坊归甲所有, 所以题中提到的获利应该都包括他的收益在内。而乙和丙 单干时,由于无作坊,将其获利视为零,即为零局中人。根据题意,有(单位: 万元)

u1=V(甲)=10,u2=V(乙)=u3=V(丙)=0,u12=V(甲乙)=50,u13=V(甲丙)=60, u23=V(乙丙)= 0,u123=V(甲乙丙)=100。由 Shapley 公式可得,
? = ??甲 (V ) ? ? ) ??乙 (V = ? ? ) ??丙 (V = ? ? ) = ??甲 (V ? ? ??乙 (V ) = ? ? ??丙 (V ) = ? 1 1 (u1 + u123 ? u23 ) + (u12 + u13 ? u2 ? u3 ) 3 6 1 1 (u2 + u123 ? u13 ) + (u12 + u23 ? u1 ? u3 ) 3 6 1 1 (u3 + u123 ? u12 ) + (u13 + u23 ? u1 ? u2 ) 3 6 1 1 (10 + 100 ? 0) + (50 + 60 ? 0 ? 0) = 55 3 6 1 1 (0 + 100 ? 60) + (50 + 0 ? 10 ? 0) = 20 3 6 1 1 (0 + 100 ? 50) + (60 + 0 ? 10 ? 0) = 25 3 6


将上述数据代入,即可得: (单位:万元)

由此可得,甲、乙、丙三人合作经营时各人所得应作如下分配: = ?甲丙 55 = 万元万元万元 ?乙 20 = ? 25

5、 (机器任务)某车间共有 29 台同类机器,这种机器每台每天可加 工 6 个零件 A 或 2 个零件 B 或 4 个零件 C. 两个零件 A 和 3 个零件 B 及 5 个零件 C 配成一套. 假设每台机器每天只安排加工 1 种零件, 问如何安排这些机器每天的任务, 使该车间每天加工的成套零件最多.

建立数学模型并求解.
解: 根据题意,不妨设每天有 x1 台机器加工 A 零件,x2 台机器加工 B 零件 x3 台 机器加工 C 零件,且每天可生产出 x4 套产品,则可建立如下生产配套模型:

max

f = x4

? x1 + x2 + x3 ? 29 ≥ 0 ? ?6 x1 ? 2 x4 ≥ 0 ? s.t. ?2 x2 ? 3 x4 ≥ 0 ?4 x ? 5 x ≥ 0 4 ? 3 ? ? x j ≥ 0,整数,j=1,2,3,

? x1 = 3 ? x = 14 ? 2 借助 Excel 的线性规划求解功能,可得, ? x = 12 。 ? 3 ? ? x4 = 9
即每天安排 3 台机器加工 A 零件,14 台机器加工 B 零件,12 台机器加工 C 零件,可使该车间每天加工的成套零件最多,且最多为 9 套。


赞助商链接
相关文章:
数学建模作业——实验4
数学建模作业——实验4_理学_高等教育_教育专区。任课老师:薛毅教授 数学建模作业——实验 4 学院:软件学院 姓名: 学号: 班级: 邮箱: 电话: 日期:2016 年 6...
数学建模实验
实验报告 课程名称: 院系: 数学建模 数学科学系 专业班级: 学号: 学生姓名: 指导教师: 开课时间: 2014 至 2015 学年第 一 学期 一、学生撰写要求按照实验...
数学建模实验答案_概率模型
数学建模实验答案_概率模型_数学_自然科学_专业资料。实验 10 概率模型(2 学时)(第 9 章 概率模型) 1.(验证)报童的诀窍 p302~304, 323(习题 2)关于每天...
数学建模作业——实验5
数学建模作业——实验 5 学院:软件学院 姓名: 学号: 班级: 邮箱: 电话: 日期:2016 年 6 月 25 日 基本实验 答: (1)收缩压 X~N(160,202)的正态分布,...
重庆大学 数学模型 数学实验作业七
重庆大学 数学模型 数学实验作业七_理学_高等教育_教育专区。开课学院、实验室:...数学实验与数学建模作业... 4页 2下载券 数学建模与数学实验选讲... 3页...
2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8
2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8_理学_高等教育_教育专区。数模作业习题8 曲线拟合 插值 梯形积分 数学建模应用实例 2014 年下学期数学实验与数学建模作业...
数学建模作业实验4整数规划和对策论模型
数学建模作业 (实验 4 整数规划和对策论模型) 基本实验 1.遗嘱问题一个行为古怪的阿拉伯酋长留下了一份遗嘱,遗嘱中将他的骆驼群分给他的三个儿子: 长子至少得到...
数学建模实验报告
数学建模实验报告 - 电梯问题 数学建模实验报告 黄祎 2131502037 陆沁 2131502002 任凡 有 r 个人在一楼进入电梯,楼上有 n 层,设每个乘客在任何一层楼出电梯...
数学模型试验
数学模型试验 - 重庆交通大学学生实验报告 实验课程名称 开课实验室 学院 *** 院倪** 2011 数学建模 B 数学实验室 10 级 水利 专业班 1 班学...
重庆大学 数学模型 数学实验作业二
展现求解实际问题的初步建模过程; 通过该实验的学习,复习归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法(简单迭代法、二分法、牛 顿法、割线法等) ,初步了解数学建模...
更多相关标签: