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高一数学竞赛讲座(四)反三角函数与三角方程


高一数学竞赛讲座(四)

高一数学竞赛讲座(四)——反三角函数、三角方程与三角不等式(2015.4.29) 例 1.求下列函数的定义域与值域:
2 (1) y ? arcsin x ? x ? 1 ;

例 5.解方程: (1) sin 2 x ? 3sin x cos x ? 1 ? 0 ; (2) tan ? x ?

?

?

(2) y ? arcsin

1? x . 2x

? ?

??

?? ? ? ? tan ? x ? ? ? 2cot x ; 4? 4? ?

例 2.求下列各式的值: (1) arccos ? ?

4 3 ? 11 ? ; ? ? arcsin 7 ? 14 ?
1 1? ? arctan ? ; 2 3?
1? x . 1? x

(3) sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x ? 2 ? 0

(2) sin ? arctan

? ?

(3) arctan x ? arctan

例 3.已知二次函数 f ? x ? 的最高次项系数为正数,并且 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? , 求证: f ? arcsin

? ?

1? 2? ? ? ? f ? arcsin ? . 7? 7? ?

(4) sin 2 x ? sin 7 x ? 1 ;

(5) x y ?1 ? y x ?1 ? xy .

例 4.求函数 y ? 2 3x ? 2 ? 5 ? 6 x 的值域.

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例 7.解方程组:

? ?? ? ? tan x ? cot x ? 2sin ? y ? 4 ? ? ? ? ? ? tan y ? cot y ? 2sin ? x ? ? ? ? ? ? 4? ? ?

例 9.求出在 ? 0, ? ? 上且满足 2cos x ?

1 ? sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 2 .

例 8.已知: a ? 1 , b ? 1,且 arcsin

2a 2b ? arcsin ? 2 arctan x ,请用 a 与 b 表示 x . 2 1? a 1 ? b2

例 10.已知 x ? 0 , y ? 0 , x ? y ? ? , 求证: ?m ? ,都有 m ? m ?1? sin ? x ? y ? ? m ?sin x ? sin y ? ? sin y ? 0 .

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练习 1.

?

? ?? ?? ? ? ? ? ,则 arcsin ? cos ? ? ? ? ? ? arccos ? sin ?? ? ? ? ? ? _______________________; 2 ?2 ?? ?
上的函数,且满足 f

7.关于 x 的方程 sin x ? 3 cos x ? a ? 0 在 ? 0, 2? ? 内有两个相异的实数解 ? 、 ? ,求 a 的取值范围与

? ? ? 的值。
3 , 4

2. ( 2014 年 浙 江 省 预 赛 试 题 ) 设 f ? x ? 是 定 义 在

? x? ? c o s2

x?

f ? x ? ? sin 2 x ?

1 ,则函数 f ? x ? ? ___________________。 4 2 ? 2x ? ? ?? ? c 在 ? ? , ? 上是奇函数,那么 c ? 1? 4x ? 4 4?

3. ( 2014 年北约自主招生试题)已知 f ? x ? ? arctan ______________。 4.求 f ? x ? ? 2 arccos

x2 ? x 的定义域、值域与单调区间。 2

8.已知 ? 与 ? 是方程 a cos x ? b sin x ? c 的两个相异实根,且 ? ? ? ? k? , k ? 求证: (1) tan ?? ? ? ? ?

, ab ? 0 ;

2ab ; a ? b2
2

1 1 5.求证: arctan ? arctan ? 3 7

1 n ? arctan ? arctan 。 2 1? n ? n n?2

(2) cos

2

a?? c2 ? 2 。 2 a ? b2

2 6.若 x1 与 x2 是方程 x ? x sin ? ? cos ? ? 0 的两根,且 0 ? ? ? ? ,求 arctan x1 ? arctan x2 的值。

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9. (2012 年北约自主招生试题)求使方程 sin 4 x sin 2 x ? sin x sin 3x ? a 在 ? 0, ? ? 有唯一解的 a 。

11.是否存在实数 a 与 b ,使得一次函数 f ? x ? ? ax ? b 满足 ?x ??0, 2? ? ,
2 都有 f ? x ? ? cos x ? f ? x ? ?

1 2 sin x 恒成立? 4

10.解方程: (1) cos 2 ? x ? ? ? ? sin 4 x ? 2 ;

? ?

5 ? 8 ?

(2) tan ?

?x ?? ? ? ? sin x ? 1 ? 0 ; ?2 4?
2 2 12. (2014 年浙江省预赛试题 )已知函数 f ? x ? ? cos ? a sin x ? ? sin ?b cos x ? 无零点,请确定 a ? b 的
1

取值范围。

(3) arccos x ? arctan

1 ? ? ; 7 4

(4) arccos

x2 ?1 2x x2 ?1 ? arcsin ? arccot ?? 。 x2 ? 1 x2 ? 1 2x

1

原题为选择题。

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