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解三角形专项题型及高考题


正余弦定理的专项题型
题型 1:利用正余弦定理判断三角形形状 两种途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关 系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角 的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π 这个结论. 例 1.在
2 2

中,a,b,c 分别表示三个内角 A,B,C 的对边,
2 2

如果 (a ? b )sin( A ? B) ? (a ? b )sin( A ? B) ,判断三角形的形状.

例 2.在△ABC 中,已知 a tan B ? b tan A ,试判断此三角形的形状。
2 2

【同类型强化】1.在 ? ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,试判断 ? ABC 的形状

【同类型强化】 2. (2010 上海文数) 若 ?ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5:11:13 , 则 ?ABC ( ) A.一定是锐角三角形. C.一定是钝角三角形. B.一定是直角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

【同类型强化】3.△ABC 中,2sinAcosB=sinC,则此三角形的形状是 (A)等腰△ (B) 等腰或者直角△ (C)等腰直角△





(D)直角△

题型 2:利用正余弦定理求三角形的面积 三角形一般由三个条件确定,比如已知三边 a,b,c,或两边 a,b 及夹角 C,可以将 a,b,c 或 a, b,C 作为解三角形的基本要素,根据已知条件,通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组 等手段进行求解,必要时可考虑作辅助线,将所给条件置于同一三角形中.

1

例 3.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足 (1)求△ABC 的面积;(2)若 c=1,求 a 的值.

例 4.(2010·辽宁营口检测)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 4 3sin A-cos A=0,cos B=5,b=2 3. (1)求 sin C 的值;(2)求△ABC 的面积.

例 5.(2009·安徽)在△ABC 中,sin(C-A)=1,sin B= (1)求 sin A 的值;(2)设 AC=

1 3

.

6 ,求△ABC 的面积.

【 同 类 型 强 化 】 1. 在 △ABC 中, 已 知 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边分 别 是 a 、 b 、 c , 边 c ?
tanA ? tan B? 3 tan A ? tan B?

7 ,且 2

,又 3 △ABC 的面积为

3 3 ,求 a ? b 的值. 2

【 同 类 型 强 化 】 2. 在 锐 角 三 角 形 中 , 边 a 、 b 是 方 程 x2 ? 2 3x ? 2? 0的 两 根 , 角 A 、 B 满 足
2 sin ? A ? B? ? 3 ? 0 ,求角 C 的度数,边 c 的长度及 △ABC 的面积.

【同类型强化】3.(2009 湖北卷文) (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、 C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为 +b 的值。

3 3 2

,求 a

【同类型强化】4.(2009 浙江理) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,
2

且满足 cos 值.

??? ? ???? A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的

【同类型强化】 5. (2009 北京理) (本小题共 13 分)在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ?

?
3



4 (Ⅰ)求 sin C 的值; cos A ? , b ? 3 。 5

(Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

题型 3:与三角函数结合的综合问题 三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁, 往往出现在综合题中——解三角形就是这样一种常见 而又典型的问题,在三角形的三角变换中,正、余弦定理是解题的基础. 例 6. △ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tan C= sin(B-A)=cos C. (1)求 A,C; (2)若 S△ABC=3+

3

,求 a,c.

? 【同类型强化】 (2009· 山东卷)已知函数 f(x)=2sin xcos2

2

+cos xsin ? -sin x(0< ? <π )在 x=π 处

取最小值.(1)求 ? 的值;(2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边.已知 a=1,b=

2 ,

f(A)=

3 ,求角 C. 2

3

题型 4:实际问题 例 7.(2009·福建厦门调研)在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A( 3-1)n mile 的 B 处有一艘 走私船,在 A 处北偏西 75°的方向,距离 A 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3n mile/h 的速度追 截走私船.此时,走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 向能最快追上走私船? 30°方向逃窜, 问缉私船沿什么方

例 8.要测量河对岸两地 A、B 之间的距离,在岸边选取相距 100 3 米的 C、D 两地,并测得∠ADC=30° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°,A、B、C、D 四点在同一平面上,求 A、B 两地的距离。

【同类型强化】2.某海轮以 30 海里∕时的速度航行,在 A 点测得海平面上油井 P 在南偏东 60 0 ,向北 航行 40 分钟后到达 B 点,测得油井 P 在南偏东 30 0 ,海轮改为东偏北 60 0 在航行 80 分钟到达 C 点,求 P、C 间的距离。

4

解三角形【2011 高考题再现】
1.(山东理 17)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (I)求

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 1 的值;II)若 cosB= ,b=2, ?ABC 的面积 S。 sin A 4

2.(江苏 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

?

1 ) ? 2 cos A, 求 A 的值; (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 6 3

3.设 ?ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c,已知 a ? 1.b ? 2.cos C ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长(Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值

1 . 4

4.(湖南理 17)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 3 sinA-cos(B+

? )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。 4

5.(全国大纲理 17)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A-C=90° ,a+c= 2 b,求 C.

6.(陕西理 18)叙述并证明余弦定理。

5

7.(浙江理 18)在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? , 且

1 5 ac ? b 2 . (Ⅰ)当 p ? , b ? 1 时,求 a, c 的值; (Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围; 4 4

2 1.(重庆理 6)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 (a ? b) ? c 2 ? 4 ,且 C=60°,则 ab

的值为 A.

4 3

B. 8 ? 4 3

C. 1

D.

2 3

2.(四川理 6)在 ? ABC 中. sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin Bsin C .则 A 的取值范围是 A. (0,

? ] 6

B.[

? ? , ? ) C. (0, ] 6 3

D.[

? ,? ) 3

3.(全国新课标理 16) ?ABC 中, B ? 60?, AC ? 3, ,则 AB+2BC 的最大值为_________. 4.(福建理 14)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的 长度等于______。

5.(北京理 9)在 ?ABC 中。若 b=5, ?B ?

?
4

,tanA=2,则 sinA=____________;a=_______________。

6


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