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高三数学第二轮专题复习系列(8)--


高三数学专题复习系列(8)-- 圆锥曲线
一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中, 如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与 一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条 曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 ? f(x0,y )=0;点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 ? f(x0,y0)≠0 0 两条曲线的交点 若曲线 C1,C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点 P0(x0,y0)是 C1,C2 的交点 ? f2(x0,y0) =0 方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲 线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集: {M||OM|=r} ,其中定点 O 为圆心,定长 r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 (2)一般方程? 点与圆的位置关系 (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= 来判定. 3.椭圆、双曲线和抛物线 椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表. 曲 性 质 点集:({M||MF1+| MF2 |=2a,|F 1F2 |< 2a= 点集:{M||MF1 |-| 点集{M| |MF|=点 MF2|. M 到直线 l 的距离}. =±2a,|F2F2|>2a}. 线 椭 圆 双曲线 抛物线

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

与半径 r 的大小关系

轨迹条件





圆锥曲线

Page 1

标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2
A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) 对称轴 x=0,y=0 长轴长:2a 短轴长:2b

x2 y2 =1(a > 0,b > a2 b2
0)

y2=2px(p>0)





A1(0,-a),A2(0,a) 对称轴 x=0,y=0 实轴长:2a 虚轴长:2b F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上 |F1F2|=2c, c= a2 ? b2

O(0,0)



对称轴 y=





F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上 |F1F2|=2c,

F(

P ,0) 2

焦点对称轴上





c= a2 - b2



线

a2 x=± c
准线垂直于长轴,且在 椭圆外.

a2 x=± c
准线垂直于实轴,且在 两顶点的内侧. e=

x=-

p 2

准线与焦点位于顶点 两侧, 且到顶点的距离 相等. e=1

离心率

e=

c ,0<e<1 a

c ,e>1 a

4.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率. 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆;当 e=1 时,轨迹为抛物线;当 e>1 时,轨迹为双曲线 5.坐标变换 坐标变换 在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方 向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅 仅只改变点 的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的 变换叫 做坐标轴的平移,简称移轴. 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y),在 新坐标系 x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的坐 标是(h,k),则 x=x′+h x′=x-h (1) 或(2) y=y′+k y′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程? 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.

圆锥曲线

Page 2









焦 线

对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k y=k y=k x=h x=h

(x - h)2 (y - k)2 + =1 a2 b2
椭圆

(±c+h,k)

a2 x=± +h c
y=±

(x - h)2 (y - k)2 + =1 b2 a2 (x - h)2 (y - k)2 =1 a2 b2
双曲线

(h,±c+k)

a2 +k c

(±c+h,k)



a2 +k c a2 +k c

(y - k)2 (x - h)2 =1 a2 b2
(y-k) =2p(x-h) (y-k) =-2p(x-h) 抛物线 (x-h) =2p(y-k) (x-h) =-2p(y-k)
2 2 2 2

(h,±c+h)

y=±

p +h,k) 2 p (- +h,k) 2 p (h, +k) 2 p (h,+k) 2
(

p +h 2 p x= +h 2 p y=- +k 2 p y= +k 2
x=-

二、知识点、能力点提示 (一)曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系,然后根据条件列出等式进行化简 .特别是 在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求 出的 曲线方程才能准确无误.另外,要求会判断 曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标. 求圆锥曲线的方程 【例题】 【例1】 双曲线
x2 y2 ? 2 =1(b∈N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点, 4 b

|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则 b2=_________. 解:设 F1(-c,0) 2(c,0)、P(x,y),则 、F |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2<50+2c2,∴c2<

5 17 17 ,又∵c2=4+b2< ,∴b2< ,∴b2=1. 3 3 3
20 ,椭圆 C2 的方程为 3

【例2】 已知圆 C1 的方程为 ?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ?

圆锥曲线

Page 3

x2 a
2

?

y2 b2

?1

?a ? b ? 0? ,C2 的离心率为

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 2

恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。 解:由 e ?
x2 y2 2 c 2 2 ,得 ? , a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 . 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1. 2 a 2 2b b

设 A( x1 , y1 ).B( x2 , y 2 ).由圆心为(2,1). 又
2 x1

? x1 ? x2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2.

y

2b 2

?

2 y1

b2

? 1,

2 x2

2b 2 2b
2

?

2 y2

b2 ?

? 1, ? 0.
F2 O

A

两式相减,得

2 2 x1 ? x 2

2 2 y1 ? y 2

b2

C1

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0,

F1 B

x

又 x1 ? x 2 ? 4. y1 ? y 2 ? 2.得

y1 ? y 2 ? ?1. x1 ? x 2

? 直线AB的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2)..

即 y ? ?x ? 3 将 y ? ? x ? 3代入
x2 2b
2

?

y2 b
2

? 1, 得 3x 2 ? 12x ? 18 ? 2b 2 ? 0.

? 直线AB与椭圆 C2 相交.? ? ? 24b 2 ? 72 ? 0.

由 AB ? 2 x1 ? x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

24b 2 ? 72 20 ? .得 2? 3 3

20 . 3

解得

b 2 ? 8.

故所有椭圆方程

x2 y2 ? ? 1. 16 8
2 的椭圆 2

【例3】 过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 C 相交于 A、B 两点,直线 y=

1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦 2

点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程. 解法一:由 e=
a2 ? b2 1 c 2 ? ,从而 a2=2b2,c=b. ,得 ? 2 a 2 a2

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减 得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,
y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 . x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )
B y 1 y= x

x 设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=- 0 , 2 y0
又(x0,y0)在直线 y=
1 1 x 上,y0= x0, 2 2
F2

2

o

F1 A

x

圆锥曲线

Page 4

于是-

x0 =-1,kAB=-1, 2 y0

设 l 的方程为 y=-x+1.右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),
? y? ? x? ? b ? 1 ?x? ? 1 ? 则? 解得? ? ??b ? y? ? 1 ? b ?y ?? x ?1 ?2 2 ?

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为 解法二:由 e=

9 2 9 ,a ? . 16 8

8 x 2 16 2 ? y =1,l 的方程为 y=-x+1. 9 9

c 2 a2 ? b2 1 ? ,得 ? ,从而 a2=2b2,c=b. a 2 2 a2

设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0, 则 x1+x2=
4k 2 1 ? 2k
2

,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-

2k 1 ? 2k 2

.

直线 l:y=

x ? x2 y1 ? y2 ?k 1 2k 2 1 ? ? x 过 AB 的中点( 1 ),则 , , 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 2

解得 k=0,或 k=-1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身, 不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一. 【例4】 如图,已知△P1OP2 的面积为
27 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求 4

以直线 OP1、OP2 为渐近线且过点 P 的离心率为

13 的双曲线方程. 2

解:以 O 为原点,∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为 由 e2=
c2 x2 a2 ? y2 b2

=1(a>0,b>0)

y

P2

b 13 2 b 3 ?1 ? ( )2 ? ( ) ,得 ? . a 2 a 2 a
2

∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1,

3 3 x 和 y=- x 2 2
o

P x P1

3 3 x1),P2(x2,- x2)(x1>0,x2>0), 2 2

PP 则由点 P 分 P P2 所成的比λ = 1 =2, 1 PP2

得 P 点坐标为(

x1 ? 2 x2 x1 ? 2 x2 ), , 3 2
x2 a2 ? 4y2 9a 2

又点 P 在双曲线
圆锥曲线

=1 上,所以

( x1 ? 2 x 2 ) 2 9a 2
Page 5

?

( x1 ? 2 x 2 ) 2 9a 2

=1,

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2
又 | OP |? x1 2 ? 1


13 x2 2

9 2 13 9 x1 ? x1 , | OP |? x 2 2 ? x 2 2 ? 4 2 4 3 2? 2 tan P1Ox 2 ? 12 sin P1OP2 ? ? 2 1 ? tan P1Ox 1 ? 9 13 4 1 1 13 12 ? S ?P1OP2 ? | OP | ? | OP2 | ? sin P1OP2 ? ? x1 x 2 ? ? 1 2 2 4 13

27 , 4

即 x1x2=

9 2


x2 y2 =1. ? 4 9

由①、②得 a2=4,b2=9 故双曲线方程为

【求圆锥曲线的方程练习】 一、选择题 1.已知直线 x+2y-3=0 与圆 x2+y2+x-6y+m=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥OQ,则 m 等于( A.3 ) B.-3 C.1 D.-1

2.中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点 的横坐标为
A.

1 ,则椭圆方程为( 2

)
B. 2x 2 2 y 2 ? ?1 75 25 x2 y2 D. ? ?1 75 25

2x 2 2 y 2 ? ?1 25 75 x2 y2 C. ? ?1 25 75

二、填空题 3.直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦 点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 4.已知圆过点 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,则该 圆的方程为_________. 三、解答题 5.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的 任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且|M1M2|=
4 10 ,试求椭圆的方程. 3

6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求
圆锥曲线 Page 6

其中最长的支柱的长.

7.已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2= 为
x2 a
2

20 ,椭圆 C2 的方程 3

?

y2 b
2

=1(a>b>0),C2 的离心率为

2 ,如果 C1 与 C2 相 2

交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方 程和椭圆 C2 的方程. 直线与圆锥曲线 【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交
10 ,求椭圆方程. 2

于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)
? ?y ? x ? 1 由? 2 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, ?mx ? ny 2 ? 1 ?

Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴
2(n ? 1) 2n +1=0,∴m+n=2 ? m?n m?n



4(m ? n ? mn) 10 2 ?( ) , m?n 2 3 将 m+n=2,代入得 m·n= 4

又2



由①、②式得 m= 【例2】

3 1 3 1 3 1 x2 3 2 ,n= 或 m= ,n= 故椭圆方程为 + y =1 或 x2+ y2=1. 2 2 2 2 2 2 2 2
如图所示, 抛物线 y2=4x 的顶点为 O, A 的坐标为(5, 倾斜角为 点 0),

?
4

的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积 最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0.
? ?y ? x ? m 由方程组 ? 2 ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0……………① ? y ? 4x ?
圆锥曲线 Page 7

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,∴|MN|=4 2(1 ? m) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=

5? m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 【例3】 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜

率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判断 以 Q 为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1, 与曲线 C 有一个交点. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0………………(*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= ②当Δ >0,即 k<
3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2

3 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时, 2 2

方程(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点. ③当Δ <0,即 k>
3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 2 3 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2

综上知:当 k=± 2 ,或 k= 当 2 <k<

3 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2

圆锥曲线

Page 8

当 k>

3 时,l 与 C 没有交点. 2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, A(x1,y1),B(x2,y2), 2x12-y12=2,2x22-y22=2 且 则 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为 中点的弦不存在. 【例4】 如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x

轴的直线与椭圆的一个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2) 满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, 求 m 的取值范围.
F1 o F2 B' A B C x y

解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4, 所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为
x2 y2 =1. ? 25 9

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 根据椭圆定义,有|F2A|=

9 4 25 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 , 5 4 5

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得
4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

x1 ? x 2 =4. 2

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 ? 得? ?9 x 2 2 ? 25 y 2 2 ? 9 ? 25 ?
2 2

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,

圆锥曲线

Page 9

即 9× ( 将 (k≠0) 即 k=

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 1 ? x 0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ?? (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- )=0 2 2 x1 ? x 2 k k

25 y0(当 k=0 时也成立). 36

由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m, 所以 m=y0-4k=y0-

16 25 y0=- y0. 9 9

由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 得-
9 9 16 16 <y0< ,所以- <m< . 5 5 5 5

解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=- ③ 将③代入椭圆方程
x2 y2 =1,得 ? 25 9
1 (x-4)(k≠0) k

(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0 所以 x1+x2=
50(k 0 ? 4) 9k ? 25
2

=8,解得 k=

25 y0.(当 k=0 时也成立) 36

(以下同解法一). 【例5】 已知双曲线 G 的中心在原点, 它的渐近线与圆 x ? y ?10x ? 20 ? 0 相
2 2

切.过点 P ? ?4,0? 作斜率为

1 的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B 两点,和 y 轴交于点 C , 4
2

并且点 P 在线段 AB 上,又满足 PA ? PB ? PC . (1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中 点的轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. 解: (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? kx , 则由渐近线与圆 x ? y ?10x ? 20 ? 0 相切可得:
2 2

5k k2 ?1

? 5.

圆锥曲线

Page 10

所以, k ? ?

1 1 .双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? ? x . 2 2

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x2 ? 4 y 2 ? m . 把直线 l 的方程 y ? 则 x A ? xB ?

8 , 3

1 ? x ? 4 ? 代入双曲线方程,整理得 3x2 ? 8x ? 16 ? 4m ? 0 . 4 16 ? 4m x A xB ? ? (*) 3
2

∵ PA ? PB ? PC , P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上, ∴ ? xP ? x A ?? xB ? xP ? ? ? xP ? xC ? ,
2

即: ? xB ? 4?? ?4 ? xA ? ? 16 ,整理得: 4 ? xA ? xB ? ? xA xB ? 32 ? 0 将(*)代入上式可解得: m ? 28 .所以,双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 28 7

(3)由题可设椭圆 S 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 7 .下面我们来求出 S 中垂直 28 a 2

?

?

于 l 的平行弦中点的轨迹.设弦的两个端点分别为 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , MN 的中点为

? x12 y12 ? ?1 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 28 a 2 则 . 两式作差得: ? ?0 P ? x0 , y0 ? , ? 2 2 28 a2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 28 a 2 ?
由于

x 4y y1 ? y2 ? ?4 , x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 所以, 0 ? 20 ? 0 , 28 a x1 ? x2
x 4y ? ? 0 截在椭圆 S 内的部分. 28 a 2

所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线

又由题,这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,所以,

a2 1 ? .所以, 112 2

a 2 ? 56 ,椭圆 S 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 28 56
【直线与圆锥曲线练习】

一、选择题 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆
x2 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4

)

圆锥曲线

Page 11

A.2

B.

4 5 5

C.

4 10 5

D.

8 10 5

2.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2, 直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( A.x3=x1+x2 C.x1+x2+x3=0 二、填空题 3.已知两点 M(1, ②x2+y2=3,③ _________. 4.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________. 5. 在抛物线 y2=16x 内, 通过点(2, 1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6. 已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的 两点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, 求△NAB 面积的最大值. 7. 已知中心在原点, 顶点 A1、 2 在 x 轴上, A 离心率 e= 的双曲线过点 P(6,6).
B y A

) B.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x2+x2x3+x3x1=0

5 5 )、N(-4,- ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0, 4 4

x2 2 x2 +y =1,④ -y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 2 2

21 3

N o F x

(1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论. 8.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,0)为圆心,1 为半径的圆 相切,双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直 线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标.
圆锥曲线 Page 12

【求圆锥曲线的方程练习】参考答案 一、1.解析:将直线方程变为 x=3-2y,代入圆的方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0.整理得 5y2-20y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2) 则 y1y2=
12 ? m ,y1+y2=4.又∵P、Q 在直线 x=3-2y 上, 5

∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故 m=3.答案:A 2.解析:由题意,可设椭圆方程为: 即方程为
y
2

y2 a
2

?

x2 b
2

=1,且 a2=50+b2,

50 ? b 2

?

x

2

b2

=1.将直线 3x-y-2=0 代入,整理成关于 x 的二次方程.

由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75.答案:C 二、3.解析:所求椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使 2a 最小,只需在直线 l 上找一点 P.使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可解.? 答案:
x2 y2 =1 ? 5 4

4.解析:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
?(4 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ? ? 则有 ?(?1 ? a ) 2 ? (3 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?| a | ?(2 3 ) ? r ?

?a ? 1 ?a ? 5 ? ? ? ?b ? 0 或?b ? 4 ? 2 ? 2 ?r ? 13 ?r ? 27

由此可写所求圆的方程.答案:x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0 三、5.解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2, ∴b2=4,设椭圆方程为
x2 a2 ? y2 ?1 4

① ② ③

设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m 将②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0), 则 x0=
a 2m a2m 4m 1 4m ? (x1+x2)= ,y0=-x0+m= .代入 y=x,得 , 2 2 2 2 4?a 4 ? a2 4?a 4?a 4a 2 4 ? a2

由于 a2>4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=- 又|M1M2|= 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
4 10 , 3

,

代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为:

x2 y2 =1. ? 5 4

6.解:以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系,
圆锥曲线 Page 13

如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 设抛物线方程为 x2=-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p×(-4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为 x2=-25y.

由题意知 E 点坐标为(2, -4), E′点横坐标也为 2, 2 代入得 y=-0.16,从而|EE|=(- 将 0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米. 7.解:由 e=
y2 x2 2 ,可设椭圆方程为 2 ? 2 =1, 2 2b b

又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2, 又
x1 2 2b 2 ? y1 2 b2 ? 1, x2 2 2b 2 ? y2 2 b2

=1,两式相减,得

x1 2 ? x 2 2 2b 2

?

y1 2 ? y 2 2 b2

=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.化简得 代 入 椭 圆 方 程 得 |AB|= 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 故所求椭圆方程为

y1 ? y 2 =-1,故直线 AB 的方程为 y=-x+3, x1 ? x 2

3x2 - 12x+18 - 2b2=0. 有 Δ =24b2 - 72 > 0, 又
20 24b 2 ? 72 ? ,得 2 ? 3 9

20 ,解得 b2=8. 3

x2 y2 =1. ? 16 8

直线与圆锥曲线参考答案 一、1.答案:C 2.答案:B 二、3.答案:②③④ 4.答案:18 或 50 5.答案:8x-y-15=0 三、6.解:(1)设直线 l 的方程为:y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即 x2 - 2(a+p)x+a2=0∴|AB|= 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2

圆锥曲线

Page 14

又∵p>0,∴a≤-

p . 4

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=
x1 ? x2 y ? y 2 x1 ? x2 ? 2a =p. ? a ? p, y ? 1 ? 2 2 2

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0)? 点 N 到 AB 的距离为 从而 S△NAB=
| a ? 2p ? a| 2 ? 2p

1 ? 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 2 p ? 2 p 2ap ? p 2 2

当 a 有最大值-

p 时,S 有最大值为 2 p2. 4

7.解:(1)如图,设双曲线方程为 解得 a2=9,b2=12.

x2 y2 62 62 a 2 ? b 2 21 ? ? 2 =1.由已知得 2 ? 2 ? 1, e 2 ? , 3 a b a2 a2 b

所以所求双曲线方程为

x2 y2 =1. ? 9 12

(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) , ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12x1 2 ? 9 y1 2 ? 108 ? 4 ?12x 2 2 ? 9 y 2 2 ? 108 y1 ? y 2 12 4 ? ? ? ,∴kl= ? x1 ? x 2 9 3 3 ? x1 ? x 2 ? 4 ?y ? y ? 4 2 ? 1

∴l 的方程为 y=

4 (x-2)+2, 3

?12x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? 由? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0. 4 y ? ( x ? 2) ? 3 ?

∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在.

圆锥曲线

Page 15

8.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d=

| 2k | k 2 ?1

=1,解得 k=±1.

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的 距离为 2 . 设直线 l′:y=kx+m,应有
| 2k ? m | k2 ?1
2 ? 2 ,化简得 m +2 2 km=2.



把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由Δ =4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0. 可得 m2+2k2=2 ② 、 ③ 两 式 相 减 得 k= x=
?mk k 2 ?1



2 m, 代 入 ③ 得 m2=

2 10 2 5 , 解 设 m= ,k= ,此时 5 5 5

? 2 2 ,y= 10 .故 B(2 2 , 10 ).

圆锥曲线

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