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三视图与表面积体积


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环球雅思学科教师辅导学案
学员编号: 学员姓名: 授课类型 星 级 1、 2015 年 9 月 28 日周五 08:00-10:00 教学内容 年 级:高三 辅导科目:数学 T -- 基础同步 ★★★★ 课 时 数: 3 学科教师: 张秋凤 C--专题讲练 ★★★★ 审核人: 日 期: T—能力提升 ★★★★

教学重难点 授课日期及时段

T——空间几何体的结构、三视图与直观图

考纲分析
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立 体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 高考主要考查空间几何体的结构和视图,柱、锥、台、球的定义与性质是基础,以它们为载体考查线线、线面、 面面的关系是重点,三视图一般会在选择题、填空题中考查,以给出空间图形选择其三视图或给出三视图判断其空间图形的 形式出现,考查空间想象能力.

知识典例

一、知识梳理
1.棱柱、棱锥、棱台的概念 (1)棱柱:有两个面互相______,其余各面都是________,并且每相邻两个四边形的公共边都互相________,由这 些面所围成的多面体叫做棱柱. ※注:棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱;侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱; 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. (2)棱锥:有一个面是________,其余各面都是有一个公共顶点的__________,由这些面所围成的多面体叫做棱锥. ※注:如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥. (3)棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,叫做棱台.
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中国教育培训领军品牌 ※注:由正棱锥截得的棱台叫做正棱台. ※2.棱柱、棱锥、棱台的性质 (1)棱柱的性质 侧棱都相等,侧面是______________;两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形;过不相邻的两条侧 棱的截面是______________;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________. (2)正棱锥的性质 侧棱相等,侧面是全等的__________;棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________;棱锥的高、 侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________;侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________; 侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________. (3)正棱台的性质 侧面是全等的____________;斜高相等;棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________;棱台的高、 侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________;棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________. 3.圆柱、圆锥、圆台 (1)圆柱、圆锥、圆台的概念 分别以________的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋 转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台. (2)圆柱、圆锥、圆台的性质 圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、___________、___________;平行于底面的截面都是__________. 4. 球 (1)球面与球的概念 以半圆的 ______ 所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.半圆的圆心叫做球的 ________. (2)球的截面性质 球心和截面圆心的连线 ________ 截面;球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 的关系为 ______________. 5.平行投影 在一束平行光线照射下形成的投影,叫做__________.平行投影的投影线互相__________. 6.空间几何体的三视图、直观图 (1)三视图 ①空间几何体的三视图是用正投影得到的,在这种投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形 状和大小是完全相同的.三视图包括__________、__________、__________. ②三视图尺寸关系口诀:“长对正,高平齐,宽相等.” 长对正指正视图和俯视图长度相等,高平齐指正视图和侧 (左)视图高度要对齐,宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等. (2)直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: ①在已知图形所在空间中取水平面, 在水平面内作互相垂直的轴 Ox, Oy, 再作 Oz 轴, 使∠xOz=________且∠yOz =________. ② 画 直 观 图 时 , 把 Ox , Oy , Oz 画 成 对 应 的 轴 O′x′ , O′y′ , O′z′ , 使 ∠ x′O′y′ = ____________ , ∠ x′O′z′ = ____________.x′O′y′所确定的平面表示水平面. ③已知图形中,平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段,在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或 z′轴的线段,并使 它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. ④已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段, 在直观图中保持长度不变, 平行于 y 轴的线段, 长度为原来的__________. ⑤画图完成后,擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图. 注:空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是:(1)观察角度:三视图是从三个不同位置观 察几何体而画出的图形,直观图是从某一点观察几何体而画出的图形;(2)投影效果:三视图是在平行投影下画出的平 面图形,用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形.
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中国教育培训领军品牌 【自查自纠】 1.(1)平行 四边形 平行 (2)多边形 三角形 2.(1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形 (2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形 (3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形 3.(1)矩形 直角三角形 直角梯形 (2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 4.(1)直径 球心 (2)垂直于 d= R2-r2 5.平行投影 平行 6.(1)①正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 (2)①90° 90° ②45° (或 135° ) 90°

二、考点分类

类型一

空间几何体的结构特征
)

某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是(

解:D 选项的正视图应为如图所示的图形. 故选 D.

【评析】本题主要考查空间想象能力,是近年高考中的热点题型.本题可用排除法一一验证:A,B,C 都有可能, 而 D 的正视图与侧视图不可能相同. 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

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解:从俯视图看,B,D 符合,从正视图看,B 不符合,D 符合,而从侧视图看 D 也是符合的.故选 D.

类型二

空间几何体的三视图

如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积 为( )

A.6 3 B.9 3 C.12 3 D.18 3 解:由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱,高 h= 22-1= 3,底面积为 9,所以体积 V=9× 3=9 3.故选 B.

【评析】通过三视图考查几何体的体积运算是较为常规的考题,考生对此并不陌生.对于空间几何体的考查,从 内容上看,柱、锥的定义和相关性质是基础,以它们为载体考查三视图、体积是重点.本题给出了几何体的三视图, 只要掌握三视图的画法“长对正、高平齐,宽相等”,不难将其还原得到斜四棱柱. 如图所示的三个直角三角形是 一个体积为 20cm3 的几何体的三视图,则 h=________cm.

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解:由三视图可知,该几何体为三棱锥,此三棱锥的底面为直角三角形,直角边长分别为 5cm,6cm,三棱锥的高 1 1 为 hcm,则三棱锥的体积为 V= × × 5× 6× h=20,解得 h=4cm.故填 4. 3 2

类型三

空间多面体的直观图

如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

解:由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥. 画法:(1)画轴.如图 1,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° .

图1 (2)画底面.利用斜二测画法画出底面 ABCD,在 z 轴上截取 O′使 OO′等于三视图中相应高度,过 O′作 Ox 的平行 线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′画出底面 A′B′C′D′. (3)画正四棱锥顶点.在 Oz 上截取点 P,使 PO′等于三视图中相应的高度. (4)成图.连接 PA′,PB′,PC′,PD′,A′A,B′B,C′C,D′D,整理得到三视图表示的几何体的直观图如图 2 所示.

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图2 【评析】根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高,再按照斜二测画法,建立 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy= 45° ,∠xOz=90° ,确定几何体在 x 轴、y 轴、z 轴方向上的长度,最后连线画出直观图. 已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为 1 的正方形, 则此四棱锥的体积为( ) 1 A. 2 B .6 2 C. D.2 2 3 解:因为四棱锥的底面直观图是一个边长为 1 的正方形,该正方形的对角线长为 2,根据斜二测画法的规则,原 图底面的底边长为 1,高为直观图中正方形的对角线长的两倍,即 2 2,则原图底面积为 S=2 2.因此该四棱锥的体积 1 1 为 V= Sh= × 2 2× 3=2 2.故选 D. 3 3

类型四

空间旋转体的直观图

用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为 1∶16,截去的圆锥的母线 长是 3cm,求圆台的母线长.

解:设圆台的母线长为 l,截得圆台的上、下底面半径分别为 r,4r. 根据相似三角形的性质得, 3 r = ,解得 l=9. 3+l 4r 所以,圆台的母线长为 9cm. 【评析】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转 体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质,利用相似三角形中的相似比,设相关几何变量列方程求解. 圆锥底面半径为 1cm,高为 2cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.

解:过圆锥的顶点 S 和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面,得圆锥的轴截面 SEF,正方体对角面 CDD1C1 如图所示. 设正方体棱长为 x,则 CC1=x,C1D1= 2x.作 SO⊥EF 于 O,则 SO= 2,OE=1. ∵△ECC1∽△ESO,

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中国教育培训领军品牌 CC1 EC1 x ∴ = ,即 = SO EO 2 2 解得 x= (cm). 2 1- 1 2 x 2 ,

故内接正方体的棱长为

2 cm. 2

探究规律
1.在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时,主要方法就是研究它们的轴截面,这是因为在轴截面中容易找到这些 几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系. 2.正多面体 (1)正四面体就是棱长都相等的三棱锥,正六面体就是正方体,连接正方体六个面的中心,可得到一个正八面体, 正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成.

(2)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,连接 A1B,BC1,A1C1,DC1,DA1,DB,可以得到一个棱长为 1 2a 的正四面体 A1BDC1,其体积为正方体体积的 . 3 (3)正方体与球有以下三种特殊情形:一是球内切于正方体;二是球与正方体的十二条棱相切;三是球外接于正方 体.它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为 a,球的半径为 R).

3.长方体的外接球 (1)长、宽、高分别为 a,b,c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即 a2+b2+c2=2R. (2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即 3a=2R. 4.棱长为 a 的正四面体 3 6 2 (1)斜高为 a;(2)高为 a;(3)对棱中点连线长为 a; 2 3 2 6 6 (4)外接球的半径为 a,内切球的半径为 a; 4 12 2 (5)正四面体的表面积为 3a2,体积为 a3. 12 5.三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓 线,对于能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 6.一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化,注意原图与直观图中的“三变、三不变”. 三变:坐标轴的夹角改变,与 y 轴平行线段的长度改变(减半),图形改变.
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中国教育培训领军品牌 三不变:平行性不变,与 x 轴平行的线段长度不变,相对位置不变. 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系: 2 S 直观图= S 原图形,S 原图形=2 2S 直观图. 4

小题必胜

下列说法中正确的是( ) A.棱柱的底面一定是平行四边形 B.棱锥的底面一定是三角形 C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 解:根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断,故选 D. 以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( ) A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解:几何体的三视图要考虑视角,只有球无论选择怎样的视角,其三视图总是三个全等的圆.故选 A. 陕西)将正方体(如图 a 所示)截去两个三棱锥,得到图 b 所示的几何体,则该几何体的侧视图为( (2012·

)

解:还原正方体知该几何体侧视图为正方形,AD1 为实线,B1C 的正投影为 A1D,且 B1C 被遮挡为虚线.故选 B. 用一张 4cm× 8cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则圆柱轴截面的面积为________cm2(接头忽略不计). 32 32 解:以 4cm 或 8cm 为底面周长,所得圆柱的轴截面面积均为 cm2,故填 . π π 已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为________. 解:如图所示是实际图形和直观图.

1 3 由图可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a,在图中作 C′D′⊥A′B′,垂足为 D′, 2 4 2 6 则 C′D′= O′C′= a. 2 8
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中国教育培训领军品牌 1 1 6 6 ∴S△A′B′C′= A′B′× C′D′= × a× a= a2. 2 2 8 16 6 故填 a2. 16

回顾总结

C——空间几何体的表面积与体积

考纲分析
1.了解棱柱、棱锥、台、球的表面积和体积的计算公式. 2.会利用公式求一些简单几何体的表面积与体积. 高考主要考查空间几何体的侧面积、表面积、体积以及相关元素的关系与计算,这些内容常与三视图相结合,以 选择题、填空题的形式出现,也可能以空间几何体为载体,考查线面关系、侧面积、表面积以及体积.

知识典例

一、知识梳理
1.柱体、锥体、台体的表面积 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S 直棱柱侧=__________,S 正棱锥侧=__________,S 正棱台侧=__________(其中 C,C′为底面周长,h 为高,h′为斜高). (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 S 圆柱侧=________,S 圆锥侧=________,S 圆台侧=________ (其中 r,r′为底面半径,l 为母线长). (3)柱或台的表面积等于________与__________的和,锥体的表面积等于________与__________的和. 2.柱体、锥体、台体的体积 (1)棱柱、棱锥、棱台的体积 V 棱柱=__________,V 棱锥=__________,V 棱台=__________ (其中 S,S′为底面积,h 为高). (2)圆柱、圆锥、圆台的体积 V 圆柱=__________,V 圆锥=__________,V 圆台=__________ (其中 r,r′为底面半径,h 为高). 3.球的表面积与体积 (1)半径为 R 的球的表面积 S 球=________. (2)半径为 R 的球的体积 V 球=________.
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中国教育培训领军品牌 【自查自纠】 1 1 1.(1)Ch Ch′ (C+C′)h′ 2 2 (2)2πrl πrl π(r+r′)l (3)侧面积 两个底面积 侧面积 一个底面积 1 1 2.(1)Sh Sh h(S+ SS′+S′) 3 3 1 2 1 2 2 2 (2)πr h πr h πh(r +rr′+r′ ) 3 3 4 3.(1)4πR2 (2) πR3 3

二、考点分类

类型一

空间几何体的面积问题

如图,在△ABC 中,∠ABC=45° ,∠BAC=90° ,AD 是 BC 边上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC= 90° .

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)若 BD=1,求三棱锥 DABC 的表面积. 解:(1)证明:∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴沿 AD 把△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥BD. 又 DB∩DC=D,∴AD⊥ 平面 BDC. 又∵AD?平面 ADB,∴平面 ADB⊥ 平面 BDC. (2)由(1)知,DA⊥BD,BD⊥DC,DC⊥DA, DB=DA=DC=1,∴AB=BC=CA= 2. 1 1 从而 S△DAB=S△DBC=S△DCA= × 1× 1= , 2 2 1 3 S△ABC= × 2× 2× sin60° = . 2 2 1 3 3+ 3 ∴三棱锥 DABC 的表面积 S= × 3+ = . 2 2 2 【评析】充分运用图形在翻折前后的不变性,如角的大小不变,线段长度不变,线线关系不变等,再由面面垂直 的判定定理进行推理证明,然后再计算. 福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均 (2013· 如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是____________.

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解:由三视图可知该组合体为球内接一个棱长为 2 的正方体,∴正方体的体对角线为球的直径 2r= 22+22+22= 2 3,S 球=4πr2=12π.故填 12π.

类型二

空间旋转体的面积问题

如图,半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ______.

π 解: 如图, 设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为 α, 圆柱侧面积 S=2π× 4sinα× 2× 4cosα=32πsin2α, 当 α= 时, 4 S 取最大值 32π,此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为 32π.故填 32π.

【评析】根据球的性质,内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心,且圆柱的上、下底面圆周均在球面上,球 心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等,这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系 提供了依据. 辽宁)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为____________. (2012·

解:由三视图知该几何体为长 4 宽 3 高 1 的长方体的中间挖去一个半径为 1 高为 1 的圆柱所成几何体,所以表面 积为 2× (4× 3+4× 1+3× 1)-2× π× 12+2π× 1× 1=38.故填 38.

类型三

空间多面体的体积问题

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中国教育培训领军品牌 一个正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的底面边长为 6,侧棱长为 15,求这个三棱锥的体积. 解:如图所示为正三棱锥 SABC,设 H 为正三角形 ABC 的中心,连接 SH,则 SH 的长即为该正三棱锥的高.

连接 AH 并延长交 BC 于 E,则 E 为 BC 的中点,且 AH⊥BC. ∵△ABC 是边长为 6 的正三角形, 3 2 ∴AE= × 6=3 3,AH= AE=2 3. 2 3 1 1 在△ABC 中,S△ABC= BC× AE= × 6× 3 3=9 3, 2 2 在 Rt△SHA 中,SA= 15,AH=2 3, ∴SH= SA2-AH2= 15-12= 3. 1 1 ∴V 正三棱锥= × S × SH= × 9 3× 3=9. 3 △ABC 3 1 【评析】(1)求锥体的体积,要选择适当的底面和高,然后应用公式 V= Sh 进行计算.(2)求空间几何体体积的常 3 用方法为割补法和等积变换法:①割补法:将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而 得出要求的几何体的体积;②等积变换法:特别的,对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选 择更容易计算的方式来求体积;利用“等积性”还可求“点到面的距离”. 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE,△BCF 均为正三角形,EF∥ AB,EF=2,则该多面体的体积为( )

2 3 4 3 B. C. D. 3 3 3 2 解:如图,过 A,B 两点分别作 AM,BN 垂直于 EF,垂足分别为 M,N,连接 DM,CN,可证得 DM⊥EF,CN ⊥EF,则多面体 ABCDEF 分为三部分,即多面体的体积 VABCDEF=VAMDBNC+VEAMD+VFBNC. A.

依题意知 AEFB 为等腰梯形. 1 易知 Rt△DME Rt△CNF,∴EM=NF= . 2 3 又 BF=1,∴BN= . 2 作 NH 垂直于 BC,则 H 为 BC 的中点,∴NH= 1 2 ∴S△BNC= · BC· NH= . 2 4 1 2 ∴VFS · NF= , BNC= · 3 △BNC 24 2 2 VE,VAMDMN= . AMD=VFBNC= BNC=S△BNC· 24 4 2 ∴VABCDEF= ,故选 A. 3
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2 . 2

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类型四

空间旋转体的体积问题
)

某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(

2π A.8- 3 C.8-2π

π B.8- 3 2π D. 3

1 2 解:由三视图知几何体为一个正方体中间去掉一个圆锥,所以它的体积是 V=23- × π× 12× 2=8- π.故选 A. 3 3

【评析】根据已知三视图想象出该几何体的直观图,然后分析该几何体的组成,再用对应的体积公式进行计算. 河南模拟)已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图、侧(左)视图均是由三角形与半圆构 (2012· 成,俯视图由圆与其内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为( )

2π 1 + 3 2 2π 1 C. + 6 6 A.

4π 1 B. + 3 6 2π 1 D. + 3 2

1 4 ? 2?3 1 ?1 1× 1? 解: 由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥, 下部是半球, 根据三视图中的数据可得 V= × π× + × × ? 2 3 ? 2 ? 3 ?2 2π 1 × 1= + .故选 C. 6 6
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探究规律

1.几何体的展开与折叠 (1)几何体的表面积,除球以外,都是利用展开图求得的,利用空间问题平面化的思想,把一个平面图形折叠成一 个几何体,再研究其性质,是考查空间想象能力的常用方法. (2)多面体的展开图 ①直棱柱的侧面展开图是矩形; ②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的,底面是正多边形; ③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的,底面是正多边形. (3)旋转体的展开图 ①圆柱的侧面展开图是矩形,矩形的长(或宽)是底面圆周长,宽(或长)是圆柱的母线长; ②圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径长是圆锥的母线长,弧长是圆锥的底面周长; ③圆台的侧面展开图是扇环,扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长. 注:①圆锥中母线长 l 与底面半径 r 和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆,同学们应多动手推导, 1 1 加深理解.②圆锥和圆台的侧面积公式 S 圆锥侧= cl 和 S 圆台侧= (c′+c)l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同,可将 2 2 二者联系起来记忆. 2.空间几何体的表面积的计算方法 有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题,这是解决立体几何问题常用的基本 方法. (1)棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积,再求和,对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利 用公式; (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的 面积之和; (3)组合体的表面积应注意重合部分的处理. 3.空间几何体的体积的计算方法 (1)计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面和旋转轴 截面,将空间问题转化为平面问题求解. (2)注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、还台为锥法等,它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法, 应熟练掌握. (3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题,即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高,通过 将其顶点和底面进行转化,借助体积的不变性解决问题. 4.由几何体的三视图求几何体的表面积与体积问题,一般按如下三个步骤求解: (1)由三视图想象出原几何体的形状; (2)由三视图给出的数量关系确定原几何体的数量关系; (3)如果是规则几何体,直接代入公式求解,如果不是规则几何体,通过“割补”后,转化为规则几何体求解.

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小题必胜

圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 4π 的矩形,则圆柱的表面积为( ) A.6π(4π+3) B.8π(3π+1) C.6π(4π+3)或 8π(3π+1) D.6π(4π+1)或 8π(3π+2) 解:分两种情况:①以边长为 6π 的边为高时,4π 为圆柱底面周长, 则 2πr=4π,r=2, ∴S 底=πr2=4π, S 侧=6π× 4π 2 2 =24π ,S 表=2S 底+S 侧=8π+24π =8π(3π+1);②以边长为 4π 的边为高时,6π 为圆柱底面周长,则 2πr=6π,r=3. ∴S 底=πr2=9π,S 表=2S 底+S 侧=18π+24π2=6π(4π+3).故选 C. 正三棱锥的底面边长为 2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为( ) 2 2 4 A. 2 B. 2 C. D. 2 3 3 3 解:∵正三棱锥的侧面均为直角三角形,故侧面为等腰直角三角形,且直角顶点为棱锥的顶点,∴侧棱长为 2, 1 1 2 V= × × ( 2)2× 2= .故选 C. 3 2 3 已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则圆柱的体积与球体积之比为( ) A.1∶2 B.2∶1 C.2∶3 D.3∶2 4 解:设球半径为 R,圆柱底面半径为 R,高为 2R.∵V 球= πR3,V 圆柱=πR2· 2R=2πR3,∴V 圆柱∶V 球=3∶2.故选 D. 3 长方体 ABCDA1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 3,AA1=1,则球面面积为________. 解:∵长方体 ABCDA1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,则外接球的直径是长方体的体对角线,而长方体的体 2 2 对角线的长为 AB + AD + AA2 1 = 2 2 , ∴半径 R= 2. ∴S 球=4πR2=8π.故填 8π. 若圆锥的侧面积为 2π,底面面积为 π,则该圆锥的体积为____________. 2 ? ? ?πr =π, ?r=1, 1 解:设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,则? 有? 从而可知圆锥的高 h= l2-r2= 4-1= 3.∴V= 3 ?πrl=2π, ? ?l=2, ? × π× 3= 3 3 π.故填 π. 3 3

回顾总结

T—感悟真题

相信自己
1.【2015 高考新课标 1,理 6】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内
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中国教育培训领军品牌 角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一), 米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有( )

(A)14 斛 【答案】B

(B)22 斛

(C)36 斛

(D)66 斛

【考点定 位】圆锥的性质与圆锥的体积公式 2.【2015 高考陕西,理 5】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 ) D. 3? ? 4

【答案】D 【解析】由三视图知:该几何体是半个圆柱,其中底面圆的半径为 1 ,母线长为 2 ,所以该几何体的表面积是

1 ? 2? ?1? ?1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 3? ? 4 ,故选 D. 2
【考点定位】1、三视图;2、空间几何体的表面积. 【名师点晴】本题主要考查 的是三视图和空间几何体的表面积,属于容易题.解题时要看清楚是求表 面积还是求体积, 否则很容易出现错误.本题先根据三视图判断几何体的结构特征,再计算出几何体各个面的面积即可. 3.【2015 高考新课标 1,理 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r=( )

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(A)1 【答案】B

(B)2

(C)4

(D)8

【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为 r,圆柱的高为 2r, 其表面积为

1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 =16 + 20 ? ,解得 r=2,故选 B. 2

【考点定位】简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别,是常规提,对简单组合体三三视图问题,先看俯视图确定底面的 形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状,再根据“长对正,宽相等,高平齐”的法则组合体中的各个量. 4.【2015 高考重庆,理 5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

1 ?? 3 1 ? 2? C、 3
A、 【答案】A 【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体, V ? 【考点定位】组合体的体积.

B、

2 ?? 3 2 D、 ? 2? 3

1 1 1 1 ? ?12 ? 2 ? ? ( ??1? 2) ? 1 ? ? ? ,选 A. 2 3 2 3

【名师点晴】本题涉及到三视图的认知,要求学生能由三视图画出几何体的直观图,从而分析出它是哪些基本几何体 的组合,应用相应的体积公式求出几何体的体积,关键是画出直观图,本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能 力. 5.【2015 高考北京,理 5】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )

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1 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

俯视图

A. 2 ? 5 【答案】C

B. 4 ? 5

C. 2 ? 2 5

D.5

?

5 ,三棱锥表面积 S 表 ? 2 5 ? 2 . 2

考点定位:本题考点为利用三视图还原几何体及求三棱锥的表面积,考查空间线线、线面的位置关系及有关线段 长度及三角形面积数据的计算. 6.【2015 高考安徽,理 7】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( (A) 1 ? 3 (C) 1 ? 2 2 (B) 2 ? 3 (D) 2 2
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【答案】B 【解析】由题意,该四面体的直观图如下, ?ABD, ?BCD 是等腰直角三角形, ?ABC , ?ACD 是等边三角形,则

1 1 3 , 所 以 四 面 体 的 表 面 积 S?BCD ? S?ABD ? ? 2 ? 2 ? 1, S?ABC ? S?ACD ? ? 2 ? 2 sin 60? ? 2 2 2 S ? S?BCD ? S?ABD ? S?ABC ? S?ACD ? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ,故选 B. 2

【考点定位】1.空间几何体的三视图与直观图;2.空间几何体表面积的求法. 【名师点睛】三视图是高考中的热门考点,解题的关键是熟悉三视图的排放规律:长对正,高平齐,宽相等.同时熟悉 常见几何体的三视图, 这对于解答这类问题非常有帮助,本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式. 7.【2015 高考新课标 2,理 9】已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体 积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π 【答案】C B.64π C.144π D.256π )

【考 点定位】外接球表面积和椎体的体积.
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C

O A B

【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算,要明确球的截面性质,正确理解四面体体积最大 时的情形,属于中档题. 8.【2015 高考山东,理 7】在梯形 ABCD 中, ?ABC ?

?
2

, AD / / BC, BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 .将梯 )

形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( (A)

2? 3

(B)

4? 3

(C)

5? 3

(D) 2?

【答案】C 【解析】 直角梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 1, 母线长为 2 的圆 柱挖去一个底面半径同样是 1、高为 1 的圆锥后得到的组合体,所以该组合体的体积为:

1 5 V ? V圆柱 ? V圆锥 ? ? ? 12 ? 2 ? ? ? ? 12 ? 1 ? ? 学科网 3 3
【2015 高考湖南,理 10】某工件的三视图如图 3 所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工 件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=

新工件的体积 ) ( 原工件的体积



A.

8 9?

B.

16 9?

C.

4( 2 ? 1)3

?

D.

12( 2 ? 1)3

?

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中国教育培训领军品牌 【答案】A. 【解析】 试题分析:分析题意可知,问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值,设长方体体的长,宽,高分别为 x , y ,h , 长方体上底面截圆锥的截面半径为 a ,则 x 2 ? y 2 ? (2a) 2 ? 4a 2 ,如下图所示,圆锥的轴截面如图所示,则可知

a 2?h x2 ? y2 ? ? h ? 2 ? 2a ,而长方体的体积 V ? xyh ? h ? 2a 2 h ? 2a 2 ( 2 ? 2 a ) 1 2 2

? 2? (

2 a ? a ? 2 ? 2a 3 16 8 ) ? ,当且仅当 x ? y , a ? 2 ? 2a ? a ? 时,等号成立,此时利用率为 , ? 1 3 3 27 9 ? 2 ? ?1 ? 2 3

16 27

故选 A.

【考点定位】1.圆锥的内接长方体;2.基本不等式求最值. 【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题,与实际应用相结合,立意新颖,属于较难题,需要考 生从实际应用问题中提取出相应的几何元素,再利用基本不等式求解,解决此类问题的两大核心思路:一 是化立体问题为平面问题,结合平面几何的相关知识求解;二是建立目标函数的数学思想,选择合理的变 量,或利用导数或利用基本不等式,求其最值. 9.【2015 高考浙江,理 2】某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是( ) A. 8cm
3

B. 12cm

3

C.

32 3 cm 3

D.

40 3 cm 3

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【答案】C.

【考点定 位】1.三视图;2.空间几何体的体积计算. 10.【2015 高考新课标 2,理 6】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与 剩余部分体积的比值为( A. ) C.

1 8

B.

1 7

1 6

D.

1 5

【答案】D 【解析】由三视图得,在正方体 ABCD ? A ,设正方体棱长为 a ,则 1B 1C1D 1 中,截去四面体 A ? A 1B 1D 1 ,如图所示,

1 1 1 1 5 1 VA? A1B1D1 ? ? a 3 ? a 3 ,故剩余几何体体积为 a 3 ? a 3 ? a 3 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 , 3 2 6 6 6 5
故选 D. 【考点定位】三视图.

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D1

C1

A1 D

B1 C

A

B

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