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第5章力学准则法


第5章

力学准则法
5.1 概述

最优准则法: 最优准则法:
利用"最优性准则"在满足各种约束的设计方案中寻求最优设计方案的一种方法. 利用"最优性准则"在满足各种约束的设计方案中寻求最优设计方案的一种方法.

力学准则:亦称感性准则, 力学准则:亦称感性准则,从直观力学概念出发 理性准则: Kuhn-Tucker局部优性条件出发 理性准则:从Kuhn-Tucker局部优性条件出发 力学准则法(感性准则):利用准则的满足代替使目标函数取极值 力学准则法(感性准则):利用准则的满足代替使目标函数取极值 ):利用准则的满足

其本思路 充分发挥材料的强度潜力,刚度潜力和贮能能力,使结构材料最省. 充分发挥材料的强度潜力,刚度潜力和贮能能力,使结构材料最省. 力学准则法只能寻求结构的最小体积或近似最小体积设计. 力学准则法只能寻求结构的最小体积或近似最小体积设计. 大体一致时,最小体积设计就等于或接近最轻设计. 当结构各部分的容重 ρ 大体一致时,最小体积设计就等于或接近最轻设计. 分类 等强度准则—— ——满应力设计 1)等强度准则——满应力设计 要求尽可能使结构在使用过程中各构件的 最大应力都能达到其允许值. 最大应力都能达到其允许值. 2)同步失效准则——满约束准则——满约束设计 同步失效准则——满约束准则——满约束设计 ——满约束准则—— 要求在结构设计时使尽可能多的不等式约束同时达到临界. 要求在结构设计时使尽可能多的不等式约束同时达到临界. 当不等式约束主要是应力约束时, 当不等式约束主要是应力约束时,满约束准则就退化为满 应力准则,后者是前者的特殊情况. 应力准则,后者是前者的特殊情况. 3)能量准则 尽可能充分发挥材料的贮能(应变能)的能力. 尽可能充分发挥材料的贮能(应变能)的能力. 材料的贮能能力是与其强度和刚度相关联的, 材料的贮能能力是与其强度和刚度相关联的, 因此能量准则常常与满约束准则相一致或接近. 因此能量准则常常与满约束准则相一致或接近.

优点 物理概念清楚,与过去的设计思想相衔接,容易为工程设计人员所接受; 物理概念清楚,与过去的设计思想相衔接,容易为工程设计人员所接受; 算法简单,迭代收敛较快,且结构重分析的次数与设计变量的数目无关, 算法简单,迭代收敛较快,且结构重分析的次数与设计变量的数目无关, 比较适合中小型和大型结构的优化设计. 比较适合中小型和大型结构的优化设计. 缺点 适用范围较窄,只能用于最小体积设计或最轻设计; 1)适用范围较窄,只能用于最小体积设计或最轻设计; 在某些情况下有失效的可能性; 2)在某些情况下有失效的可能性; 没有直接建立与目标函数的关系,并不能保证使目标函数最小. 3)没有直接建立与目标函数的关系,并不能保证使目标函数最小.

5.2

满应力设计法

一,满应力设计法的基本概念 1)满应力设计的对象: )满应力设计的对象: 满应力设计的对象一般是结构布局已订并具有应力约束和尺寸约束的结构. 满应力设计的对象一般是结构布局已订并具有应力约束和尺寸约束的结构. 2)满应力设计准则: )满应力设计准则: 严格满足应力设计: 严格满足应力设计: 当只有应力约束时, 当只有应力约束时,满应力设计要求结构的每一个构件至少在一个工况 下达到满应力,即至少在一种荷载状态下应力等于其允许值. 下达到满应力,即至少在一种荷载状态下应力等于其允许值. 广义应力设计: 广义应力设计: 当还有截面最小尺寸的几何约束时, 当还有截面最小尺寸的几何约束时,则要求每一构件在强度约束和尺寸 约束中至少使其中一个达到临界. 约束中至少使其中一个达到临界.
3)静定结构的满应力设计: )静定结构的满应力设计:

根杆件, 种工况. 设某静定结构有 N 根杆件, p 种工况. 第 i 杆在第 j 工况中最不利内力的绝对值为 Fij ( j = 1, 2, , p ). 设其中最不利者为 Fi ,即 Fi = max( Fi1 , Fi 2 ,, Fip ) = max( Fij ) j

(一)严格满应力设计 选择设计方案
A = [ A1 , A2 , , AN ]T ,使

σi =

F Ai* = ia 则 σi

Fi ≤ σ ia (i = 1, 2, , N ) Ai

,可以证明:静定结构的严格满应力解=最轻解. 可以证明:静定结构的严格满应力解=最轻解.

(二)广义满应力设计
Ai* = min(

σ ia

Fi

, Ail )

(三)受弯构件
σi =
Mi M ≤ σ ia Si* = ai Si σi

F M σ i = i + i ≤ σ ia Ai Si

A = aI α Si*和Ai* β S = bI

4)超静定结构的满应力设计 ) 1.静定满应力解总存在,且不止一个; 静定满应力解总存在,且不止一个; 静定满应力解总存在 2.在单工况下 一般地说,不可能使全部构件达到满应力; 在单工况下, 2.在单工况下,一般地说,不可能使全部构件达到满应力; 3.能否实现满应力设计 不仅取决于结构,而且与荷载和工况数有关; 能否实现满应力设计, 3.能否实现满应力设计,不仅取决于结构,而且与荷载和工况数有关; 4.保持原结构布局的超静定严格满应力解不一定存在 保持原结构布局的超静定严格满应力解不一定存在. 4.保持原结构布局的超静定严格满应力解不一定存在. 5.超静定结构满应力解存在性的判别 5.超静定结构满应力解存在性的判别 存在原结构布局严格满应力解的必要条件为:p = N / S 存在原结构布局严格满应力解的必要条件为: 式中: 式中:

p

——工况数; ——工况数; 工况数

N ——杆件数; ——杆件数 杆件数; S ——满应力度: ——满应力度 满应力度:
满应力度:当允许对结构施加任意荷载时, 满应力度:当允许对结构施加任意荷载时,在一个工况下可以达到满应力的 杆数的最大值.也就是在结构位移可行域边界各个顶点中, 杆数的最大值.也就是在结构位移可行域边界各个顶点中,最多汇交的满应 力约束面的数目. 力约束面的数目.
6.由于超静定结构的内力与各杆件的截面性质有关, 由于超静定结构的内力与各杆件的截面性质有关, 由于超静定结构的内力与各杆件的截面性质有关 没有一个简单的方法可以直接求出满应力解.一般可用迭代的方法逐步逼近满应力解. 没有一个简单的方法可以直接求出满应力解.一般可用迭代的方法逐步逼近满应力解.

二,应力比法
1)估选初始设计方案(选定初始点) )估选初始设计方案(选定初始点) 初始点: 初始点:
(0) (0) A (0) = [ A1(0) , A2 , , AN ]T

进行力学分析,求出各构件在各工况中的最不利应力
(0) σ i(0) = max(σ ij )

式中 σ 为第 i 杆在第 j工况的应力. 工况的应力. σ i(0)为第 i 杆在各工况中的最不利应力. 杆在各工况中的最不利应力.
(0) ij

j

2)修改截面 )
a (0) 相比较. 将 σ i 与其允许值 σ i 相比较.

a (1)若 (0) (1)若 σ i < σ i ,表示材料未充分发挥作用,可减小其截面 表示材料未充分发挥作用,可减小其截面

(2 )若 σ i

(0)

表示材料超载, > σ ia ,表示材料超载,应增加其截面

i(0)

假设:修改截面后各杆件内力不变. 假设:修改截面后各杆件内力不变.
σ i(1) Ai(1) = σ i(0) Ai(0)
(1) a (1) 且 σ i 达到满应力,即 σ i = σ i ,因此 达到满应力,

(0) 称为应力比. 式中 i 称为应力比.

σ i(0) (0) A = a Ai = i(0) Ai(0) (i = 1, 2, , N ) σi
(1) i

可用 Ai(1) 作为下一轮迭代循环的初始点 迭代公式: 迭代公式:

Ai( k +1) = i( k ) Ai( k ) (i = 1, 2, , N )

Ai ≥ Ail 若还规定有截面尺寸约束

迭代公式: 迭代公式: Ai( k +1) = max{i( k ) Ai( k ) , Ail }
这种逐次逼近的方法称为应力比法, 比例满应力法. 这种逐次逼近的方法称为应力比法,或比例满应力法. 应力比法

3)迭代终止条件 )
Ai( k 1) 1 ≤ ε1 (i = 1, 2, , N ) Ai( k )

i( k ) 1 ≤ ε 2
改进措施

采用应力比法求超静定结构满应力解得迭代次数较多,一般需要十几次, 采用应力比法求超静定结构满应力解得迭代次数较多,一般需要十几次, 改进措施之一是在迭代公式中引入一个"超松弛系数" 以加快收敛速度: 改进措施之一是在迭代公式中引入一个"超松弛系数",以加快收敛速度:
Ai( k +1) = ( i( k ) )η Ai( k )

η —超松弛系数,或应力比指数 超松弛系数,
对于拉杆, 对于拉杆, 可取

η 值大于 (如1.3左右).然后逐步减小到使之趋于 . 值大于1( 左右).然后逐步减小到使之趋于1. 左右).然后逐步减小到使之趋于
对于压杆, 对于压杆,可取 η = 1 0.05 λ ,式中

λ = l / r 为杆件的长细比. 为杆件的长细比.

迭代收敛性

满应力设计的迭代收敛性,用数学方法证明很困难, 满应力设计的迭代收敛性,用数学方法证明很困难,实践中主要靠观察收敛过 程和利用力学判断来解决. 程和利用力学判断来解决. 正常型结构:性质上接近静定结构,收敛的较快; 正常型结构:性质上接近静定结构,收敛的较快; 交感型结构:收敛较慢,甚至不能收敛. 交感型结构:收敛较慢,甚至不能收敛.

三,分布优化法
1.基本思路 基本思路 对现行结构设计方案在各种工况下进行 结构整体分析,得到它的内力分布, (1)结构整体分析,得到它的内力分布, 然后在暂时冻结内力的假定下, (2)然后在暂时冻结内力的假定下, 修改各部分的设计变量, (3)修改各部分的设计变量, 再将各部分重新集合起来,得到一个新方案, (4)再将各部分重新集合起来,得到一个新方案, 这样就完成了一次循环.接下去再进行下一次循环,直到收敛. 这样就完成了一次循环.接下去再进行下一次循环,直到收敛.
结构整体分析 冻结内力 修改各部分的设计变量

重新集合起来

2.实现问题 2.实现问题 主要取决于约束条件的性质 约束条件: 约束条件: (1)局部性约束: 局部性约束: 只涉及结构的各个部分. 只涉及结构的各个部分. 如截面尺寸约束,应力约束,局部稳定约束,局部相对变形约束等. 如截面尺寸约束,应力约束,局部稳定约束,局部相对变形约束等. (2)整体性约束: 整体性约束: 牵涉到整体结构.如结点位移约束,结构整体稳定性约束,频率约束. 牵涉到整体结构.如结点位移约束,结构整体稳定性约束,频率约束.
分部优化只能对局部性约束条件适用,如果在约束条件中包含了整体性约束, 分部优化只能对局部性约束条件适用,如果在约束条件中包含了整体性约束, 则只能进行整体优化,不过可以利用一些分部优化的技巧来简化计算. 则只能进行整体优化,不过可以利用一些分部优化的技巧来简化计算.

3.迭代步骤 迭代步骤

1)给出初始点 x(0) ; )
(0) 2) 按 x 进行结构整体分析,求出各部分受力状态; 进行结构整体分析,求出各部分受力状态;
(1) 若 3) 假定内力分布不变,对各部分进行优化,求出新的设计方案 x ; 假定内力分布不变,对各部分进行优化,
(1) (0) (1) 4)若 W W ≤ ε ,则停止运算.否则将 x 作为 x (0) 转入步骤2) ) 则停止运算. 转入步骤2 (0)

W

5.3
一,基本思路

能量准则法

充分发挥材料的贮能(应变能)作用,使所用材料最省或结构最轻. 充分发挥材料的贮能(应变能)作用,使所用材料最省或结构最轻. 能量准则法 满应变能准则, 满应变能准则, 应变能密度准则, 应变能密度准则, 最大总应变能准则. 最大总应变能准则.

二,应变能密度准则 作用下(单工况),具有能量约束的结构最轻设计问题. ),具有能量约束的结构最轻设计问题 考虑在一组荷载 P [ P1 , P2 , , Pm ] 作用下(单工况),具有能量约束的结构最轻设计问题.
T

求 最优A* n 使 结构重量W ( A ) = ∑ ρi Li Ai → min i =1 并满足总应变能约束 U ≤ U a
为结构的总应变能, 式中 U 为结构的总应变能,U =

1 T P u ,是总应变能的最大允许值 U a . 2

能量约束实际上代表对结构的一个广义的刚度要求,是一个综合性的位移约束. 能量约束实际上代表对结构的一个广义的刚度要求,是一个综合性的位移约束.
W >0 因为 As 最轻解要求此约束达到临界, 最轻解要求此约束达到临界,亦即使
N i =1

1 U = uT [ K ] u 2

U =Ua

,这时Langrange函数为 这时 函数为

L( A, λ ) = ∑ ρi Li A + λ (U U a )

根据L 条件: 根据L-T条件:

L U = ρ s Ls + λ = 0 ( s = 1, 2, , N ) As As
U U 可以证明, = 可以证明, As As
证明: 证明: 为单元的应变能. , U s = uT [ K s ] u s 为单元的应变能. s
1 2

U=

1 T P u 2

1 U = uT [ K ] u 2

U 1 T u = P A As 2 s T U 1 u k u = ku + u T u + u Tk A As 2 s As As

U U = 证明: 证明: As As
证明: 证明:

U=

1 T P u 2

U 1 T u = P As 2 As

ku = P
U 1 T -1 k = P k As 2 As

k u u+k =0 As As

u k = k -1 u As As

1 k u = (ku)T k -1 2 As

1 k u = uT u 2 As

U U 1 k 1 T k = uT u = us s us = s As 2 As 2 As As

L U = ρ s Ls + λ = 0 ( s = 1, 2, , N ) As As
U U = s As As Us 1 = Ws λ
结构总应变能 U = ∑U s =
s =1 N

ρ L λ
s s

Us =0 As

U As ρ s Ls λ s = 0 As
W

1

λ

∑W
s =1

N

s

=

λ

Us U 1 = = Ws W λ

的结构最轻设计的能量准则为: 这样就得到单工况下, 这样就得到单工况下,满足广义刚度要求 U ≤ U a 的结构最轻设计的能量准则为: 所有各构件的应变能密度相同,等于结构总的应变能密度. 所有各构件的应变能密度相同,等于结构总的应变能密度. Us U a 在结构最轻情况下, 在结构最轻情况下, = U a , W = W ,因而 U = = max min
Ws Wmin

即在最轻情况下,结构所接受的应变能密度最大, 即在最轻情况下,结构所接受的应变能密度最大, 并且应变能在整个结构上按重量均匀分布. 并且应变能在整个结构上按重量均匀分布.

三,应变能密度准则迭代公式

根据

Us U a = Ws Wmin

可得

Us W a =1 Ws U

开方后等式两边均乘以

As

,得

As = As

Us W a Ws U

这样便得到Venkayya建议的递推公式 这样便得到Venkayya建议的递推公式 Venkayya

As( k +1)

WU s (k ) = As WUa s

(k )

5.3
一,概述

齿行法

分部优化设计— 分部优化设计 假定: 在调整时各部分所受内力不变" 假定:"在调整时各部分所受内力不变" 这个假定人为地割断了个部分和整体之间的联系, 这个假定人为地割断了个部分和整体之间的联系, 割断了个部分 之间的联系 这样便带来三个后果: 这样便带来三个后果:
1)各部分分别局部优化后,整个结构是不协调的,因而必须多次迭代进行调整; 各部分分别局部优化后,整个结构是不协调的,因而必须多次迭代进行调整; 2)不排除结构整体的"不可行性" 不排除结构整体的"不可行性" 3)最后得到的结果并不能保证就是结构整体最优的方案. )最后得到的结果并不能保证就是结构整体最优的方案.

分部优化法的优越性— 步骤简单 ;收敛迅速 . 分部优化法的优越性 结构设计中— 结构设计中 局部性约束是大量的 ;整体性约束是少量的 . (1)齿行法的基本思路: )齿行法的基本思路: 局部性约束和整体性约束,通过分部优化 整体调整两种手段 分部优化和 分别对待局部性约束和整体性约束,通过分部优化和整体调整两种手段 对结构体进行优化. 对结构体进行优化.
分部优化—利用满应力(满位移)条件,决定搜索方向. 分部优化 利用满应力(满位移)条件,决定搜索方向. 利用满应力 整体调整—及时把设计点拉回到可行域的边界上来. 整体调整 及时把设计点拉回到可行域的边界上来.

(2)齿行法的基本步骤:分部优化—满应力准则,满位移准则; 齿行法的基本步骤:分部优化—满应力准则,满位移准则; 整体调整—利用射线步进行可行性调整. 射线步进行可行性调整 整体调整—利用射线步进行可行性调整.

二,射线步 最优解—落在可行域边界约束面的交点 最优解 落在可行域边界约束面的交点 得公切点上. 或边界面与目标函数等值面得公切点上. 应该沿可行域的边界面搜索寻找最优解. 应该沿可行域的边界面搜索寻找最优解. 应把当前设计点拉回到当前最严约束面上. 应把当前设计点拉回到当前最严约束面上.

已知: A ( k )和S 求: α 使 A ( k +1) = A ( k ) + α S落在当前最严约束面上
最简单的一种可行性调整办法—射线步或比例步 最简单的一种可行性调整办法 射线步或比例步

α = c 1
A ( k +1) = A ( k ) + α S

S = A(k )

A ( k +1) = cA ( k )

A ( k +1) = cA ( k )

A(k )

1)结构响应与方案调整的关系 )

A ( k +1) A ( k +1)

假设: 假设: A(k ) 1.结构处于线弹性范围内; 结构处于线弹性范围内; 结构处于线弹性范围内 2.构件刚度为设计变量的线性齐次函数; 构件刚度为设计变量的线性齐次函数; 构件刚度为设计变量的线性齐次函数 3.荷载向量 P 与设计向量 A 无关. 荷载向量 无关.
( k +1) = cA ( k ) 调整设计方案,则有下述关系成立: 调整设计方案,则有下述关系成立: 若按 A

1) K 3) F

( k +1)

= c K

(k )



( k +1)

= F(k )

1 (k ) = u 2) u c 1 ( k +1) = σ(k ) 4) σ c
( k +1)

证明如下: 证明如下: 1.显然成立,例如绗架单元 显然成立, 显然成立
2. 3.

u ( k +1) F ( k +1)
( k +1)

K e = EA / l 1 ( k ) 1 1 (k ) ( k +1) 1 ( k ) 1 P = cK P = K P = u = K c c 1 = K ( k +1) u ( k +1) = c K ( k ) u ( k ) = K ( k ) u ( k ) = F ( k ) c

4. σ

F ( k +1) F(k ) 1 (k ) = ( k +1) = = σ (k ) A cA c

3.射线步公式 射线步公式 当设计点 A( k ) 求出后,需要把它拉回到最严的应力约束面上, 求出后,需要把它拉回到最严的应力约束面上, 为此, 为此,首先求出 A
(k )

的各应力比

(k ) i

σ i( k ) = a ,令其最大者为 σi

(k ) ( ( max = 1( k ) , 2k ) , , Nk ) = (j k )
(k ) 可行性调整比例系数 c = max ,最新设计点
(k ) A ( k +1) = max A ( k )

则 A( k +1) 将沿射线方向落到最严约束面 σ j = σ a 上,证明如下: 证明如下: j

σ i( k +1)

a σ i( k ) σ i( k )σ ia i( k ) a = σ i , 当i = j = = (k ) = a (k ) = (k ) σ i a max σ i max j c ≤ σ i , 当i ≠ j

σ i( k )

σ

( k +1) i

i( k ) a = (k ) σ i max



( k +1) i

σ i( k +1) i( k ) = = (k ) a σi max



( k +1) i

i( k ) = (k ) max

i = 1, 2, , N

把设计点拉到最严的位移约束面上
(k ) W ( k +1) = maxW ( k )

1 u ( k +1) = u ( k ) c

三,只有应力约束时的齿行法 1)基本思路: )基本思路: 只有应力约束时的结构,可以引入如下的优化方法: 只有应力约束时的结构,可以引入如下的优化方法:
使设计点落到当前最严的约束面上

在每产生一个方案之后

射线步

满应力步

直至连续二个可行设计点足够接近 或它们的目标函数值开始增加为止. 或它们的目标函数值开始增加为止.

由于这个迭代过程在设计空间的轨迹呈锯齿行, 由于这个迭代过程在设计空间的轨迹呈锯齿行,故称为齿行法

2.迭代程序 2.迭代程序
(0) (1)选取初始点 (1)选取初始点 A

进行力学分析, 进行力学分析,求出应力比

(k ) i

σ i( k ) (k ) ( ( = a , max = 1( k ) , 2k ) , , Nk ) = (j k ) ; ; σi

(2)射线步. 射线步. (1) (0) (0) 移到当前最严约束面上 A = max A i(0) (1) (1) (1) 计算 A 得目标函数值 W ,并求出新的应力比 i = (0) (3)调整步(满应力步) (3)调整步(满应力步) 调整步 按满应力准则求下一个设计点
(2) (1 ) (1 )

(1) A = i Ai Ai(2) = max A (1) (i = 1, 2, , N )

max

(i = 1, 2, , N )

(4)迭代收敛条件 (2) 以上完成一次循环(包括一次射线步,一次调整步), ),将所得 以上完成一次循环(包括一次射线步,一次调整步),将所得 A
(2k + 1) 作为下一次循环的初始点,如此反复迭代, 作为下一次循环的初始点,如此反复迭代,直到 W (2 k +3) W (2 k =1) ≥ ε1



A (2 k +3) A (2 k =1) ≤ ε 2 为止. 为止.

(2k + 1)

(5)输出最优方案 A* = A(2 k +3) * * W = W ( A )

近似局优解. 近似局优解.

四,带有位移约束时的齿行法
1.基本思路 基本思路 最严约束 应力约束 位移约束 使设计点落到当前最严的约束面上 (同时考虑应力约束和位移约束 ) 同时考虑应力约束和位移约束

在每产生一个方案之后

射线步

满应力步 满位移步

直至连续二个可行设计点足够接近 或它们的目标函数值开始增加为止. 或它们的目标函数值开始增加为止.

优化设计问题描述: 优化设计问题描述: 求设计变量 使结构重量 并满足约束

Ai (i = 1, 2, , N )
W = ∑ ρi Li Ai → min
i =1 n

σ iq ≤ σ ia (q = 1, 2, , p )
u jq ≤ u a (i = 1, 2, , n) j Ai ≥ Ail ( j = 1, 2, , m)

方案: 处理位移约束和应力约束时,先不管尺寸约束. 方案:在处理位移约束和应力约束时,先不管尺寸约束. 每一个迭代循环中都用优化准则步得到新的设计点后, 每一个迭代循环中都用优化准则步得到新的设计点后, 再检验尺寸约束, 再检验尺寸约束,当某个 Ai < Ail 时,令 Ai = Ail .

2. 射线步
( ( 应力比 iqk ) = σ iqk ) / σ ia (k ) (k ) a 位移比 γ iq = u jq / u j

(k ) ( ( γ max = max iqk ),γ iqk ) i , j ,q

完成了射线步

( k +1) (k ) A = γ max A ( k ) ( k +1) 1 u = ( k ) u( k ) γ max ( k +1) 1 = (k ) σ(k ) σ γ max

并有总刚度矩阵

(k ) K ( k +1) = γ max K ( k )

3. 满应力步 射线步把设计点射到应力最严约束面上, 把设计点射到应力最严约束面上 若射线步把设计点射到应力最严约束面上, 则用满应力准则来修改设计变量: 则用满应力准则来修改设计变量:

Ai( k +1) = ( i( k ) )η Ai( k )
式中, 式中,
(k ) i

(k ) (k ) σ i( k ) σ ( k ) = max(σ ( k ) ) = a ,i iq ,即 i = max( iq ) , q q σi

η ≤ 1 是控制步长的阻尼系数. 是控制步长的阻尼系数.
无位移约束 有位移约束

=1
取与位移步相同的值. < 1 ,取与位移步相同的值.

4. 满位移步
若射线步把设计点射到位移最严约束面上,则用满位移准则来修改设计变量. 射线步把设计点射到位移最严约束面上,则用满位移准则来修改设计变量. 把设计点射到位移最严约束面上 这里需要求解一个子规划问题: 这里需要求解一个子规划问题:

求 A n ( P1) 使 W = ∑ ρi Li Ai → min i =1 并满足最严约束 u = u a jq j
这里沿最严约束搜索,只需考虑这一个约束, 这里沿最严约束搜索,只需考虑这一个约束,所以约束取等号

构造Langrange函数: 函数: 构造 函数 根据K-T条件得 条件得 根据

L( A, λ ) = ∑ ρi Li A + λ (u jq u a ) j
i =1

N

L =0 Ai
L =0 λ
将式(1)乘 Ai 以并求和,可得 以并求和, 将式( )

ρi Li + λ

u jq Ai

= 0 (i = 1, 2, , N )

(1)

u jq u a = 0 j

(2)

W + λ ∑ Ai
i =1

N

u jq Ai

=0

(3)

上式中

∑A
i =1

N

u jq Ai

i

= u jq

(4)

证法

∑A
i =1

N

u jq Ai

i

= u jq

结构分析的基本方程为 左右两端分别对

[ K ]{u}q = {P}q
u K + {u}q = 0 Ai q Ai

Ai

求偏导: 求偏导: [ K ]

u K K ] = [ {u}q Ai q Ai

左右两端乘以

N u K [ K ] ∑ Ai = ∑ Ai {u}q i =1 i =1 Ai q Ai N

Ai

并求和: 并求和:

根据杆件刚度与

Ai
N

间的线性关系, 间的线性关系,有 线性关系

K Ai ∑ A = [ K ] i =1 i
N

∑A
i =1

u jq Ai

i

= u jq

将式( )代入式( ),并考虑到式( ),便可求出Langrange乘子 ),并考虑到式 ),便可求出 将式(4)代入式(3),并考虑到式(2),便可求出 乘子

L =0 λ

u jq u a = 0 j

(2)

∑A
W + λ ∑ Ai
i =1 N

N

u jq Ai

u jq Ai

i =1

i

= u jq (4)

=0

(3)

λ=
L =0 Ai

W ua j

(6)

ρi Li + λ

u jq Ai

= 0 (i = 1, 2, , N ) (1)

W 1 + a u j ρi Li

u jq Ai

= 1 (i = 1, 2, , N )

(7)

满位移步公式

A

( k +1) i

W 1 u jq = a u j ρi Li Ai

(k ) Ai

= ∑∫

MM P NN P kQ QP ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA GA

式中

u jq

为相应于最严约束的工况 q 作用下的
N

j

号位移.其一阶导数为: 号位移.其一阶导数为:

u jq

= Ai Ai

u jq

Fkq Fk j Lk Fi q Fi j Li N Fkq Fk j Lk Fk j Fkq Lk ∑ A E = A2 E + ∑ A A E + A A E k =1 k =1 k k i i i k k i k k
= 0 虚位移原理

Fi q Fi j Li = 2 Ai Ai Ei
q j

满位移步公式

式中

(k ) 中引起的内力. 中引起的内力.它们都与设计点 Ai 相应. η 相应. η ≈ 0.2 效果较好. 效果较好.

W Fi Fi ( k ) A = A (i = 1, 2, , N ) ρ u a A2 E i i j i i Fi q 为工况 q 中杆件的内力, Fi j 为沿位移 j 方向的单位力在杆 i 中杆件的内力,
( k +1) i

η

为控制步长的阻尼系数. 为控制步长的阻尼系数.

i
A
( k +1) i

W Fi Fi ( k ) = A (i = 1, 2, , N ) ρ u a A2 E i i j i i
q j

η

当满位移迭代公式中圆括号内为负值时,该式无意义, 当满位移迭代公式中圆括号内为负值时,该式无意义,说明第 杆截面不能用满位移步调整.这时该杆截面可保持不变, 杆截面不能用满位移步调整.这时该杆截面可保持不变, 或根据当前最严的应力约束,用满应力准则步修改截面. 或根据当前最严的应力约束,用满应力准则步修改截面.

5. 迭代程序 (0) 1)选定初始方案 A ) 进行力学分析,求其应力比和挠度比: 进行力学分析,求其应力比和挠度比:i 2)射线步 ) 求出所以应力比和挠度比中的最大者
(0)

(0) σ iq u (0) (0) = a , γ iq = jq σi ua j

(k ) γ max

(0) (0) (0) , γ max = max iq ,γ iq i , j ,q

(1) (0) (0) 将设计点引到当前最严的约束面上, 将设计点引到当前最严的约束面上, A = γ max A (0) iq (1) 按下式求应力比 iq = ( k ) γ max 3)调整步

若最严约束是应力约束,走满应力步, 若最严约束是应力约束,走满应力步,则其调整截面为 Ai ( 式中 i(1) = max iqk )
q

()

= ( i(1) )η Ai(1)

若最严约束是位移约束, 若最严约束是位移约束,并且
η

u jq Ai

< 0 ,走满位移步,则其调整截面为 走满位移步,
η

Ai( )

W u jq (1) W Fi q Fi j (1) = a A Ai = ρ u a A2 E i ρi u j Li Ai i j i i

检查尺寸约束, 检查尺寸约束,使各杆 当

u jq Ai

Ai ≥ Ail

,确定

) ≥ 0 时,可令 Ai( k +1) = Ai( k,或根据当前最严应力约束确定 Ai( k +1).

Ai(2) = max ( Ai( ) , Ail )

4)迭代收敛条件 以上完成一次循环, 作为下一次循环的初始点, 以上完成一次循环,将所得 A(2) 作为下一次循环的初始点, 如此反复迭代,直至射线步后所得目标函数不再减小, 如此反复迭代,直至射线步后所得目标函数不再减小, 或满足其他收敛条件为止. 即 W (2 k +3) W (2 k =1) ≥ ε1 或满足其他收敛条件为止. 5)输出最优方案,以最后二次射线步后所得点之一作为近似最轻点.即 )输出最优方案,以最后二次射线步后所得点之一作为近似最轻点.

A* = A (2 k +3) 或

A (2 k +1)


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