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人教版高中数学选修2-2学案:1.5.2汽车行驶的路程

1.5.2 汽车行驶的路程 【学习目标】 1.会求较简单的曲边梯形的面积、变速直线运动的路程; 2.了解“以直代曲” 、 “以不变代变”的数学思想方法; 3.通过实例(求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等) ,从问题的情境中了解定积分 的实际背景. 【新知自学】 新知梳理: 1.曲边梯形的面积 如右图,曲边梯形是指由直线 x=a,x=b(a≠b),_________________和曲线 y=f(x)围成的图 形(如图①) . 2.求曲边梯形的面积的方法和步骤 (1) 分割: 把区间[a,b]分成许多小区间, 进而把曲边梯形拆分成一些________________(如 图②); (2)近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲” ,即用_____________的面积代替小曲边 梯形的面积,得到每个小曲边梯形的面积的______________(如图②); (3)求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的______________求和; ( 4 )取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个 _______________,即为曲边梯形的面积. y y=f(x) y y=f(x) O a b x O a b x 图① 图② 3.求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速直线运动,速度函数 v ? v(t ) , 那么也可以采用 _________、 _______、 ___________、__________的方法,求出它在 a≤t≤b 内所经过的位移 s. 对点练习: 1.把区间[1,3]分成 n 等份,所得 n 个小区间,每个小区间的长度为( A. ) 1 n B. 2 n C. 3 n D. 1 2n ) 2.把区间 [ a, b] ( a ? b) n 等分后,第 i 个小区间是( i ?1 i , ] n n i ?1 i (b ? a ), (b ? a )] B. [ n n A. [ i ?1 i ,a ? ] n n i ?1 i (b ? a ), a ? (b ? a )] D. [a ? n n C. [a ? 3.在“近似替代”中,函数 f ( x) 在区间 [ xi , xi?1 ] 上的近似值( A.只能是左端点的函数值 f ( xi ) B.只能是右端点的函数值 f ( xi ?1 ) C.可以是该区间内的任一函数值 f ??i ?(?i ? [ xi , xi?1 ] ) D.以上答案均正确 4. 汽车以 v ? v(t ) (函数 v ? v(t ) 在 (0,??) 上为连续函数)在笔直的公路上行使, 在 [0,2] 内经过的路程为 S ,下列说法中正确的是 __________ . (1)将 [0,2] n 等分,若以每个小区间左端点的速度近似替代时,求得的 S n 是 S 的不足近 似值( S n ? S ); (2)将 [0,2] n 等分,若以每个小区间右端点的速度近似替代时,求得的 S n 是 S 的过剩近 似值( S n ? S ); (3)将 [0,2] n 等分,当 n 很大时,求出的 S n 就是 S 的准确值; (4) S 的准确值就是由直线 t ? 0, t ? 2, v ? 0 和曲线 v ? v(t ) 所围成的图形的面积. ) 【合作探究】 典例精析: 例 1. 求由抛物线 y=x2 与 x 轴及 x=1 所围成的平面图形的面积 S. 例 2.汽车以速度 v 组匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程为 S ? vt .如果汽车作 变速直线运动,在时刻 t 的速度为 v ?t ? ? ?t ? 2 (单位:km/h) ,那么它在 0≤ t ≤1(单位: 2 h)这段时间内行驶的路程 S (单位:km)是多少? 规律总结: 求曲边梯形的面积: (1)思想:以直代曲、逼近; (2)步骤:分割 ?近似代替 ? 求和 ? 取极限;关键:近似代替;结果:分割越细,面积 越精确. 【课堂小结】 【当堂达标】 1.已知函数 f ( x) ? x ,则函数的图象与直线 x ? 1, y ? 0 所围成的区域的面积为( ) A. 1 2 B.1 C.2 D.0 ) 2.函数 f(x)=x2 在区间 [ i ?1 i , ] 上( n n A.f(x)的值变化很小 B. f(x)的值变化很大 C. f(x)的值不变化 D.当 n 很大时, f(x) 的值变化很小 3.求由直线 x=1,x=2,y=0 和曲线 y=lnx 所围成的图形的面积时的不足近似值是__________; 过剩近似值是______________________. 【课时作业】 ?2t 2 (0 ? t ? 3) ? 1.一质点在作直线运动时,其速度 v(t ) ? ?18 (3 ? t ? 7) (单位: m / s ), ?? 3t ? 39 (7 ? t ? 13) ? 则此质点在区间_____内作加速度越来越快的变加速运动; 在区间________内作速度为_________匀速运动; 在区间______内作加速度大小为_______的匀____ 速运动; 这一质点在这 13 s 内的运动路程为 ________ m . 2.求由直线 x ? 0, x ? 1, y ? 0 和抛物线 y ? 2 x 2 所围成的图形的面积. 3.已知自由落体物体的运动速度 v ? gt ,求在时间区间[0,t]内物体下落的距离