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北京市十一学校高一期末数学模拟试题(一)答案


高一直升班期末模拟试题 数
1.命题" x > 0 ,都有 x x ≤ 0 "的否定是
2

学 (理科)

二,填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲,乙两班 甲 各随机抽取了 5 名学生的学分,用茎叶图表示(如右图).
s1 , s2 分别表示甲,乙两班各自 5 名学生学分的标准差,



一,选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. ( B )

则 s1

s2 .(填" > "," < "或"=")答案: <

8 5 4 1 2

0 1 2

7 8 2 2 1

A. x > 0 , 使得 x2 x ≤0 B. x > 0, 使得 x2 x >0 C. >0, x 都有 x2 x >0 D. x ≤ 0 , 都有 x2 x > 0 2.已知双曲线 x 2
A.1 y2 = 1 ,那么它的焦点到渐近线的距离为 3 B. 3
C .3

10.已知向量 a = (1, 0) , b = ( x,1) ,若 a b = 2 ,则 x =

; a+b =

.

(B)
D.4

答案 2; 10

11 .双曲线

x 2 16 y 2 2 =1 3 p

( p > 0)

的左焦点在抛物线 y 2 = 2 px 的准线上,则该双曲线的离心率为

3.已知 m, n 为两条不同直线, α , β 为两个不同平面,那么使 m // α 成立的一个充分条件是( C B. m ⊥ β , α ⊥ β A. m // β , α // β
C. m ⊥ n, n ⊥ α , m α D. m 上有不同的两个点到 α 的距离相等

)
11.

2 3 3 1 , 8
开始 输入 x 是 否

4.先后两次抛掷一枚骰子,在得到点数之和不大于 6 的条件下,先后出现的点数中有 3 的概率为(C) A.

12.阅读右图所示的程序框图,若运行该程序后输出的 y 值为

1 6

B.

1 5

C.

1 3

D.

2 5

则输入的实数 x 值为________________.12.

0 ≤ x ≤ 2, 5 .已知关于 x,y 的不等式组 x + y 2 ≥ 0, 所表示的平面区域的面积为 4,则 k 的值为 kx y + 2 ≥ 0 B . 3 C.1 或 3 D.0 A.1 答案:A 6. .按照如图的程序框图执行,若输出结果为 15,则 M 处条件为 B. k < 8 C. k < 16 D. k ≥ 8 A. k ≥ 16 答案:A 7 .已知动圆 C 经过点 F (0 , 1), 并且与直线 y = 1 相切,若直线 3x 4 y + 20 = 0 与圆 C 有公共点,则圆 C 的面积 B.有最小值为 π A.有最大值为 π C.有最大值为 4π D.有最小值为 4π 答案:D x2 点 若存在过 P 的直线交曲线 C 于 A 点, 8. P 在曲线 C : + y 2 = 1 上, 4
开始

3 4

13.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面 积为__________________. 13. 24 + 12π
2 2

x>0

y = 2x2 1

1 y = 2

x

3

3

k=1
1 2 1 1 2 1

输出 y 结束

S=0


正视图

侧视图

M


俯视图

S=S+k k = 2×k

输出 S 结束

14.设直线 3x+4y-5=0 与圆 C1: x + y = 4 交于 A, B 两点, 若圆 C2 的圆心在线段 AB 上, 且圆 C2
2 2 ⌒

交直线 l :x = 4 于 B 点, 满足 PA = PB 或 PA = AB , 则称点 P 为"H 点",那么下列结论正确的是 D A.曲线. C .上的所有点都是"H 点" C.曲线 C 上的所有点都不是"H 点"

与圆 C1 相切, 切点在圆 C1 的劣弧 AB 上, 则圆 C2 的半径的最大值是_______.14.1

B.曲线 C 上仅有有限个点是"H 点" D.曲线 C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是"H 点"
1

三,解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题 12 分)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A,将其与原有的一个优良品种 B 进 行对照试验,两种小麦各种植了 25 亩,所得亩产数据(单位:千克)如下: 品种 A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,414,415,421,423,423,427, 430,430,434,443,445,451,454 品种 B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,395,397,397,400,401,401,403, B A 406,407,410,412,415,416,422,430 35 (Ⅰ)完成所附的茎叶图; 36 (Ⅱ)通过观察茎叶图,对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定 37 性进行比较,写出统计结论.
.

∴ AD 2 = AB 2 + BD 2
∴ AB ⊥ BD
(2 分)

Q 平面EBD ⊥ 平面ABD且平面EBD I 平面ABD=BD,AB 平面ABD
∴ AB ⊥ 平面EBD
(4 分)

Q DE 平面EBD
∴ AB ⊥ DE

(6 分)

解: (Ⅰ)茎叶图如图所示: (Ⅱ)通过观察茎叶图,可以发现品种 A 的平均每亩产 量为 411.1 千克,品种 B 的平均亩产量为 397.8 千克.由 此可知,品种 A 的平均亩产量比品种 B 的平均亩产量高.
A 9 8 7 7 5 8 9 5 5 7 3 4 5 4 3 0 5 4 2 0 2 1 0 3 1 35 36 37

38 39 40 41 42 43 44

(Ⅱ)解Q AB // CD, AB ⊥ BD ∴ CD ⊥ BD,∴ DE ⊥ BD

(7 分)

Q AB ⊥ DE , AB 平面ABD, BD 平面ABD, AB I BD = B
∴ DE ⊥ 平面ABD
(9 分)Q AD 平面ABD (10 分)∴ DE ⊥ AD

但品种 A 的亩产量不够稳定,而品种 B 的亩产量比较集 中在平均产量附近.

B

Q AB = CD = 2, BD = 2 3, AD = 4 ∴ BE = 4

3 1 4 5 6 2 4 1 1 2 5 4 3 6 5 7 6 7 7

∴ S Rt

ADE

+ S Rt

BDE

1 1 = × 2× 4 + × 2× 2 3 = 4 + 2 3 2 2

(12 分)

38 3 39 1 40 0 41 0 42 2 43 0 44 45

Q AB ⊥ 平面EBD, BE 平面EBD ∴ AB ⊥ BE ∴ S Rt

ABE

1 = × 2× 4 = 4 2
(13 分)

∴ S E ABD侧=S ABE + S BDE + S ADE = 4 + 4 + 2 3 = 8 + 2 3
17.(本小题满分 13 分) 设 O 为坐标原点,点 P 的坐标 ( x 2, x y )

16. (本小题共 13 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, ∠DAB = 60° , AB = 2 , AD = 4 .将 CBD 沿 BD 折起到 EBD 的位 置,使平面 EBD ⊥ 平面 ABD . (I)求证: AB ⊥ DE ; E (II)求三棱锥 E ABD 的侧面积.
16.(Ⅰ)证明:Q AD = 4, AB = 2, ∠BAD = 60°

(I)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为 x,y,求 P 点在第一象限的概率; (II)在一个盒子中,放有标号为 1,2,3 的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标 号分别记为 x,y,求|OP|的最大值,并求事件"|OP|取到最大值"的概率. 17. 解: (Ⅰ)依题意, 画出

0 ≤ x ≤ 3 , 对应的正方形区域,面积为 9, 2 分) ( 0 ≤ y ≤ 3

D

C

由余弦定理得 BD = 2 3 A B
2

0 ≤ x ≤ 3 0 ≤ y ≤ 3 1 5 而 表示阴影部分区域(图略),其面积为 × (2 + 3) = , 4 分) ( x2>0 2 2 x y > 0

5 S阴影 2 5 = = . 分) 故 P 在第一象限的概率为 (6 S矩形 9 18
(Ⅱ) = {( x, y ) | (1,1), (1, 2), (1,3), (2,1), (2, 2), (2,3), (3,1), (3, 2), (3,3)} 共含 9 个基本事件. P 的坐标可能取值为(-1,0),(-1,-1),(-1,-2), (0,1), (0,0),(0,-1), (1,2) (1,1) (1,0)(8 分) 当点 P 的坐标为(-1,-2), (1,2)时|OP|取得最大值 5 , (11 分) 因此事件"|OP|取到最大值"的概率为

Q t > 0 ,∴ b ≥ t

75 75 = 5 3 ,当且仅当 t = , 即 t = 5 3 时取"=" t t

∴ PQ ≥ 2 99 = 6 11 .∴ PQ 的取值范围是 [6 11,+∞)

(方法二)解:设 N (9, t ) ,其中 t > 0 ,Q 圆过 A, F , N 三点,

2 . (13 分) 9

∴ 设该圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,有

18. (本小题 14 分) 如图, 椭圆 C :

x2 y2 + = 1 的左顶点,右焦点分别为 A, F ,直线 l 的方程为 x = 9 , 36 20

N 为 l 上一点,且在 x 轴的上方, AN 与椭圆交于 M 点 (1)若 M 是 AN 的中点,求证: MA ⊥ MF .
(2)过 A, F , N 三点的圆与 y 轴交于 P, Q 两点,求 | PQ | 的范围.
y N

36 6 D + F = 0 16 + 4 D + F = 0 2 81 + t + 9 D + tE + F = 0

解得 D = 2, E = t

75 , F = 24 t

18. (1)解:由题意得 A( 6,0), F ( 4,0) , xN = 9

3 ∴ xM = 2

75 1 75 1 75 1 ∴ 圆 心 为 (1, (t + )), 半 径 r = 25 + (t + ) 2 ∴ PQ = 2 r 2 1 = 2 24 + (t + ) 2 , 2 t 4 t 4 t
Qt > 0 ∴t +

M

又 M 点在椭圆上,且在 x 轴上方,得 y M = 5 3 2
uuur 15 5 3 uuur 5 5 3 ∴ M A = ( , ), M F = ( , ) 2 2 2 2 uuur uuur 75 75 ∴ MA MF = + =0 4 4 ∴ MA ⊥ MF

75 75 75 ≥2 t = 10 3 ,当且仅当 t = , 即 t = 5 3 时取"=" t t t

A

F

x

l

∴ PQ ≥ 2 99 = 6 11 ,∴ PQ 的取值范围是 [6 11,+∞)
19. (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PD⊥底面 ABCD, E,F 分别为棱 BC,AD 的中点. (Ⅰ)求证:DE‖平面 PFB; (Ⅱ)已知二面角 P-BF-C 的余弦值为
6 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. P 6

(2) (方法一)设 N (9, t ) ,其中 t > 0 Q 圆过 A, F , N 三点,∴ 圆心在线段 AF 的中垂线上

D
设圆心为 (1, b) ,半径为 r ,有 r =

(1 4) + b = (1 9) + ((b t )
2 2 2

2

F
A B

C
E

75 t 2 + 75 1 ∴b = = (t + ) , PQ = 2 r 2 1 = 2 b 2 + 24 2t 2 t
3

19. 解: (Ⅰ)因为 E,F 分别为正方形 ABCD 的两边 BC,AD 的中点, 所以 BE ‖ FD , 易得 ED // FB , 又因为 FB 平面 PFB,且 ED 平面 PFB 所以 DE‖平面 PFB (Ⅱ)如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分 别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设 PD=a, 可得如下点的坐标: P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) 则有: uuu r uuu r PF = (1, 0, a), FB = (1, 2, 0), ……………….6 分 因为 PD⊥底面 ABCD,所以平面 ABCD 的 一个法向量为 m = (0, 0,1) , ……………….7 分 设平面 PFB 的一个法向量为 n = ( x, y , z ) ,则可得 A uuu r x PF n = 0 r uuu FB n = 0 即
x az = 0 x + 2 y = 0
1 1 1 1 , y = ,所以 n = (1, , ) a 2 2 a 6 ,所以得 6 ……………….9 分

点. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若存在斜率为 k 的直线 AB ,求弦长 AB 的取值范围; (Ⅲ)试问 AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
20. (Ⅰ)依题意, 2b = 2 ∴ b = 1 又

……………….2 分
……………….3 分 ……………….4 分 ……………….5 分

c 3 = 且c 2 = a 2 b 2 a 2

∴ a = 2, c = 3

z

y2 故椭圆的方程为 x + =1 4
2

(3 分)

P
(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y = kx + m

y = kx + m ∴ (4 + k 2 ) x 2 + 2kmx + m 2 4 = 0 2 4x + y2 = 4

D F
B E

C y

2km x1 + x2 = 4 + k 2 m2 4 ∴ x1 x2 = 4 + k2 = (2km) 2 4(4 + k 2 )(m 2 4) > 0 k 2 m 2 + 4 > 0

令 x=1,得 z =

由已知,二面角 P-BF-C 的余弦值为
mn cos < m , n > = = | m || n | 1 a 5 1 + 4 a2

=

6 6

……………….10 分

ur r x x yy Q m n = 1 22 + 1 2 2 b a 2 k km m2 = (1 + ) x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 4 4 4 2 2 2 m -2 k m = 2 2(4+k 2 ) =0
∴ 2m 2 4 k 2 = 0 将此试代入 > 0 中化简得 m 2 > 0
(6 分)

解得 a =2 显然,PD 是四棱锥 P-ABCD 的高,
1 8 所以,其体积为 VP ABCD = × 2 × 4 = 3 3
2

……………….11 分

……………….14 分

∴| AB |= 1 + k 2 ( x1 + x2 )2 4 x1 x2 = 2 2

1+ k 2 3 = 2 2 1 2 4+k 4 + k2

(本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 是 椭 圆 20.

y x + 2 = 1(a > b > 0) 上 的 两 点 , 2 a b

2

Q0 <

1 1 ≤ ∴ 2 ≤| AB |< 2 2 2 4+k 4
(9 分)

故弦长 AB 的取值范围是 [ 2, 2 2) . (Ⅲ)当直线 AB 的斜率不存在时,

ur r ur x y r x y 3 ,短轴长为 2, O 为坐标原 m = 1 , 1 , n = 2 , 2 ,且满足 m n = 0 ,椭圆的离心率 e = 2 b a b a
4

ur r A(m, 2 1 m 2 ), B(m, 2 1 m 2 ), m = (m, 1 m 2 ), n = (m, 1 m 2 )
此时 m n = m (1 m ) = 2m 1 = 0 ∴ m = ±
2 2 2

ur r

2 2

此时 A(

2 2 2 2 , 2), B ( , 2) 或 A( , 2), B ( , 2) 2 2 2 2

S

AOB

1 2 = × ×2 2 =1 2 2

当直线 AB 的斜率存在时,由(Ⅱ)得

S

AOB

=

1 1 1+ k 2 |m| m2 | AB | ×d = × 2 2 × × = 2 =1 2 2 4 + k2 4 + k2 1+ k 2
(14 分)

所以 AOB 的面积为定值 1.

5


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