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高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.1对数与对数运算2.2.1.2对数的运算课件新人教A版必修1_图文

【课标要求】
1.理解并掌握对数的运算性质,并能运用运算性质进行对数的 有关运算.(重点)
2.了解换底公式.(易混点) 3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题.(难 点)

|新知预习|
知识点一 对数的运算性质 若 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M·N)=logaM+logaN, (2)logaMN =logaM-logaN, (3)logaMn=nlogaM(n∈R).
知识点二 对数换底公式 logab=llooggccba(a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0). 特别地:logab·logba=1(a>0,a≠1,b>0,b≠1).

【化解疑难】
1.换底公式的推导 设 x=logab,化为指数式为 ax=b,两边取以 c 为底的对数,得 logcax=logcb,即 xlogca=logcb.
所以 x=llooggccba,即 logab=llooggccab. 2.换底公式常用推论 loganbn=logab(a>0,a≠1,b>0,n≠0);
logambn=mn logab(a>0,a≠1,b>0,m≠0,n∈R); logab·logba=1(a>0,b>0,a≠1,b≠1); logab·logbc·logcd=logad(a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0,c≠1, d>0).

|自我尝试|
1.下列等式成立的是( ) A.log2(8-4)=log28-log24 B.lloogg2284=log284 C.log28=3log22 D.log2(8+4)=log28+log24
【解析】 由对数的运算性质易知 C 正确. 【答案】 C

2.lloogg4493的值为( )

1 A.2

B.2

39 C.2 D.2

【解析】 原式=log39=2. 【答案】 B

3.已知 lg2=a,lg3=b,则 log36=( ) a+b a+b
A. a B. b

a

b

C.a+b D.a+b

【解析】 log36=llgg36=lg2l+g3lg3 =a+b b. 【答案】 B

4.计算 2log510+log50.25 的值为________.
【解析】 原式=log5102+log50.25 =log5(102×0.25)=log525=log552=2. 【答案】 2

课堂探究 互动讲练 类型一 利用对数的运算性质化简与求值
[例 1] 计算:(1)lg14-2lg73+lg7-lg18; (2)2+2lglg02.3+6+lg32lg2; (3)lg25+lg2·lg50.

【 解 析 】 (1)法 一 : 原 式 = lg(2×7)- 2(lg7- lg3) + lg7 - lg(32×2)
=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.
法二:原式=lg14-lg???73???2+lg7-lg18 =lg???371???42××178=lg1=0. (2)原式=2+l2gl3g62-+2l+g32lg2 =42llgg22++2llgg33=12. (3)原式=lg25+(1-lg5)(1+lg5)=lg25+1-lg25=1.

方法归纳
(1)对于同底的对数的化简,常用方法是: ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; ②“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差). (2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、 逆用、变形应用公式的习惯,lg2+lg5=1 在计算对数值时会经常用 到,同时注意各部分变形要化到最简形式.

跟踪训练 1 求下列各式的值:

(1)log318-log36;

(2)log 3+2log 2;

1

1

12

12

(3)log2 8+4 3+log2 8-4 3; lg3+2lg2-1
(4) lg1.2 .

【解析】 (1)原式=log3168=log33=1.

(2)原式=log 1 3+log 1 4=log 1 12=-1.

12

12

12

(3)原式=log2[ 8+4 3 8-4 3]

=log2 82-?4 3?2=log2 64-48=log24=2.

(4)原式=lg3+lgl1g.24-1=llgg11..22=1.

类型二 利用换底公式化简求值 [例 2] 计算下列各式的值: (1)log89·log2732; (2)(log43+log83)llgg23; (3)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).

【解析】 (1)原式=llgg98·llgg3227=23llgg32·53llgg23=190. (2)原式=???llgg34+llgg38???llgg23=???2llgg32+3llgg32???·llgg23 =2llgg32·llgg23+3llgg32·llgg23=12+13=56. (3)原式=
???lglg1225+llgg245+llgg58???·???llgg25+llgg245+lglg1825??? =???3llgg25+22llgg52+3llgg52??????llgg25+22llgg25+33llgg52???=???133llgg25??????3llgg25??? =13.

方法归纳
(1)换底公式中的底可由条件决定,也可换为常用对数的底,一 般来讲,对数的底越小越便于化简,如 an 为底的换为 a 为底.
(2)换底公式的派生公式:logab=logac·logcb;loganbm=mn logab.

跟踪训练 2 (1)式子 log916·log881 的值为( )

A.18

1 B.18

C.83

D.38

(2)(log43+log83)(log32+log98)等于( )

A.56 B.2152

C.94 D.以上都不对

【解析】 (1)原式=log3224·log2334 =2log32·43log23=83.
(2)原式=???lloogg3334+lloogg3383???·???log32+lloogg3389??? =???2lo1g32+3lo1g32???·???log32+3lo2g32??? =6lo5g32×52log32=2152. 【答案】 (1)C (2)B

类型三 用已知对数表示其他对数 [例 3] 已知 log189=a,18b=5,用 a,b 表示 log3645.

【解析】 法一:因为 log189=a,所以 9=18a. 又 5=18b, 所以 log3645=log2×18(5×9) =log2×1818a+b=(a+b)·log2×1818.
又因为 log2×1818=log18?118×2?
=1+l1og182=1+lo1g18198 =1+1-1log189=2-1 a,所以原式=a2+-ba.

法二:∵18b=5,∴log185=b. ∴log3645=lloogg11884356=lloogg1188??54××99?? =2lloogg118852++lloogg118899=2log18a198++blog189 =2-2loga1+89+b log189=a2+-ba.

方法归纳
用已知对数的值表示所求对数的值,要注意以下几点: (1)增强目标意识,合理地把所求向已知条件靠拢,巧妙代换; (2)巧用换底公式,灵活“换底”是解决这种类型问题的关键; (3)注意一些派生公式的使用.

跟踪训练 3 (1)已知 log62=p,log65=q,则 lg 5=________; (用 p,q 表示)
(2)①已知 log147=a,14b=5,用 a,b 表示 log3528. ②设 3x=4y=36,求2x+1y的值.

【解析】 (1)lg 5=lloogg66150=log62+q log65=p+q q.

(2)①∵log147=a,14b=5,∴b=log145. 142
∴log3528=lloogg11442385=lolgo1g4?154 ×7 7?=lologg1411454+2-lologg141747=2a-+ab.

②∵3x=36,4y=36,∴x=log336,y=log436,

∴1x=log1336=log13636=log363,1y=log1436=log13636=log364,

log363

log364

∴2x+1y=2log363+log364=log36(9×4)=1.

【答案】 (1)p+q q (2)①2a-+ab ②1

|素养提升|
1.运用对数的运算性质应注意 (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质. (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用. (3)在运算过程中避免出现以下错误: ①logaNn=(logaN)n,②loga(MN)=logaM·logaN,③logaM±logaN =loga(M±N).

2.对数换底公式的选用 ①在运算过程中,出现不能直接用计算器或查表获得对数值 时,可化成以 10 为底的常用对数进行运算. ②在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则 时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化 简与求值. ③在实际问题中,把底数换成 10 或 e,可利用计算器或对数表 得到结果. 3.关于换底公式的另外两个结论 ①logac·logca=1; ②logab·logbc·logca=1.

|巩固提升|

1.化简12log612-2log6 2的结果为( )

A.6 2 B.12 2

C.log6 3

1 D.2

【解析】 12log612-2log6 2=12(1+log62)-log62=12(1-log62)

=12log63=log6 3.

【答案】 C

2.设 lg2=a,lg3=b,则llgg152=( ) 2a+b a+2b
A. 1+a B. 1+a 2a+b a+2b
C. 1-a D. 1-a
【解析】 llgg152=lg3l+g5lg4=lg13-+l2gl2g2=21a-+ab. 【答案】 C

lg 3.

2+lg 5-lg 2lg 12+lg 8

1 ·(lg

32-lg

2)=________.

【解析】 【答案】

原式=lglg????2???×12???25×?-8???0×lg322=lg12·lg 24=4. 4