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三角函数的周期性


南京市鼓楼中等专业学校教案
授课日期 年 月 日 第 周 授课时数 2 课型 新授课





§8.1.1 三角函数的周期性

知识目标:①了解周期函数的概念; 教 学 ②掌握正弦、余弦、正切函数的周期. 能力目标:①会求一些简单三角函数的周期; 目 标 ②培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力. 情感目标:培养数学来源于生活的思维方式,体会从感性到理性的思维过程, 理解未知转化为已知的数学方法.

教 重 难

学 点 点

重点:周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性. 难点:周期函数概念的理解.

§8.1.1 三角函数的周期性 板书 设计 1、 周期函数 2、 最小正周期 3、 正、余弦函数的周期 4、 正切函数的周期 例1 例2

学情 分析

周期函数的概念比较抽象,学生理解会有困难,教学中由情境导入,激发学 生的学习兴趣.另外用几何画板展示几个周期函数的图象,从图象上来说明周 期函数的定义,这对学生理解概念会有帮助.

教后记

1

教学程序和教学内容(包括课外作业和板书设计) 一、情境导入 1. 每年都有春、夏、秋、冬,每星期都是从星期一到星期日,地球 每天都绕着太阳自转,海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里, 潮水会涨落两次,公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返??,这一 些都给我们循环、重复的感觉,可以用“周而复始”来描述,这就叫周 期现象. 问题: (1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢??? (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.通过前面任意角三角函数的学习,我们知道每当角增加或减少

师生活动

师:情境导入,激 发学生的学习兴 趣.

2k? 时,所得角的终边与原来角的终边相同,因而两角的正弦函数值也
相同,正弦函数的这种性质叫周期性.不但正弦函数具有这种性质,其 它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质,这就是今天研究的课 题:函数的周期性. 如何用数学语言刻画函数的周期性? 二、新课讲解 1.周期函数定义 一般地,对于函数 f ( x ) ,如果存在一个非零的常数 T ,使得定义 域内的每一个 x 值,都满足 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x ) 就叫做周 期函数,非零的常数 T 叫做这个函数的周期. 注意:①T 是非零常数 . ②任意 x ? D ,都有 x ? T ? D , T ? 0 ,可见函数的定义域无界是成为 周期函数的必要条件. ③任取 x ? D ,就是取遍 D 中的每一个 x ,可见周期性是函数在定义域 上的整体性质. 理解定义时, 要抓住每一个 x 都满足 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立才行. ④周期也可推进,若 T 是 y ? f ( x) 的周期,那么 2T 也是 y ? f ( x) 的周 期.这是因为 f (2T ? x) ? f [T ? (T ? x)] ? f (t ? x) ? f ( x) ,若 T 是
y ? f ( x) 的周期, k ? Z且k ? 0, 则 kT 也是 f ( x) 的周期.

师:举几个周期 函数的图象,从 图象上来说明周 期函数的定义.

2.最小正周期的概念 对于一个周期函数 f ( x ) , 如果在它所有的周期中存在一个最小的正 数,那么这个最小正数叫 f ( x ) 的最小正周期. 注意:今后不加特殊说明,涉及的周期都是最小正周期. 3.三角函数的周期 用几何画板展示周期函数 y ? sin x 、 y ? cos x 的图象: 函数 y ? sin x 的周期中,2π ,-2π ,4π ,-4π ,?,存在最小 正数 2π ,那么,2π 就是 y ? sin x 的最小正周期. 函数 y ? cos x 的周期中,2π ,-2π ,4π ,-4π ,?,存在最小 正数 2π ,那么,2π 就是 y ? sin x 的最小正周期. 因为 tan(? ? x) ? tan x ,所以 y ? tan x 的最小正周期为 ? . 师:展示图象 生:观察,找出 周期.

2

教学程序和教学内容(包括课外作业和板书设计) 三、例题讲解 例 1、下列函数是周期函数吗?如果是周期函数,求出它们的周期. (1) y ? 2 sin x, x ? R , (2) y ? cos 2 x, x ? R 解: (1)因为 2 sin( x ? 2? ) ? 2 sin x ,所以它的周期是 2? . (2)因为 cos( 2x ? 2? ) ? cos[ 2( x ? ? )] ? cos x ,所以它的周期是 ?

师生活动

师生共同完成例 题.

1 ? 题过程. 例 2 求函数 y ? 2 sin( x ? ), x ? R 的周期. 2 4 解: 令1x?? ?t , 则 y ? 2 sin t 的周期为 2? , 即当 t 增加到 t ? 2? 时, 2 4 函数值就重复取得,这时 t ? 2? ? ( 1 x ? ? ) ? 2? ? 1 ( x ? 4? ) ? ? 2 4 2 4 1 ? 所以对于 y ? 2 sin( x ? ), x ? R ,当 x 增加到 x ? 4? 时, 2 4 函数值就重复取得,所以它的周期是 4? .
结论:一般地,函数 y ? A sin(?x ? ? ) 及 y ? A cos(?x ? ? ) (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0) ,的周期 T ? 2? . |? | 例 3 求函数 y ? tan 3x 的周期. 解:令 t ? 3 x ,则 y ? tan t 的周期为 ? ,即当 t 增加到 t ? ? 时, 函数值就重复取得,此时 t ? ? ? 3x ? ? ? 3( x ? 所以对于 y ? tan 3x ,当 x 增加到 x ? ? 时, 函数值就重复取得,所以它的周期是 ? . 结论:一般地,函数 y ? A tan(?x ? ? ) (其中 A, ? , ? 为常数,且

师:板书例题解

师:给出一般化 的结论.

?
3

)

3

3

A ? 0, ? ? 0) ,的周期 T ? ? . |? |
四、巩固练习 教材 P64 练习 8.1.1 五、课堂小结 通过这节课的学习,你有哪些收获? 1.周期函数、最小正周期概念. 2.函数 y ? sin x 和函数 y ? cos x 是周期函数,且周期均为 2π . 3.函数 y ? tan x 是周期函数,且周期均为π . 4.周期函数 y ? A sin(?x ? ? ) 、 y ? A cos(?x ? ? ) 和 y ? A tan(?x ? ? ) (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0 )的周期的求法 . 六、布置作业 《数学教学指导与训练》P67 第 1、2、8、13 题; P68 第5题 1、2

生:尝试作出结 论

生:板演练习 师:点评,订正

师生共同归纳小 结

3

4


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