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2018数学高考宝山一模


上海市宝山区 2018 届高三一模数学试卷
2017.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 设集合 A ? {2,3,4,12} , B ? {0,1,2,3} ,则 A ? B ? 2. lim

5n ? 7 n ? n ?? 5n ? 7 n
x?2 ? 1 的解集为 x ?1

3. 函数 y ? 2cos 2 (3? x) ?1 的最小正周期为 4. 不等式 5. 若 z ?

?2 ? 3i (其中 i 为虚数单位),则 Im z ? i

6. 若从五个数 ?1 ,0,1,2,3 中任选一个数 m ,则使得函数 f ( x) ? (m2 ? 1) x ? 1 在 R 上单 调递增的概率为 7. 在 ( (结果用最简分数表示)

3 ? x ) n 的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为 1024,则常数项的值等于 2 x

8. 半径为 4 的圆内接三角形 ABC 的面积是 则 abc 的值为

1 , 角 A 、B 、C 所对应的边依次为 a 、b 、c , 16

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点是 C 的焦点 F ,若斜率 25 144 为 ?1 ,且过 F 的直线与 C 交于 A 、 B 两点,则 | AB |?
9. 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,双曲线 10. 直角坐标系 xOy 内有点 P(?2, ?1) 、 Q(0, ?2) ,将 ?POQ 绕 x 轴旋转一周,则所得几何 体的体积为 11. 给出函数 g ( x) ? ? x2 ? bx , h( x) ? ?mx2 ? x ? 4 ,这里 b, m, x ? R ,若不等式

? g ( x) ( x ? t ) g ( x) ? b ? 1 ? 0 ( x ? R )恒成立, h( x) ? 4 为奇函数,且函数 f ( x) ? ? 恰有 ? h( x ) ( x ? t )
两个零点,则实数 t 的取值范围为 12. 若 n ( n ? 3 , n ? N * )个不同的点 Q1 (a1 , b1 ) 、 Q2 (a2 , b2 ) 、 ??? 、 Qn (an , bn ) 满足:

a1 ? a2 ? ??? ? an ,则称点 Q1 、 Q2 、 ??? 、 Qn 按横序排列,设四个实数 k 、 x1 、 x2 、 x3
2 2 使得 2k ( x3 ? x1 ) , x3 , 2 x2 成等差数列,且两函数 y ? x2 、 y ?

1 ? 3 图像的所有交点 x

P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 、 P 3 ( x3 , y3 ) 按横序排列,则实数 k 的值为
二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分)

13. 关于 x 、 y 的二元一次方程组 ? A. ?

?3x ? 4 y ? 1 的增广矩阵为( ? x ? 3 y ? 10
C. ?



? 3 4 ?1? ? ? 1 ?3 10 ?

B. ?

1 ? ?3 4 ? ? 1 ?3 ?10 ?

?3 4 1 ? ? ? 1 ?3 10 ?

D. ?

?3 4 1 ? ? ? 1 3 10 ?

14. 设 P1 、 P2 、 P3 、 P4 为空间中的四个不同点,则“ P1 、 P2 、 P3 、 P4 中有三点在同一条 直线上”是“ P1 、 P2 、 P3 、 P4 在同一个平面上”的( A. 充分非必要条件 C. 充要条件 )

B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

15. 若函数 y ? f ( x ? 2) 的图像与函数 y ? log3 x ? 2 的图像关于直线 y ? x 对称, 则 f ( x) ? ( A. 32 x ? 2 ) B. 32 x ?1 C. 32 x D. 32 x ?1

16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积,设: 数列甲: x1 , x2 , ???, x5 为递增数列,且 xi ? N * ( i ? 1,2, ????,5 ) ; 数列乙: y1 , y2 , y3 , y4 , y5 满足 yi ?{?1,1} ( i ? 1,2, ????,5 ) 则在甲、乙的所有内积中( )

A. 当且仅当 x1 ? 1 , x2 ? 3 , x3 ? 5 , x4 ? 7 , x5 ? 9 时,存在 16 个不同的整数,它们 同为奇数 B. 当且仅当 x1 ? 2 , x2 ? 4 , x3 ? 6 , x4 ? 8 , x5 ? 10 时,存在 16 个不同的整数,它 们同为偶数 C. 不存在 16 个不同的整数,要么同为奇数,要么同为偶数 D. 存在 16 个不同的整数,要么同为奇数,要么同为偶数

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知 AB ? BC ? 4 , DD1 ? 8 ,

M 为棱 C1D1 的中点.
(1)求四棱锥 M ? ABCD 的体积; (2)求直线 BM 与平面 BCC1B1 所成角的正切值.

2 18. 已知函数 f ( x ) ? 1 ? 2sin

(1)求 f ( x) 在 [ ,

? 3?
2 2

x . 2

] 上的单调递减区间;

2 ?1 ?1 (2)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对应的边依次为 a 、 b 、 c ,若 c a ?b ? 4 且 ?1 1 1
f (C ) ? 1 ,求 ?ABC 面积的最大值,并指出此时 ?ABC 为何种类型的三角形. 2

19. 设数列 {an } , {bn } 及函数 f ( x) ( x ? R ) , bn ? f (an ) ( n ? N * ). (1)若等比数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 , f ( x) ? 2 x ,求数列 {bnbn ?1} 的前 n ( n ? N * ) 项和; (2)已知等差数列 {an } 满足 a1 ? 2 , a2 ? 4 , f ( x) ? ? (q x ? 1) ( ? 、 q 均为常数, q ? 0 且 q ? 1) , cn ? 3 ? n ? (b1 ? b2 ? ??? ? bn ) ( n ? N * ) ,试求实数对 (? , q ) ,使得 {cn } 成等比 数列.

20. 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 (?2,0) ,且直线 x ? 5 y ? 1 ? 0 过 C 的左焦点. a 2 b2

(1)求 C 的方程; (2)设 ( x, 3 y) 为 C 上的任一点,记动点 ( x, y ) 的轨迹为 ? , ? 与 x 轴的负半轴、 y 轴的 正半轴分别交于点 G 、 H , C 的短轴端点关于直线 y ? x 的对称点分别为 F1 、 F2 ,当点 P 在直线 GH 上运动时,求 PF1 ? PF2 的最小值; (3)如图,直线 l 经过 C 的右焦点 F ,并交 C 于 A 、 B 两点,且 A 、 B 在直线 x ? 4 上的 射影依次为 D 、 E ,当 l 绕 F 转动时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若是,求出定点的 坐标,否则,请说明理由.

???? ???? ?

21. 设 z ? C ,且 f ( z ) ? ?

? z (Re z ? 0) . ?? z (Re z ? 0)

(1)已知 2 f ( z) ? f ( z) ? 4z ? ?2 ? 9i ( z ? C ) ,求 z 的值; (2)设 z ( z ? C )与 Re z 均不为零,且 z 2 n ? ?1 ( n ? N * ) ,若存在 k0 ? N * ,
k 使得 | ( f ( z )) 0 ?

1 1 |? 2 ,求证: | f ( z ) ? |? 2 ; k0 ( f ( z )) f ( z)

2 (3)若 z1 ? u ( u ? C ) , zn?1 ?f z (n z ,是否存在 u ,使得数列 z1 , z2 , ??? ?n ? ) 1 ( n ? N* )

满足 zn? m ? zn ( m 为常数,且 m ? N * )对一切正整数 n 均成立?若存在,试求出所有的 u , 若不存在,请说明理由.

参考答案
一. 填空题 1. {2,3} 7. 405 2. ?1 8. 1 3. 9. 104

1 3

4. {x | x ? ?1} 10. 4?

5. 2

6.

2 5
12. 1

11. [?2,0) ? [4, ??)

二. 选择题 13. C 三. 解答题 17.(1) 14.A 15. C 16. D

128 5 ; (2) . 3 10

18.(1) f ( x) ? cos x ,在 [ , ? ] 递减; (2) 3 ,等边三角形.

?

2

n 19.(1) (9 ? 1) ; (2) ( ?1,

3 2

3 ). 2

20.(1)

5 11 x2 y 2 ? ?1; (2) ? ; (3) ( ,0) . 2 5 4 3

21.(1) 2 ? 3i ; (2)略; ( 3) ? i .


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