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简单的三角恒等变换(二)


求函数y=2sin(3x+ ? )的周期,最大值及单调 4 区间.

解:T= 2? = 2? 3 ω
由A=2 ,所以ymax=2. 函数y=2sin(3x+ ? )在区间[- ? + 2k? , ? + 2k? ] 4 3 12 3 4 5 上是增函数,在区间[ ? + 2k? , ? + 2k? ]上是减函 12 3 12 3 数.

例3:求函数 y =sinx + √ 3 cosx 的周期,最大值 和最小值. 分析:利用三角函数恒等变换,先把函数式化 简,再求相应的值.

解:y=sinx+ √ 3 cosx 求此函数的单调区间. =2( 1 sinx+ √3 cosx ) 2 2 =2(sinx cos π +cosx sin π ) 3 3 =2sin(x+ π ) 3 所以,所求周期为2π,最大值为2,最小值为-2.

例3:求函数 y =sinx + √ 3 cosx 的周期,最大值 和最小值. 分析:利用三角函数恒等变换,先把函数式化 简,再求相应的值. π 当x∈[0, 2 ]时,求此 解:y=sinx+ √ 3 cosx 函数的最大值和最小值. =2( 1 sinx+ √3 cosx ) 2 2 =2(sinx cos π +cosx sin π ) 3 3 =2sin(x+ π ) 3 所以,所求周期为2π,最大值为2,最小值为-2.

1.求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期,最 大值和最小值.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x-1+1 =sin2x+cos2x+2 2 = √2 ( √ 2 sin2x+ cos2x)+2 2 2

= √ 2 sin(2x+ ? )+2 4 所以周期为π,最大值为2+ √ 2 ,最小值为2- √ 2.

2.函数y=3sinx-4cosx,则函数y的最大值是 ______,最小值为_______. 5 -5 解: 32+42 =5 √

则y=3sinx-4cosx
3 =5( 4 sinx- cosx) 5 5 设sinω= 3,cosω= 4 抓住角度之间的联系,通过拆角、凑角等 5 5 途径,进行角度之间的转换 所以y=5sin(x-ω)

3.设函数y=acosx+b(a,b是常数)的最大值为1, -5 最小值为-7,则acosx+bsinx的最小值为_____. 解:a=4,b=-3. 则acosx+bsinx=4cosx-3sinx 3 =5( 4 cosx- sinx) 5 5 设sinω= 4,cosω= 3 5 5 所以原式=5sin(x-ω)

4.函数f (x)=3sinxcosx-4cos2x的最大值是____. 0.5 解:f (x)=3sinxcosx-4cos2x =1.5(2sinxcosx)-2(2cos2x-1)-2 =1.5sin2x-2cos2x-2 =2.5sin(2x-ω)-2

其中sinω= 4,cosω= 3 5 5

5.函数y=asinx+bcosx (a,b∈R,a2+b2≠0),则 - a2+b2 函数y的最大值是________,最小值为_________. a2+b2 √ 解: y=acosx+bsinx =√ a2+b2 ( a 2+b2 cosx+ √a b sinx) a2+b2 √

a 设sinω= 2+b2,cosω= √a 所以 y=√ a2+b2 sin(x+ω)

b a2+b2 √

6.求下列函数的最小正周期,递增区间及最大 值: (1) y=sin2xcos2x; (2) y=2cos2 x +1; 2 (3) y= √ 3 cos4x+sin4x; 解: (1) y = 1 sin4x,所以最小正周期为 π , 2 2 π kπ π kπ 递增区间为[- 8 + ,8+ ] (k∈Z); 2 2 最大值为 1 . 2

6.求下列函数的最小正周期,递增区间及最大 值: (1) y=sin2xcos2x; (2) y=2cos2 x +1; 2 (3) y= √ 3 cos4x+sin4x; 解: (2) y =cosx+2,所以最小正周期为2π, 递增区间为[π+2kπ,2π+2kπ] (k∈Z); 最大值为3.

6.求下列函数的最小正周期,递增区间及最大 值: (1) y=sin2xcos2x; (2) y=2cos2 x +1; 2 (3) y= 3 cos4x+sin4x; π ),所以最小正周期为 π , 解: (3) y =2sin(4x+ 2 3 5π kπ π 递增区间为[- 24+ , 24 + kπ ] (k∈Z); 2 2 最大值为2.

四边形ABCD是一个边长为100米的正方形地皮, 其中ATPS是一半径为90米的扇形小山,其余部分都是 平地,P是弧TS上一点,现有一位开发商在平地上建 造一个两边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR.求 长方形停车场PQCR面积的 R D C 最大值与最小值.
解:PM=APsinα,AM=APcosα. 所以 S=(100-90sinα)(100-90cosα) =10000-9000(sinα+cosα) +8100sinαcosα) A
S P Q

?
M T
B

令sinα+cosα=t,则sinαcosα=(t2-1)÷2 S=10000-9000t +4050t2 -4050 =4050(t - 10)2+950 9 所以1≤t≤√ 2 由于0°≤α≤90°, 当t = 10时,S有小值950; 9

当t =

2 时,S有大值(14050-9000 2 );

所以长方形面积S的最大值(14050-9000 √ 2 ), 最小值950.

如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这 块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地,使其一边 AD落在圆的直径上,另两点B、C落在半圆的圆周上, 已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A, D的位置,可以使矩形ABCD的面积S最大值? 解:当A,D两点与O 的距离都是 2 a时,可以 2 使矩形ABCD的面积S最 大值.

C

B

D

O

A


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