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用空间向量证明平行垂直问题


高中数学教与学 
AND   LEARI V I NG I N SENI OR H I GH SCH OOL 

用 空 间 向量 证 明平 行 垂 直 问题 
王 健 

新 课标 教材倡 导用空 间 向量法解 决立 体几何 问  题. 特 别是近几 年高考 立体几何 题 , 都是 既可 以用传 
统 方法 , 又可 以用 向量 方法求解 . 空 间 向量 除 了可 以  求 角和距离 , 还 可 以用来 解证平 行和垂 直问题. 本 文  对 此进行 归纳整理 , 并举 例说 明.  


1 ) . 由此有 
砷=(一2 , O , 2 ), E F =(一1 , 0 , 1 ) .  

可见 

:2   , 所 以 MN/ / E F .  
G ,  
1   1  

例2  如图2 , 三 个正方 形 A B C D、 A D   、  



平 行 类 问 题 

P 在 D F 上 , Q 在 A C 上 , 且 厂 J P = -  ̄ - D F , C Q = — } c 4 ,  
朱证 p Q? f 商C D E G .  

1 . 直 线 平 行 于 直 线 

可证两 条直线 的方 向向量平行.  
2 . 直 线 平 行 于 平 面 

( 1 ) 可证 直线 的方 向 向量平 行 于平 面 内 的一个 
向量.  

( 2 ) 可 证直线 的方 向 向量可 用平 面 内 的两 个不  共 线的 向量线性表 示.  

( 3 ) 可证 直线 的方 向 向量 与平 面 的一个 法 向量 
垂 直.  
3 . 平 面 平 行 于 平 面 

( 1 ) 可 证一个平 面 内有 两个 不共 面 的 向量都 平  行 于另一个 平面.  
} £ 毫 

证明

以  、 D C、 D E为 轴 、 Y轴 、  轴 , 建立 空 

间 直角 坐 标 系 D —x y z , 设各 正方 形边 长为 1 , 则 

( 2 ) 可证两个 平面 的法 向量共 线.  

P ( ≥ , 0 , _ 1 _ ) , Q ( ÷ , 了 2 , 0 ) ,  = ( 0 , 了 2 , 一 了 1 ) .  
方法 1 显 然 D  =( 1 , 0, 0 ) 是平 面 C D E G的一  个 法 向量. 而  . D 一 A:0 又  在平 面 C D E G外 ,  


例 1 在 正方体 A B C D— A 1 Bl C 1 D1中, E、 F分 别 
是 B C 、 O C  的 中点 , MN 分别 是 A B、 C   D。的 中点 , 求 
证 MN} ' } E F.  

所以 P Q∥面 C D E G .   方法 2 在 平面 C D E G内取 两个不 共线 的 向量 


( o, 1 , 0 ) ,   :( 0 , 0 , 1 ) .  

若 有司 : m   + n  ,  

 ̄ i l ( o , 寺, 一 寺) = ( 0 , m , o ) + ( 0 , 0 , n )  


( 0, m, n ) ,  

得 m = 季  一 ÷ .  
故有  蝻 P 电 : =  D C 一   专D   .  
证 明  如 图 1 , 分别 以 D A、 DC、 D D  为  轴 、 Y  

轴、  轴建立 空 间直 角坐 标 系 D—x y z , 设 正 方体 棱 长 
为2 , 则 M( 2 , 1 , 0 ) , N( 0 , 1 , 2) , E( 1 , 2 , 0 ) , F( 0, 2,  

因此 , P Q ∥面 C D E G .  
方法3 取 D E中点 M( O, 0, W  - ) , 知 
?

5 7?  

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i l t Al' t l ,  ̄瞰 cH l   砸 AND LEAl C NI NG t N SENI OR" HI GH SCH OO1 .  

—   e = ( 0 , 1 , 一 ÷ 1 ) . 可见P —   Q= ( 0 , ÷ ,   , 一 ÷) ,  =  
, '  
J 

的 向量垂直 .  
( 2 ) 可 证 直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 的法 向 量  平行.  
3 . 面与 面 垂 直 

1  
二 

々 — 
J 

寺( o , 1 , 一 ÷) = ÷ c ,  

则e - O / /  ̄. 而M - d在平面 C D E G内, P O在平 
面C D E G外 , 所以 P Q ∥面 C D E C .   点评 本例用 到了证明直线 与平 面平行 的三种  方 法. 其 中方 法 2用 的是 待 定 系数 法 ; 方 法 3中取  D E中点  是关键 , 这需要一定 的观察探索 能力.  
例 3 如图3 , 正方体 A B C D —A 】 日 l C   D 】中, 肘、  
—  

( 1 ) 可证某平 面 内的一个 向量 是另 一个平 面 的 
法向量.   ( 2 ) 可 证 两 个 平 面 的法 向量 互 相 垂 直 .   例 4 已知 正 三 棱 锥 P— A B C, 求证 A B上P C .  

证明  
— —  

.   : (   + 赢 ).   :   .   +  

P B? PC.  

Ⅳ 、 P 、 Q是相 应各棱 的中点 , 求证 面 A C N M/ / 面8 P Q .  
证明 建立如 图 3的空 间直角坐标系.  

由正 三棱锥知 P A=P C= P B,  
A PC =   BPC .  

注意 到( A p, P C )=1 8 0 。 一/ _ A P C,  

则 
J  

.  

:l   l   l   l   c o s ( 1 8 O 。 一/ _ _ A P C )+  

f 赢f   I   f   c o s / _ B P C :一 I  『  I I c o 8 / _ A P C + l  I .  
J c o s /A PC :0 .  

所以A B上P C .  

评注 本例 是利 用基 向量 法进行 运算. 本 例也  可以用坐标 向量法 进行运算 , 但建系 、 设 坐标都 较麻 

烦. 因此 , 应会根据 题 目的情况 , 选 择恰 当 的 向量 方 
设 正方体棱 长 为 2 , 则 A( 2 , 0, 0 ) , c ( 0 , 2 , 0) ,  
M( 1 , 0 , 2 ) , B( 2 , 2 , 0 ) , P( 2 , 1 , 2 ) , Q ( 1 , 2, 2 ) . 则 有  A C=(一 2 , 2 , O ) , A 1 1 1 ; =(一1 , 0 , 2 ) ,  

法进 行求解.  

例 5 在 正 三棱柱 A B C—A   B 1 C  中 , 底 边 长是 


高是 1 , M是 A B 中点 , 求证 A B 。 上面 肘c A 。 .   证明 如图4 , 取A B 中点 肘, 建 立空 间直 角 坐 

P Q=( 一 1 , 1 , 0 ) , B Q= ( 一 1 , 0 , 2 ) .   方法 1 可见 a d = 2   P ( ) ,  

标系 M 一   ,  
Z   J  

劢: 司,  


黜A e / / 谣B P Q. A 确/ / 面B P Q .  
又A C   C l A M= A, A C、 A M C面 A C J 7 、 M,  

C 

所以面 A C N M∥面 8 P q .   方法 2 设平 面 A C N M 的 法 向量 是 , l =(  , Y ,  


) , 贝 Ⅱ 由J l _ L a d, J l 上A 肪, 有 
r一 2  +2 y =0,  

C 

\ .   7   /   ‘  
1 1 t 4  

1 一   + 2   : 0 .  
取 =1 , 则, l =( 2 , 2 , 1 ) .  

同样可求得平 面 卯 Q的一个法 向量是  m =( 1 , 1 , ÷) .  
一  

知M   (,,) 0   0   0  A ,(     半 ,,) 0   0  A ,。   (   等 ,,) 0   1   ,   c C   ( o 0 ,  
’ o )   (一   ' o , 1 ) , 则 

1  

由, l : 2 m, 知J l ∥棚, 所以面 A C N M∥面  Q .  
二、 垂直类 问题 
1 . 线 与 线 垂 直 

B 1 A:(   , 0, 一1 ) ,  


可证 两条 直线的方 向向量互相垂直.  
2 . 线 与 面 垂 直 

(   , o' 1 ) ,  

=( 0, 一   , 0 ) _  

叉 币 .   M A   r : 1 + 0 — 1 : 0 ,  
.   :0+0 +0:0,  

( 1 ) 可证直线 的方 向向量 与平 面 内两 个不 共线 
?

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分 离 常 数 法 与 分 离 参 数 法 的应 用 
吴 宏 宇 

分 禹 常 数 法 

由  ≤1 , 得 一 2 ≤一 1 . 所 以 一1 ≤七
y =  

< 0 .  

分离 常数法 是研究 分式 函数的一种 代数 变形 的  常用 方 法 , 主 要 的 分 式 函数 有 y=   a x+b


所 以 函数  ) 的值域 为 { Y l 一4 ≤y< 3} .  
2 . 用分 离常数 法判 断分式 函数 的单调 性 

眦   + 肼 +p ’   一P ?  

≥  

, ) , : _ m   +g’ , y :   等 . 解 题     一 P ?s i n x+q寸 ’  种  

例 2 已知 函数 , (  )=  

( 。≠6 ) , 判 断 函数 

的关 键是 通过恒 等变形从 分式 函数 中分 离 出常 数.  
1 。 用 分 离常 数 法 求 分 式 函数 的 值 域  

, (  ) 的单调性.  
解  由 已 知 有 厂(  )=   : l+  

例 1 求 函数  ): 塾  (  ≤1 ) 的值域
解  由 已 知 有 ,(  )=  
:3+   .  

. 

, 

≠ 

=  

所以, 当 a—b>0时 , 函数 f (  ) 在 (一。 。, 一6 )   和(一 b , +   ) 上是 减 函数 ; 当 a—b <0时 , 函数^ 厂 (  )   在 (一   , 一6 ) 和(一b , +o 。) 上 是增 函数 .  
设平 面 A   B D的法 向量为 J l =(  , Y ,   ) ,  

贝 U  1 A上MA 】 , Bl A上  
而M A   n   C=M ,  

所 以 曰1 Aj _ 面 MC A   .  

则 { : :  ̄ D   =
O, 



  f x+y O ,


.。.

例6   正方体 A B C D —A l 曰1 C 1 Dl中,   是 C C 1  
的 中点 , 求证 面 A , B D上 面 MB D .  

取   =1 , 得 n=( 1 , 一1 , 一1 ) .  

又设平 面 MB D的法 向量 为 m :( P, q , r ) , 则 

证明

如 图 5, 建立 坐标 系 D—x y z .  

f m. - o g - : 0 , f P  q  0 ,  

l m .   D M : 0   + ÷ r : o .  
取 q=1 , 得J , l =(一1 , 1 , 一2 ) .  
而 , l ? J , l = 一1—1 +2=0 ,  

知 n上m , 所 以面 A 1 B D上面 MB D .  

评注 本例也可以取 B D中点 0, 证明  : 是平 
面 MB D的法 向量.  

1    ̄ J l   D(   , 0   设棱长为  O , 0 , O ) , A  1 ,  ) ,  (  '  ’  

【 作者简介】 王健 黑龙 江 省 哈 尔滨 师 大 附 中


o ) , M ( O , 1 , 言) , 得朋 = ( 1 , 1 , 0 ) ,   = ( 1 , 0 , 1 ) , (  ̄ 5 0 0 8 0 ) .  
.( 0 ,  ,  

秤 考 试研 糊  



 

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