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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 滚动测试卷三 文 北师大版


滚动测试卷三(第一~八章)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 滚动测试卷第 9 页 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为( )

A.16π B.8π C.4π D.2π 答案:C 解析:解答三视图相关题目的关键是正确转化,一是位置关系,二是数量关系.据已知三视图易知三 棱锥外接球的半径为 1,故其表面积为 4π . 2.在△ABC 中,AB=3,BC=3,∠ABC=,若使△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是 ( ) A.6π B.5π C.4π D.π 答案:D 解析:作 AD⊥BC 交直线 BC 于点 D,则有 AD=3sin,将△ABC 绕直线 BC 旋转一周所得到的几何体可视 为从一个以 AD 为底面半径、CD 为高的圆锥中挖去一个以 AD 为底面半径、BD 为高的圆锥后所剩余 2 2 2 部分,因此所求几何体的体积等于 π ·AD ×(BC+BD)-π ·AD ×BD=π ·AD ×BC=×3=π . 3.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则 a,b 的夹角 θ 为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案:C 解析:∵(2a+b)·b=0, ∴(2a+b)·b=b2+2a·b=0, 2 即|b| =-2a·b. 2 又∵|a|=|b|,∴|b| =|a||b|=-2a·b, 又由 cos θ =, 易得 cos θ =-, 则 θ =120°. 4.已知 f(x)=sin x-x,命题 p:任意 x∈,f(x)<0,则( ) A.p 是假命题,p:任意 x∈,f(x)≥0 B.p 是假命题,p:存在 x0∈,f(x0)≥0 C.p 是真命题,p:任意 x∈,f(x)>0 D.p 是真命题,p:存在 x0∈,f(x0)≥0 答案:D 解析:∵f(x)=sin x-x, ∴f'(x)=cos x-1,当 x∈时,f'(x)<0. ∴f(x)是上的减函数, ∴f(x)<f(0)=0. ∴命题 p:任意 x∈,f(x)<0,是真命题; ∴该命题的否定是p:存在 x0∈,f(x0)≥0. 5. 1

如图所示,在三棱柱 ABC-A'B'C'中,E,F,H,K 分别为 AC',CB',A'B,B'C'的中点,G 为△ABC 的重心.从 K,H,G,B'中取一点,设为 P,使得该棱柱恰有两条棱与平面 PEF 平行,则 P 为点( ) A.G B.H C.K D.B' 答案:A 解析:若 P 为点 G,连接 BC',则 F 为 BC'的中点,∴EF∥AB,EF∥A'B',∴AB∥平面 GEF,A'B'∥平面 GEF,∴P 为点 G 符合题意;若 P 为点 K,则三条侧棱与该平面平行,不符合题意;若点 P 为点 H,则有上 下两底面中的六条棱与该平面平行,不符合题意;若点 P 为点 B',则只有一条棱 AB 与该平面平行,也 不符合题意,故选 A. 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcos C+ccos B=2b,则=( ) A.2 B. C. D.1 答案:A 解析:∵bcos C+ccos B=2b, ∴sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A=2sin B, ∴=2, 由正弦定理知, ∴=2. 7.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命题错误的是( ) A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N+,均有 Sn>0 D.若对任意 n∈N+,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 答案:C 解析:A.当 d<0 时,如果首项小于等于 0,则 S1 即为最大项,若首项为正,则所有正项的和即为最大项, 故 A 正确; B.若 d>0,数列{Sn}为递增数列,数列{Sn}不可能有最大项,要使前 n 项和有最大项,则必有公差 小于 0,故 B 正确; C.若首项为负,则有 S1<0,故 C 错误; D.若数列{Sn}为递减数列,即公差小于 0,则一定存在某个实数 k,当 n>k 时,以后所有项均为负 项,不能保证对任意 n∈N+,均有 Sn>0,因此,若要使任意 n∈N+,均有 Sn>0,则数列{Sn}必须是递增数列, 故 D 正确. x 8.已知偶函数 y=f(x)满足条件 f(x+1)=f(x-1),且当 x∈[-1,0]时,f(x)=3 +,则 f(lo5)的值等于 ( ) A.-1 B. C. D.1 答案:D 解析:∵偶函数 y=f(x)满足条件 f(x+1)=f(x-1), ∴f(x+2)=f(x),周期为 2, ∵当 x∈[-1,0]时,f(x)=3x+, ∴lo5=-log35∈(-2,-1),2-log35∈(0,1), f(lo5)=f(2-log35)=f(log35-2)==1.

2

9.函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,|φ |<π )的图像如图所示,为了得到函数 y=cos 的图像,只需将 y=f(x)的图像( ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 答案:C 解析:依题意,f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的周期 T=2×=π =,∴ω =2. 又 2×+φ =2kπ +π ,k∈Z,且|φ |<π ,∴φ =. ∴f(x)=sin =cos =cos=cos. ∴f=cos =cos. ∴为了得到函数 y=cos 的图像,只需将 y=f(x)的图像向左平移个单位. 4 10.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a7a11+a8a10=2e ,则 ln a1+ln a2+ln a3+?+ln a17=( ) A.31 B.32 C.34 D.36 答案:C 4 解析:∵数列{an}为等比数列,且 a7a11+a8a10=2e , ∴a7a11+a8a10=2a8a10=2e4, 4 则 a8a10=e , ∴ln a1+ln a2+?+ln a17=ln(a1a2?a17)=34. 11.若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,AB1 与底面 ABCD 成 60°角,则 A1C1 到底面 ABCD 的距离 为( ) A. B.1 C. D. 答案:D 解析:

如图所示,直线 AB1 与底面 ABCD 所成的角为∠B1AB,则 A1C1 到底面 ABCD 的距离为 AA1,在 Rt△ABB1 中,BB1=AB·tan 60°=,所以 AA1=BB1=. 2 12.(2015 河南适应性模拟练习)在函数 f(x)=aln x-(x-1) 的图像上,横坐标在(1,2)内变化的点处 的切线斜率均大于 1,则实数 a 的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.[6,+∞) D.(6,+∞) 答案:C 解析:f'(x)=-(2x-2),由题意知-(2x-2)>1 在(1,2)上恒成立, 2 2 所以 a>x(2x-2)+x,整理得 a>2x -x,x∈(1,2),当 x=2 时,2x -x 取得最大值 6,所以 a≥6,故选 C. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知实数 x,y 满足如果目标函数 z=x-y 的最小值为-1,则实数 m= . 答案:5 解析:画出 x,y 满足的可行域如图阴影部分所示.

3

可得直线 y=2x-1 与直线 x+y=m 的交点使目标函数 z=x-y 取得最小值, 由 解得 x=,y=, 代入 x-y=-1,得=-1, m=5. 14.在△ABC 中,,AD⊥AB,||=1,则= . 答案: 解析:在△ABC 中,, =()·=()·, 又∵, ∴=[(1-]· =(1=(1-|2. 又∵AD⊥AB,即, ∴=0,且||=1, ∴=(1-)×0+×1=,

∴.
15.设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=9x++7.若“存在 x∈[0,+∞),使 f(x)<a+1”是假命题,则 a 的取值范围为 . 答案:a≤解析:由 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,可求解析式为 f(x)= 又“存在 x≥0,使 f(x)<a+1”是假命题, 则任意 x≥0,f(x)≥a+1 是真命题,当 x=0 时,0≥a+1,解得 a≤-1,① 当 x>0 时,9x+-7≥a+1,结合均值不等式有 6|a|-7≥a+1,得 a≥或 a≤-,② ①②取交集得 a 的取值范围是 a≤-. 16.如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动点.现将△AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC.在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足.设 AK=t,则 t 的取值范 围是 .

答案: 解析:过 K 作 KM⊥AF 于 M,连接 DM,易知 DM⊥AF,与折前的图形对比,可知由折前的图形中 D,M,K 三 点共线且 DK⊥AF,于是△DAK∽△FDA, ∴,即,∴t=. 又 DF∈(1,2),∴t∈.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 2 17.(10 分)已知函数 f(x)=(2cos ω x+sin ω x)sin ω x-sin (ω >0),且函数 y=f(x)的图像的一个 对称中心到最近的对称轴的距离为. 4

(1)求函数 f(x)的递增区间; (2)求函数 f(x)在区间上的值域. 2 2 解:(1)f(x)=2cos ω xsin ω x+sin ω x-cos ω x =sin 2ω x-cos 2ω x=2sin. 由函数 y=f(x)对称中心到最近的对称轴的距离为, 知, 即 T=π ,=π ,ω =1, 所以 f(x)=2sin. 由-+2kπ ≤2x-+2kπ ,k∈Z, 得-+kπ ≤x≤+kπ ,k∈Z. 所以函数 f(x)的单调递增区间为, k∈Z. (2)因为 0≤x≤,所以-≤2x-, 所以-≤sin≤1, 所以-1≤f(x)≤2, 所以函数 f(x)的值域为[-1,2]. 18.(12 分)

如图所示,ABC-A1B1C1 是各条棱长为 a 的正三棱柱,D 是侧棱 CC1 的中点,P 是侧棱 BB1 的中点,O 是 △ABC 的重心. 求证:(1)平面 AB1D⊥平面 ABB1A1; (2)PO∥平面 AB1D. 证明:

(1)取 AB1 的中点 E,AB 的中点 F,连接 DE,CF,由题意知 B1D=AD,故 DE⊥AB1,又 CF⊥AB,CF∥DE,故 DE ⊥AB, ∴DE⊥平面 ABB1A1. 又 DE? 平面 AB1D,∴平面 AB1D⊥平面 ABB1A1. (2)连接 PF,PC.∵P,F 分别为 BB1,BA 的中点, ∴PF∥AB1,PC∥B1D, ∴平面 PFC∥平面 AB1D,又 PO? 平面 PFC, ∴PO∥平面 AB1D. 19.(12 分)△ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(2sin B,-),n=,且 m∥n. (1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求 S△ABC 的最大值. 解:(1)∵m∥n,∴2sin B·=-cos 2B, ∴sin 2B=-cos 2B,即 tan 2B=-. 又∵B 为锐角,∴2B∈(0,π ), ∴2B=,∴B=. (2)∵B=,b=2, 5

由余弦定理 cos B=, 2 2 得 a +c -ac-4=0. 2 2 又 a +c ≥2ac,代入上式,得 ac≤4, 当且仅当 a=c=2 时等号成立. 故 S△ABC=acsin B=ac≤, 当且仅当 a=c=2 时等号成立, 即 S△ABC 的最大值为. 20.(12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=10,a2 为整数,且在前 n 项和中 S4 最大. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=,n∈N+. ①求证:bn+1<bn≤; ②求数列{b2n}的前 n 项和 Tn. 解:(1)由 a1=10,a2 为整数知,等差数列{an}的公差 d 为整数, 又 Sn≤S4,故 a4≥0,a5≤0,即 10+3d≥0,10+4d≤0, 解得-≤d≤-,因此,d=-3, 数列{an}的通项公式为 an=13-3n. (2)①证明:由题意知 bn=,∴bn+1-bn=<0, ∴数列{bn}是递减数列,{bn}的最大项为 b1=, 所以 bn+1<bn≤. ②Tn=+?+, Tn=+?+, 两式相减得+?+ =,

∴Tn=.
21.(12 分)(2015 重庆,文 20)

如图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,∠ABC=,点 D,E 在线段 AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4, 点 F 在线段 AB 上,且 EF∥BC. (1)证明:AB⊥平面 PFE; (2)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长. (1)证明:由 DE=EC,PD=PC 知,E 为等腰△PDC 中 DC 边的中点,故 PE⊥AC. 又平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,PE? 平面 PAC,PE⊥AC,所以 PE⊥平面 ABC,从而 PE⊥AB. 因∠ABC=,EF∥BC,故 AB⊥EF. 从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE,EF 都垂直,所以 AB⊥平面 PFE. (2)解:设 BC=x,则在直角△ABC 中,AB=,从而 S△ABC=AB·BC=. 由 EF∥BC 知,,得△AFE∽△ABC, 故,即 S△AFE=S△ABC. 由 AD=AE,S△AFD=S△AFE=S△ABC=S△ABC=,从而四边形 DFBC 的面积为 SDFBC=S△ABC-S△AFD=. 由(1)知,PE⊥平面 ABC,所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高.在直角△PEC 中,PE==2. 体积 VP-DFBC=·SDFBC·PE=·2=7, 4 2 2 2 故得 x -36x +243=0,解得 x =9 或 x =27,由于 x>0,可得 x=3 或 x=3. 所以,BC=3 或 BC=3. 22.(12 分)(2014 山东济宁一模)设函数 f(x)=ax-2-ln x(a∈R). (1)若 f(x)在点(e,f(e))处的切线为 x-ey-2e=0,求 a 的值; 6

(2)求 f(x)的单调区间; x (3)当 x>0 时,求证:f(x)-ax+e >0. (1)解:∵f(x)=ax-2-ln x(x>0),∴f'(x)=a-. 又 f(x)在点(e,f(e))处的切线为 x-ey-2e=0, ∴f'(e)=a-,故 a=. (2)解:由(1)知,f'(x)=a-(x>0), 当 a≤0 时,f'(x)<0 在(0,+∞)上恒成立, ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数; 当 a>0 时,令 f'(x)=0,则 x=, 令 f'(x)<0,则 0<x<,f'(x)>0,则 x>, ∴f(x)在上递减,在上递增. 综上可得,当 a≤0 时,f(x)的减区间为(0,+∞); 当 a>0 时,f(x)的减区间为,f(x)的增区间为. x x (3)证明:当 x>0 时,要证 f(x)-ax+e >0,即证 e -ln x-2>0, x 令 g(x)=e -ln x-2(x>0),只需证 g(x)>0, ∵g'(x)=ex-,由指数函数和幂函数的单调性知,g'(x)在(0,+∞)上递增, 又 g'(1)=e-1>0,g'-3<0, ∴g'(1)·g'<0, ∴g'(x)在内存在唯一的零点,则 g'(x)在(0,+∞)上有唯一零点. t 设 g'(x)的零点为 t,则 g'(t)=e -=0, t 即 e =,由 g'(x)的单调性知, 当 x∈(0,t)时,g'(x)<g'(t)=0, 当 x∈(t,+∞)时,g'(x)>g'(t)=0, ∴g(x)在(0,t)上为减函数,在(t,+∞)上为增函数, ∴当 x>0 时,g(x)≥g(t)=et-ln t-2=-ln-2=+t-2≥2-2=0, 又<t<1,等号不成立,∴g(x)>0, ∴当 x>0 时,f(x)-ax+ex>0.

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