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2016高考数学大一轮复习 9.8与圆锥曲线有关的定值、最值试题 理 苏教版

2016 高考数学大一轮复习 9.8 与圆锥曲线有关的定值、 最值试题 理 苏教版
一、填空题 1.已知椭圆 C: +y =1 的两个焦点为 F1、F2,点 P(x0,y0)满足 0< +y0<1,则 PF1+PF2 2 2 的取值范围是________. 解析 由题意,得点 P 在椭圆 +y =1 的内部,所以 2c≤PF1+PF2<2a,即 2≤PF1+ 2

x2

2

x2 0

2

x2

2

PF2<2 2.
答案 [2,2 2).

? π? 2 2 2.若 α ∈?0, ?,方程 x sin α +y cos α =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值 2? ?
范围是________. 解析 由

x2

1 sin α



y2

1 cos α

1 1 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,得 > >0,即 sin cos α sin α

? π? α >cos α >0.又 α ∈?0, ?, 2? ?
π π 所以 <α < . 4 2

?π π ? 答案 ? , ? ?4 2?
3.已知椭圆 +y =1 的焦点为 F1,F2,在长轴 A1A2 上任取一点 M,过 M 作垂直于 A1A2 的直 4 → → 线交椭圆于点 P,则使得PF1?PF2<0 的点 M 的概率为________. 解析 → → 2 设点 P 的坐标为(m,n),则PF1?PF2=(- 3-m,-n)?( 3-m,-n)=m -3

x2

2

2 6 2? 3 2 6 2 6 → → 2 2 +n =m -3+1- = -2<0, 解得- <m< , ∴PF1?PF2<0 的概率为 P= = 4 4 3 3 2?2

m2 3m2

6 . 3 答案 6 3
2 2

x y → → 4.已知 F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点,P 是椭圆上一点,且PF1?PF2= a b
0,则椭圆离心率 e 的取值范围是________.
1

→ → → → → → 2 2 2 2 解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,则由PF1?PF2=0,得PF1⊥PF2,所以有 m +n =F1F2=4c .

c2 1 又由椭圆定义,得 m+n=2a.于是由不等式 ≥? ? ,得 2c ≥a ,所以 e =a2≥2. 2 ? 2 ?
2 2 2

m2+n2 ?m+n?2

又 0<e<1,所以 答案 ?

2 ≤e<1. 2

? 2 ? ,1? ?2 ?
x2 y2 a b
2

5.已知椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),当 a + ________. 解析 a +
2

16 取最小值时,椭圆的离心率 e= b?a-b?

16 16 64 2 2 ≥a + =a + 2 ≥2 b?a-b? a ?b+a-b?2 ? 2 ? ? ?

a2? 2 =16,当且仅当 a2=8,b2 a

64

1 2 c 3 2 2 2 = a =2 时等号成立,此时 c =a -b =6,所以 e= = . 4 a 2 答案 3 2

6.设 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x= 上存在点 P 使线段

x2 y2 a b

a2 c

PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率 e 的取值范围是________.

? ? ? ? 解析 设 P? ,y?,F1P 的中点 Q 的坐标为? , ?,当 y≠0 时,有 kF1P= 2 ,kQF2 a +c2 ?c ? ?2c 2?
y cy


a2

b2
2

cy b -2c
2

2

?a +c ??2c -b ? 2 2 2 2 , 由 kF1P?kQF2=-1 得 y = , y ≥0, 但注意到 b -2c ≠0, 2

2

2

2

c

3 2 2 2 2 2 1 2 2 即 2c -b >0,即 3c -a >0,即 e > ,故 <e<1.当 y=0 时,b -2c =0,此时 kQF2 不存 3 3 在,此时 F2 为 PF1 中点, -c=2c,得 e= 答案 ?

a2 c

3 3 ? 3 ? ,综上得 ≤e<1,故填? ,1?. 3 3 ?3 ?

? 3 ? ,1? ?3 ?
2 2

7.设椭圆恒过点(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________. 解析 1 4 4a e 2 2 因为 2 + 2 = 1 ,所以 b = 2 (a >5) ,所以 = a b a -1 c
2 2

a2 a -b
2 2



a2?a2-1? = a2-5

?a -5?+ 答案 2+ 5

20 2 +9≥ 4 5+9=2+ 5,当且仅当 a =5+2 5时等号成立. a -5

2

8.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 e,若椭圆上存在点

x2 y2 a b

PF1 P,使得 =e,则该离心率 e 的取值范围是________. PF2
2ae 2a 解析 因为 PF1=ePF2,PF1+PF2=2a,所以 PF1= ,PF2= ,因为 e∈(0,1),所 1+e 1+e 2ae 2ac 以 PF1<PF2.由椭圆性质知 a-c≤PF1≤a+c, 所以 a-c≤ ≤a+c, 即 a-c≤ ≤a 1+e a+c +c,即 a -c ≤2ac≤(a+c) ,即 e +2e-1≥0.又 0<e<1,所以 2-1≤e<1. 答案 [ 2-1,1) 二、解答题 9.已知椭圆 + =1 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1),Q(x2,y2)且 x1+x2=2. 4 2 (1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求 PB 的最小值及相应的 P 点坐标. (1)证明 ∵P(x1,y1),Q(x2,y2),且 x1+x2=2. 当 x1≠x2 时,由?
?x1+2y1=4 ? ? ?x2+2y2=4
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

,得

y1-y2 1 x1+x2 =- ? . x1-x2 2 y1+y2

设线段 PQ 的中点 N(1,n),∴kPQ=

y1-y2 1 =- , x1-x2 2n

∴线段 PQ 的垂直平分线方程为 y-n=2n(x-1), ∴(2x-1)n-y=0,

?1 ? 则直线恒过一个定点 A? ,0?. ?2 ? ?1 ? 当 x1=x2 时,线段 PQ 的中垂线也过定点 A? ,0?. ?2 ? ?1 ? 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A? ,0?. ?2 ? ? 1 ? (2)解 由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称,故点 B?- ,0?. ? 2 ?
∵-2≤x1≤2,-2≤x2≤2,∴x1=2-x2∈[0,2],
2 PB2=?x1+ ?2+y2 1= (x1+1) + ≥ , 2

? ?

1?

?

1 2

7 4

9 4

3 ∴当点 P 的坐标为(0,± 2)时,PBmin= . 2 10. 如图过点 C(0,1)的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心

x2 y2 a b

3

率为

3 .椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0)、B(-a,0).过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D, 2

并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (1)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; → → (2)当点 P 异于点 B 时,求证:OP?OQ为定值. (1)解 由已知得 b=1, = 所以椭圆方程为 +y =1. 4 椭圆的右焦点为( 3,0),此时直线 l 的方程为 y=- -8 3x=0. 8 3 1 解得 x1=0,x2= ,代入直线 l 的方程得 y1=1,y2=- , 7 7 所以 D 点坐标为? 故 CD= 1? ?8 3 ,- ?. 7? ? 7 3 x+1,代入椭圆方程化简得 7x2 3

c a

3 ,解得 a=2, 2

x2

2

?8 3 ?2 ? 1 ?2 16 ? -0? +?-7-1? = . ? 7 ? 7 ? ?

(2)证明 当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 1 设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0 且 k≠ ). 2 代入椭圆方程化简得(4k +1)x +8kx=0. -8k 解得 x1=0,x2= 2 , 4k +1 1-4k 代入直线 l 的方程得 y1=1,y2= 2 , 4k +1
2 2 2

? -8k 1-4k ? 所以 D 点坐标为? 2 , 2 ?. ?4k +1 4k +1?
又直线 AC 的方程为 +y=1, 2
?x=-4k, ? 1+2k 直线 BD 的方程为 y= (x+2),联立解得? 2-4k ?y=2k+1. ?

2

x

? 1 ? 因此 Q 点坐标为(-4k,2k+1).又 P 点坐标为?- ,0?. ? k ?
→ → ? 1 ? 所以OP?OQ=?- ,0??(-4k,2k+1)=4.

? k

?

→ → 故OP?OQ为定值.
4

11.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 其上的动点 M 到一个焦点的距离最大为 3,点 M 对 F1、F2 的张角最大为 60°. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 在 x 轴上的两个顶点分别为 A,B, 点 P 是椭圆

x2 y2 a b

C 内的动点,且 PA?PB=PO2,求PA?PB的取值范围.
解 (1)设 M(x0,y0),由椭圆的第二定义,知
2 ?a ? MF2=e? -x0?=a-ex0. ?c ?

→ →

∵-a≤x0≤a,∴当 x0=-a 时,(MF2)max=a+ea=a+c, ∴a+c=3. 又 MF1=2a-MF2=a+ex0,F1F2=2c, 1 ∵(∠F1MF2)max=60°,∴(cos∠F1MF2)min= . 2 而 cos∠F1MF2=
2 2 2 MF1 +MF2-F1F2 2MF1?MF2 2



?MF1+MF2? -2MF1?MF2-F1F2 = 2MF1?MF2 2?a -c ? 2?a -c ? = -1= 2 -1. MF1?MF2 a -e2x2 0 2?a -c ? a -2c a -2c 1 故当 x0=0 时,(cos∠F1MF2)min= - 1= ,∴ = . 2 2 a a a2 2 即 a=2c. 由①②,得 a=2,c=1,∴b= 3. 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)设 P(x,y),则 ②
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

x2 y2

x y ? ? 4 + 3 <1, ? ? ? ?x+2?2+y2? ?x-2?2+y2=x2+y2.
由④,得 y =x -2.
2 2

2

2

③ ④ ⑤

x x -2 2 ∴x ≥2,⑤代入③,得 + <1. 4 3
2 20 2 20 ∴x < .∴2≤x < . 7 7

2

2

5

→ → 2 2 ∴PA?PB=(-2-x,-y)?(2-x,-y)=x +y -4 2? ? 2 2 2 =x +(x -2)-4=2x -6∈?-2,- ?. 7? ? 2? → → ? 故PA?PB的取值范围为?-2,- ?. 7? ? 12.给出双曲线 x - =1. 2 (1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程; (2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1,P2 两点,求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹 方程; (3)过点 B(1,1)能否作直线 m,使得 m 与双曲线交于两点 Q1,Q2,且 B 是 Q1Q2 的中点?这 样的直线 m 若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)设弦的两端点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
? ?2x1-y1=2, 则? 2 2 ?2x2-y2=2, ?
2 2 2

y2

两式相减得到 2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),又 x1+x2=4,y1

+y2=2, 所以直线斜率 k=

y1-y2 =4.故求得直线方程为 4x-y-7=0. x1-x2

(2)设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2), 按照(1)的解法可得

y1-y2 2x = , x1-x2 y



由于 P1,P2,P,A 四点共线, 得

y1-y2 y-1 = , x1-x2 x-2



2x y-1 2 2 由①②可得 = ,整理得 2x -y -4x+y=0,检验当 x1=x2 时,x=2,y=0 也满足 y x-2 方程,故 P1P2 的中点 P 的轨迹方程是 2x -y -4x+y=0. (3)假设满足题设条件的直线 m 存在,按照(1)的解法可得直线 m 的方程为 y=2x-1.
2 2

y=2x-1, ? ? 考虑到方程组? 2 y2 x - =1 ? 2 ?

无解,因此满足题设条件的直线 m 是不存在的.

6


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