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2013备考各地试题解析分类汇编(一)文科数学:10统计与概率


各地解析分类汇编:统计与概率
1. 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】 某校选修乒乓球课程的学生中, 高一年级有 30 名,高二年级有 40 名。现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本, 已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( A. 6 B. 7 C. 8 D.9 )

【答案】C 【解析】设从高二应抽取 x 人,则有 30 : 40 ? 6 : x ,解得 x ? 8 ,选 C. 2.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】 (本小题满分 12 分)某河流 上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨 量 X(单位:毫米)有关.据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5;已知近 20 年 X 的值为:140,110,160,70,200,160,140 ,160,220,200,110,160,160,200,140, 110,160,220,140,160. (I)完成如下的频率分布表:

近 20 年六月份降雨量频率分布表 140[来 降雨量 70 110 源:学 科网] 频率 160 200 220

1 20

4 20

2 20

(II)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份的降雨量的分布规律相同,并将频率视为概 率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概 率. 【答案】解: (I)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的有 3 个,故近 20 年六月份降雨量频率分布表为

降雨量 频率

70

110

140

160

200

220

1 20

3 20

4 20

7 20

3 20

2 20

…………………………………………………………………………………….…..….5 分

P("发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时")
.(II) =P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)

=

1 3 2 3 ? ? ? 20 20 20 10

故今年六月份该水力发电 站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为

3 .…………………………………………………………………………………12 分 10
2 2 3.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】记集合 A ? ( x, y ) | x ? y ? 16

?

?

和集合 B ? ?( x, y) | x ? y ? 4 ? 0, x ? 0, y ? 0 表示的平面区域分别为 ?1 , ?2 若在区域 ?1 内 ? 任取一点 M ( x, y ) ,则点 M 落在区域 ? 2 的概率为 A.

1 2?

B.

1

?

C.

1 4

D.

? ?2 4?

【答案】A 【解析】区域 ? 1 为圆心在原点,半径为 4 的圆,区域 ? 2 为等腰直角三角形,两腰长为 4,所 以P?

S? 2 S? 1

?

8 1 ,故选 A. ? 16π 2π

4.【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试文】在某地区某高传染性病毒流行期 间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居众显示可以过正常生活,有公共 卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人” ,根据连续 7 天的新增 病倒数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是 ①平均数 x ? 3 ;②标准差 S ? 2 ;③平均数 x ? 3 且标准差 S ? 2 ; ④平均数 x ? 3 且极差小于或等于 2;⑤众数等于 1 且极差小于或等于 4。 A.①② 【答案】D B.③④ C.③④⑤ D.④⑤

【解析】①②③错,④对,若极差等于 0 或 1,在 x ? 3 的条件下显然符号指标,若极差等于 2,则有下列可能, (1)0,1,2, (2)1,2,3, (3)2,3,4, (4)3,4,5, (5)4,5 ,6. 在 x ? 3 的 条件下,只有(1) (3)成立,符合标准。⑤正确,若众数等于 1 且极差小于等于 4,则 (2) 5,符合指标,故选 D. 最大数不超过 5. 云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 【 (三) 文】某班 50 名学生在一次百米测试中, 成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间, 将测试结果分成五组: 第一组 ?13,14 ? , 第二组 ?14,15? , ??,

第五组 ?17,18? .图 3 是按上述分组方法得到的频率分布直方图,若成绩大于或等于 14 秒且 小 于 16 秒 认 为 良 好 , 则 该 班 在 这 次 百 米 测 试 中 成 绩 良 好 的 人 数 等
频率 0.38 组距 0.32

0.16 0.08 0.06 秒
13 14 15 16 17 18

于 【答案】27



【解析】 (0.16 ? 0.38) ? 1 ? 50 ? 27 .

?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 6. 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】 【 若在区域 ? x ? 0 内任取一点 P, ?y ? 0 ?
则点 P 落在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1内的概率为 【答案】 3? .

32

【解析】做出不等式对应的区域如图

,则 C (4, 0), B (0, ) ,所

4 3

以三角形的面积为

1 4 8 ? ? 4 ? ? ,第一象限内圆弧的面积为 ,所以点 P 落在单位圆 2 3 3 4

?
x ? y ?1
2 2

内的概率为

4 ? 3? 。 8 32 3

7.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】 (本小题满分 12 分)某高校为调 查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的 55 名学生,得到数据

如下表: 喜欢统计课程 [来源:Z,xx,k.Com] 男 20 生 女 10 生 合 30 计 (1)判断是否有 99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关? (2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取 6 名学生作进一步调查,将这 6 名学生 作为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 个男生和 1 个女生的概率. 下面的临界值表供参考: 0.0 25 55 20 30 5 25 不喜欢统计课 合计 程

P( K 2 ? k )
5

0.1 0

0.1

5[来源: 学,科, 网] 5

0.2

0.0 10

0.0 05

0.0 01

2.0

2.7 06

3.8 41

5.0 24

6.6 35

7.8 79

10. 828

k
72 (参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
55 ? (20 ? 20 ? 10 ? 5) 2 ? 11.978 ? 7.879 , 30 ? 25 ? 25 ? 30

【答案】解: (Ⅰ)由公式 K 2 ?

所以有 99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关. (Ⅱ)设所抽样本中有 m 个男生,则

?????????(6 分)

6 m ? ,得m ? 4 人,所以样本中有 4 个男生,2 30 20

个女生,分别记作 B1 , B2 , B3 , B4 , G1 , G2 . 从中任选 2 人的基本事件有 ( B1 , B2 )、( B1 , B3 )、
( B1 , B4 )、( B1 , G1 )、 ( B1 , G2 )、( B2 , B3 )、 ( B2 , B4 )、( B2 , G1 )、( B2 , G2 )、 B3 , B4 )、 (

( B3 , G1 )、( B3 , G2 )、( B4 , G1 )、( B4 , G2 )、(G1 , G2 ) ,共 15 个,其中恰有 1 名男生和 1 名女

生的事件有 ( B1, G1) 、 B1, G2) 、B2, G1) 、 ( B2 , G2 ) 、 B3, G1) 、 B3, G2) 、 ( B4 , G1 )、 ( ( ( (
( B4 , G2 ) ,共 8 个,所以恰有 1 名男生和 1 名女生的概率为 P ?

8 . 15

???(12 分)

8.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】 (本题满分 12 分) 今年十一黄金周,记者通过随机询问某景区 110 名游客对景区的服务是否满意,得到如下的 列联表:性别与对景区的服务是否满意 男 满意 不满意 总计 50 10 60 单位:名 女 30 20 50 总计 80 30 110

(1)从这 50 名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样,抽取一个容量为 5 的样本, 问样本中满意与不满意的女游客各有多少名? (2)从(1)中的 5 名女游客样本中随机选取两名作深度访谈,求选到满意与不满意的女游 客各一名的概率; (3)根据以上列联表,问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关

n ? ad ? bc ? 注: k ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

临界值表: P( k 2 ? k0 ) 0.05 0.025 0.010 0.005

K0

3.841

5.024

6.635

7.879

【答案】解: (1)根据分层抽样可得:样本中满意的女游客为 的女游客为

5 ? 30 ? 3 名,样本中不满意 50

5 ? 20 ? 2 名。 50

(2)记样本中对景区的服务满意的 3 名女游客分别为 a1 , a2 , a3 ,对景区的服务不满意的 2 名 女游客分别为 b1 ,b2 。从 5 名女游客中随机选 取两名,共有 10 个基本事件,分别为:

(a1 , a2 ), (a1 , a3 ) , (a1 , b1 ), (a1 , b2 ) , (a2 , a3 ), (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ), (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ), (b1 , b2 ) ;

( 其中事件 A: 选到满意与不满意的女游客各一名包含了 6 个基本事件, 分别为: a1 , b1 ), (a1 , b2 ) ,

(a2 , b1 ) (a2 , b2 ), (a3 , b1 ) , (a3 , b2 )
所以所求概率 P ( A) ?

6 3 ? 。 10 5

(3)假设 H 0 :该景区游客性别与对景区的服务满意无关,则 k 2 应该很小。 根据题目中列联表得: k ?
2

110? (50 ? 20 ? 30 ? 10) 2 539 ? ? 7.486 80 ? 30 ? 60 ? 50 72

由 P(k 2 ? 6.635 ? 0.010可知:有 99%的把握认为:该景区游客性别与对景区的服务满意有 ) 关。 9.【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】 (本小题满分 12 分) 某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者 中随机抽取 100 名按年龄分组 :第 1 组 ? 20,25? ,第 2 组 ? 25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 4 组

?35,40? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3,4, 5 组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

[来源:Z#xx#k.Com]

【答案】解:(1) 第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的 人数为 0.1×100=10. ????3 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者, 每组抽取的人数分别为:第 3 组:
30 20 10 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ????6 分 (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志 愿者为 C1.

则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. ????8 分 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1), 共 有 9 种, ????10 分 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为

9 3 = . ????12 分 15 5

10.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考文科】(本小题满分 12 分) 甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正方体,六个面上分别为 l,2,3,4,5,6 点),所得点数 分别记为 x,y, (1)列出所有可能的结果(x,y); (2)求 x<y 的概率; (3)求 5<x+y<10 的概率. 【答案】 11 【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考文】 (本小题满分 12 分) 袋中有五张卡片,其 中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为 1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (2)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色 不同且标号之和小于 4 的概率. 【答案】解: (1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3, 红 1 蓝 1,红 1 蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的 颜色不同且标号之和小于 4 的 有 3 种情况,故所求的概率为 P ?
3 ................6 分 10

(2)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况外,多 出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 种情况,其中颜色 不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为 P ?
8 . 15

【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】 (本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出。某市政府为了节约生 活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量的 标准。为 了确定一个较为合理的标准,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况。现采用抽样 调查的方式, 获得了 n 位居民某年的月均用水量 (单位: , t) 样本统 计结果如下图表: [来 源:学_科_网]

(Ⅰ)分别求出 n, a, b 的值; (Ⅱ)若从样本中月均用水量在[5,6](单位: t )的 5 位居民中任选 2 人作进一步的调查 研究,求月均用水量最多的居民被选中的频率(5 位居民的月均用水量均不相等。 ) 【答案】1) n ? 200, a ? 0.125 b ? 0.25 , (2)设 A,B,C,D,E 代表用水量从多到少的 5 位居民,从中任选 2 为,总的基本事件为 AB,AC,AD,AE ,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共 10 个,包含 A 的 有 AB,AC,AD,AE 共 4 个,所以 P ?

4 2 ? 10 5


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