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2013年高考新课标理科数学解析几何专项训练教师版


2013 年高考新课标理科数学解析几何专项训练
组题人:巫德强
1..双曲线 是

x 2 y2 ? =1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点 P 到左准线的距离 64 36


56 【答案】 5
【解析】 a ? 8, b ? 6, c ? 10 ,点 P 显然在双曲线右支上,点 P 到左焦点的距离为 14,所 以

14 c 5 56 ? ? ?d ? d a 4 5

2.巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 .

3 ,且 G 上一点到 G 的两个 2

x2 y2 3 ? ? 1. 【解析】 e ? , 2a ? 12 , a ? 6 , b ? 3 ,则所求椭圆方程为 36 9 2
x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 2 9 3..设双曲线 a 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为
A.4 【答案】C
2 2

B.3

C.2

D.1

4.双曲线 2 x ? y ? 8 的实轴长是 (A)2 【答案】C 5..已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, 的中点到 y 轴的距离为 (B) 2 2 (C) 4 (D)4 2

AF ? BF =3

,则线段 AB

3 (A) 4
【答案】C

(B)1

5 (C) 4

7 (D) 4

x?
6..已知抛物线

1 2 y 2 2 2 的焦点是双曲线 mx ? ny ? 1 ( mn ? 0 )的其中一个焦点,且双曲


线的离心率为 2 ,则 m ? (

. ?8

. ?128

.8

. 128

2 【解析】 C,根据先根据双曲线的一个焦点与抛物线 y ? 2 x 的焦点重合求得焦点坐标, 选 再 2 根据双曲线的离心率为 2 求得 a ,然后对号入座求得 m 的值.抛物线 y ? 2 x 的焦点是

1 1 a?c ? 1 1 F ( ,0) c? m? 2 ?8 e 2 2 ,所以 2 ,则 2, a .

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 7.. 连 接 椭 圆 a 的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为
x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则该椭圆的离心率为( )

2 5 . 5
【解析】选

1 .2

5 . 5

2 . 3

,直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 与坐标轴的交点为(-2,0)(0,1) , ,依题意得

c ? 2, b ? 1 ? a ? 5 ? e ?

2 5 5 .

8.【2012 高考真题新课标理 8】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线

y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)



2

(B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

2 2 【解析】设等轴双曲线方程为 x ? y ? m(m ? 0) ,抛物线的准线为 x ? ?4 ,由

AB ? 4 3 ,则 y A ? 2 3 ,把坐标 (?4,2 3) 代入双曲线方程得
m ? x 2 ? y 2 ? 16 ? 12 ? 4 ,所以双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ,即
x2 y2 ? ? 1 ,所以 4 4

a 2 ? 4, a ? 2 ,所以实轴长 2a ? 4 ,选 C.
10.设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
( A)

1 2

(B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

【解析】 因为 ?F2 PF 是底角为 30 的等腰三角形, 则有 F2 F1 ? F2 P ,, 因为 ?PF F2 ? 300 , 1 1
?

所 以 ?PF2 D ? 600 , ?DPF2 ? 300 , 所 以

1 1 PF2 ? F1 F2 , 即 2 2 3a 1 3a c 3 3 ? c ? ? 2c ? c ,所以 ? 2c ,即 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? ,选 C. 2 2 2 a 4 4 F2 D ?

11.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3 ) C、 4 D、 2 5

【答案】B(可能为 A) 【解析】设抛物线方程为 y ? 2 px 2 ,则点 M (2, ?2 p ) Q 焦点 ?

?p ? , 0 ? ,点 M 到该抛物线 ?2 ?

焦点的距离为 3 ,? ? 2 ?

? ?

p? ? ? 4P ? 9 , 解得 p ? 2 ,所以 OM ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 3 . 2?

2

12.已知双曲线 C : 为

x2 y2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程 a2 b2

x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20
【解析】设双曲线 C :

x2 y2 D. =1 20 80

x2 y2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a2 b2
b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,?1 ? ?2 ,即 a ? 2b . a a

又? C 的渐近线为 y ? ?

2 2 2 又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ? 5 ,? C 的方程为

x2 y2 =1. 【答案】A 20 5

13.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其 4 b

渐近线的距离等于

A.

5

B. 4 2

C.3

D.5

【解析】由抛物线方程 y 2 ? 12x 易知其焦点坐标为 (3,0) ,又根据双曲线的几何性质可知

4 ? b 2 ? 32 ,所以 b ? 5 ,从而可得渐进线方程为 y ? ?

5 x ,即 ? 5x ? 2 y ? 0 ,所以 2

d?

| ? 5 ?3 ? 2? 0 | ? 5 ,故选A. 5? 4
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右顶点分别是 A,B,左、 右焦点分别是 F1, 2。 AF , F 若 1 a2 b2

14.椭圆

F1F2 , F1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
【 解 析 】 椭 圆 的 顶 点 A(?a,0), B( A,0) , 焦 点 坐 标 为 F (?c,0), F2 (c,0) , 所 以 1

AF ? a ? c, F1B ? a ? c , F1F2 ? 2c ,又因为 AF , F1F2 , F1B 成 等比数列,所以有 1 1
4c2 ? (a ? c)(a ? c) ? a2 ? c2 ,即 5c 2 ? a 2 ,所以 a ? 5c ,离心率为 e ?
15.在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 【解析】由

c 5 . ? a 5

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 , m 的值为 ▲ . 则 m m ?4

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

∴ e= =

c a

m ? m2 ? 4 m

= 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 。

16.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长 4 3

最大时, ?FAB 的面积是____________。 【解析】当 直线 x ? m 过右焦点时 ?FAB 的周长最大,? m ? 1 ; 将 x ? 1 带入解得 y ? ?

3 1 3 ;所以 S?FAB ? ? 2 ? ? 3 . 2 2 2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 17. . 双 曲 线 a 中,F 为右焦点, ??? ??? ? ? B(0, b)且AB ? BF ? 0 ,则此双曲线的离心率为( )
3 ?1 . 2 5 ?1 . 2

为左顶点,点

. 2

. 3

【 解析 】选 D,根据 题意

??? ??? ? ? 2 2 2 AB ? BF ? 0 , 即 AB ? BF ,?b ? ac, 即 c ? a ? ac, 故

e2 ? e ?1 ? 0 ,

又 e ? 1 ,所以

e?

5 ?1 . 2

??? ??? ??? ? ? ? ? y 2 ? 4 x, 焦点为 F,?ABC 三个顶点均在抛物线上, FA ? FB ? FC ? 0 , 18. 已知抛物线 若 ??? ??? ??? ? ? ? FA ? FB ? FC ?
则 ( ) .8 .6 .3 .0

【解析】选 B,设 A,B,C 三点的横坐标分别为

??? ??? ??? ? ? ? ? x1 , x2 , x3 ,根据已知 FA ? FB ? FC ? 0 ,所

? x1 ? x2 ? x3 ? 3. 根 据 抛 物 线 的 定 义 可 知 以 点 F 为 ?ABC 的 重 心 ,
??? ??? ??? ? ? ? 3p FA ? FB ? FC ? x1 ? x2 ? x3 ? ? 6. 2
19.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,在第一象限中过抛物线上任意一点 P 的切线为 l ,过
2

PM ? 4 P 点作平行于 x 轴的直线 m ,过焦点 F 作平行于 l 的直线交 m 于 M,若 ,则点
P 的坐标为 .
1

P ( x0 , y0 ), y ? 2 x 2 , y? ?
【解析】 设

1 1 , k ? y? | x? x0 ? , x x0

y ? 2 x0 2 ?
所以 l 方程为

1

1 x0

( x ? x0 ),

(? x0 ,0), 与 x 轴交点 A 的坐标为 | AF |?| PM |? x0 ? 1, 所以 P(3,2 3)
【答案】 (3,2 3)
x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 F F b 20.已知点 1 、 2 分别是双曲线 a 的左、 右焦点, F1 且垂直于 x 轴 过

?ABF2 的最大角为锐角,则该双曲线离心率的取值范 的直线与双曲线交于 A , B 两点,若
围是________.
A(?c, b2 b2 ) B(?c, ? ) a , a ,

【解析】过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于

?ABF2 是锐角三角形,等价于 ?AF2 F1 ? 45?, 即 tan ?AF2 F1 ? 1 .
2 2 2 2 2 2 又因为双曲线中 b ? c ? a ,所以 c ? a ? 2ac .不等式两边同时除以 a ,得:

c ? c 2 ?( a ) ? 2 ? a ? 1 ? 0 ? ? c ?c ?1 ? (1, 1 ? 2) ?a ? ,所以 a .
【答案】 (1, 1 ? 2) 21.已知点 M (1, y) 在抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) 上,抛物线的焦点为 F,且 MF ? 2 ,直
2

线l:

y??

1 x?b 2 与抛物线交于 A, B 两点.

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅲ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值.
x?? 2 2 ,由抛物线定义和已知条件 20. 【解析】(Ⅰ : )抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的准线为 p p | MF |? 1 ? (? ) ? 1 ? ? 2 2 2 可知 ,
2 解得 p ? 2 ,故所求抛物线方程为 y ? 4 x .

p

(Ⅱ )联立

1 ? ?y ? ? x ? b 2 ? ? y2 ? 4x ?

2 ,消 x 并化简整理得 y ? 8 y ? 8b ? 0 .

依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b ,

Q( x0 , y0 ) ,则应有 设圆心

x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 2 2 .

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又

| AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b)
| AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8

.

所以



解得 所以

b??

8 5. 48 24 ( , ?4) 5 ,所以圆心为 5 .

x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? (x ? 24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 5 .

故所求圆的方程为

(Ⅲ )因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ )知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 ,

直线 l :

y??

1 x?b 2 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,
d? | ?2b | ?2b ? 5 5 ,

点 O 到直线 l 的距离
S?AOB ?

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 3 2 2 所以 . 令 g (b) ? b ? 2b , ?2 ? b ? 0 , 4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) 3 ,
b

4 (?2, ? ) 3

?

4 3

4 (? ,0) 3

g ?(b) g (b)



0 极大



由上表可得

g (b)

4 32 g (? ) ? 3 27 . 的最大值为

所以当

b??

32 3 4 3 时, ?AOB 的面积取得最大值 9 .

21、 【2012 高考江苏 19】如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右 a 2 b2

? 3? e 焦点分别为 F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1 , ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心 0) 0) ? 2 ? ? ?
率. (1)求椭圆的方程;

【答案】解: (1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e=

c e ,由点 (1 , ) 在椭圆上,得 a

12 a
c 2 =a 2 ? 1 。
2

?

e2 b
2

?1?

1 a
2

?

c2 a b
2 2

=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 , ∴

? 3? 由点 ? e , ? 在椭圆上,得 ? 2 ? ? ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 e ? 2 ? ? 1 ? c ? ? 2 ? ? 1 ? a ? 1 ? 3 ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 ? 1 4 a2 b2 a4 a4
∴椭圆的方程为

2

2

x2 ? y2 ? 1 。 2
的左、右焦点,D、E 是椭圆的两个顶点,椭圆的离

22.如图 F1、F2 为椭圆

心率



.若点

在椭圆 C 上, 则点

称为点

M 的一个“椭点” ,直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,A、B 两点的“椭点”分别为 P、 Q.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 问是否存在过左焦点 F1 的直线 l, 使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在, 求出该直线的方程;若不存在,请说明理由. 1.解: (1)由题意得 ,故 ,





,即 a=2,所以 b=1,c=

,故椭圆 C 的标准方程为

.

(2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为

联立

解得



,不妨令



所以对应的“椭点”坐标 所以此时以 PQ 为直径的圆不过坐标原点. ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为

.而

.

联立

,消去 y 得:



,则这两点的“椭点”坐标分别为

,由根

与系数的关系可得:



若使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,则 OP⊥OQ, 而 ,因此 ,





=0,解得

所以直线方程为



23.设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

上顶点为 A ,在 x 轴负半轴上有一点 B ,满足 BF ? F F2 ,且 AB ? AF2 . 1 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ) D 是过 A、B、F2 三点的圆上的点, D 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的最大距离等 于 椭圆长轴的长,求椭圆 C 的方程;

???? ???? ?

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的中垂线 与 x 轴相交于点 P (m,0) ,求实数 m 的取值范围.
y
A

B

F 1

O

F2

x

2. (Ⅰ)由题得过两点 A(4, 0) , B(0, 2) 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .

因为

x2 y2 c 1 ? ,所以 a ? 2c , b ? 3c . 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,???2 分 a 2 4c 3c

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 2 2 由 ? x2 消去 x 得, 4 y ?12 y ? 12 ? 3c ? 0 .又因为直线 l 与椭圆 C 相切, y2 ? 2 ? 2 ? 1, ? 4c 3c
所以

???4 分

???6 分

???8 分

又直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 相切, 4 3

? x ? 2 y ? 4 ? 0, 3 3 ? 由 ? x2 y 2 解得 x ? 1, y ? ,所以 P (1, ) ????10 分 2 2 ? ? 1, ? 3 ? 4
则 AP
2

?

45 36 45 81 ? ? . . 所以 AM ? AN ? 4 35 4 7



AM ? AN ? (4 ? x1 ) 2 ? y12 ? (4 ? x2 ) 2 ? y2 2

? (4 ? x1 ) 2 ? k 2 (4 ? x1 ) 2 ? (4 ? x2 ) 2 ? k 2 (4 ? x2 ) 2 ? (k 2 ?1)(4 ? x1 )(4 ? x2 )

? (k 2 ?1)( x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16) ? (k 2 ? 1)(

64k 2 ? 12 32k 2 ? 4? ? 16) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? ( k 2 ? 1)

36 36 81 2 . 所以 (k 2 ? 1) ? ,解得 k ? ? .经检验成立. 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 7 4

所以直线

m 的方程为 y ? ?

2 ( x ? 4) .???14 分 4
4 x ,右焦点 F (5,0) , 3

24.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为 y ?

双曲线的实轴为 A1 A2 , P 为双曲线上一点(不同于 A1 , A2 ),直线 A1 P , A2 P 分别与直 线l : x ?

9 交于 M , N 两点 5

(1)求双曲线的方程; (2) FM ? FN 是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由. 3. 【解】(Ⅰ)连接 AF1 ,因为 AB ? AF2 , BF ? F F2 ,所以 AF1 ? F1F2 , 1 1 即 a ? 2c ,故椭圆的离心率 e ? 2 (其他方法参考给分) (Ⅱ)由(1)知

1

c 1 1 1 3a ? , 得 c ? a 于是 F2 ( a, 0) , B ( ? , 0) , a 2 2 2 2 1 1 Rt ?ABC 的外接圆圆心为 F1 (? a, 0) ),半径 r ? | F2 B |? a 2 2

D 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的最大距离等于 2a ,所以圆心到直线的距离为 a ,
1 | ? a ?3| 2 所以 ? a ,解得 a ? 2,? c ? 1, b ? 2
所求椭圆方程为

3

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 F2 (1,0) , l : y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4

代入消

y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0

因为 l 过点 F2 ,所以

? ? 0 恒成立
8k 2 ?6k , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ?

MN 中点 (

4k 2 ?3k , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

当 k ? 0 时, MN 为长轴,中点为原点,则 m ? 0 当 k ? 0 时 MN 中垂线方程 y ? 令 y ? 0 ,?m ?

3k 1 4k 2 ? ? (x ? ). 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2

k2 1 ? 2 3 3 ? 4k ?4 k2

?

3 1 ? 0 , 2 ? 4 ? 4 , 可得 ? 0 ? m ? 1 2 k k 4 1 综上可知实数 m 的取值范围是 [0, ) 4

x2 y 2 ? ?1 4. (1) 9 16
(2) A1 (?3, 0), A2 (3, 0), F (5, 0)设P( x, y ), M ( , y0 )

???? ????? 24 ? A1 P ? ( x ? 3, y ), A1M ( , y0 ) 5
因为 A1 , P, M 三点共线? ( x ? 3) y0 ?

9 5

24 24 y y ? 0 ? y0 ? 5 5 x ? 15

9 24 y 9 6y ?M ( , ) ,同理 N ( , ? ) 5 5 x ? 15 5 5 x ? 15 ???? ? 16 24 y ???? 16 6y ? FM ? (? , ), FN ? (? , ? ) 5 5 x ? 15 5 5 x ? 15

???? ???? 256 144 y 2 ? FM ? FN ? ? ? 25 25 x 2 ? 9

?

y2 16 ? 2 x ?9 9

???? ??? ? ? ? FM ? FN ? 0


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