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高二数学人教版选修1-1第三章导数测试题


数学选修 1-1 第三章导数及其应用测试题
一、选择题 1.若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f ' (? ) 等于( A. sin ? B. cos ? ) D. 2 sin ?

C. sin ? ? cos ? ) C. (??,??) )

2.函数 y = x3 + x 的递增区间是( A. (0,??) 3.函数 y ? 4 x ?
2

B. (??,1)

D. (1,??)

1 单调递增区间是( x
B. (??,1)

A. (0,??)

C. ( ,?? )

1 2

D. (1,??) )

4. 曲线 f ( x) = x3 + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1, 则 p0 点的坐标为 ( A. (1, 0) B. (2,8) C. (1, 0) 和 (?1, ?4) D. (2,8) 和 (?1, ?4) )

5.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( 6.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为(
4

A. 4 x ? y ? 3 ? 0

B. x ? 4 y ? 5 ? 0

C. 4 x ? y ? 3 ? 0 )

D. x ? 4 y ? 3 ? 0

A. 72 7.函数 y ? A. e
?1

B. 36

C. 12 ) C. e
2

D. 0

ln x 的最大值为( x
B. e

D.

10 3

8.已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的 取值范围是( ) B. [? 3, 3] D. (? 3, 3) ) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

A. (??,? 3] ? [ 3,??) C. (??,? 3) ? ( 3,??) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C.

' 9.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ?1) f ( x) ? 0 ,则必有(

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

10.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,

y

y ? f ?( x)

b

a
则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

O

x

二、填空题
11.若 f ( x) ? x3 , f ' ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________; 12.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________; 13.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_____,切线的方程为_______________; 14.函数 y ? x 3 ? x 2 ? 5x ? 5 的单调递增区间是___________________________。 15.函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值是




16.函数 y ? 2 x ? sin x 的单调增区间为 17.设 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的 2

n

取值范围为

18.对正整数 n ,设曲线 y ? x (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?

三、解答题 19.已知函数 y ? ax3 ? bx2 ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ; (1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的极小值。 20. 已知曲线 y ? x ? 1 与 y ? 1 ? x 在 x ? x0 处的切线互相垂直,求 x0 的值。
2 3 4 2 21. 已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2

(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 的单调递增区间。

22.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。

数学选修 1-1 第三章导数及其应用测试题答案
一、选择题 1.A 2.C

f ' ( x) ? sin x, f ' (? ) ? sin ?

y ' = 3x2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立
1 8 x3 ? 1 1 ? 0, (2 x ? 1)(4 x 2 ? 2 x ? 1) ? 0, x ? 令 y ? 8x ? 2 ? 2 x x 2
'

3.C

4.C

' 2 ' 2 设切点为 P 0 (a, b) , f ( x) ? 3x ? 1, k ? f (a) ? 3a ? 1 ? 4, a ? ?1 ,

把 a ? ?1 ,代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得 b ? ?4 ;把 a ? 1 ,代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得

b ? 0 ,所以 P0 (1, 0) 和 (?1, ?4)
5.A 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导数为

4 ,而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在 (1,1) 处导数为 4 ,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0
6.D

y' ? 4x3 ? 4, 令y' ? 0, 4x3 ? 4 ? 0, x ? 1,当x ? 1时, y' ? 0;当x ? 1时, y' ? 0
得 y极小值 ? y |x?1 ? 0 而端点的函数值 y |x??2 ? 27, y |x?3 ? 72 ,得 ym i n? 0 , 令y ?
'

7.A

(ln x)' x ? ln x ? x ' 1 ? ln x ? ? 0, x ? e ,当 x ? e 时, y' ? 0 ;当 x ? e 时, x2 x2

1 1 y' ? 0 , y极大值 ? f (e) ? ,在定义域内只有一个极值,所以 ymax ? e e
8.B

f ' ( x) ? ?3x2 ? 2ax ?1 ? 0 在 (??,??) 恒成立,? ? 4a2 ?12 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3
f ( x) 在 (??,1) 上是减函数,故 f ( x) 当 x ? 1 时取得最小值,即有 f (0) ? f (1), f (2) ? f (1), 得 f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

' ' 9.C 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数;当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,

10.A

极小值点应有先减后增的特点,即 f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0
' ' '

二、填空题 11. ?1 12.

f ' ( x0 ) ? 3x02 ? 3, x0 ? ?1

3 3 y ' ? 3 x 2 ? 4 , k ? y' x ?|1 ? ?1 , t ?a n ? ? ? 1 , ?? ? 4 4 1 1 1 1 1 ' ' 13. , x ? ey ? 0 y ? , k ? y |x ?e ? , y ? 1 ? ( x ? e), y ? x e x e e e 5 5 ' 2 14. (??, ? ), (1, ??) 令y ? 3 x ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 3 3
15.

?

6

? 3

y' ? 1 ? 2 s i x n ? 0 x , ? ,比较 0 , , 处的函数值,得 ym a x? ? 3 6 6 2 6

?

? ?

?

16. (??, ??) 17. (7, ??) 18. 2
n ?1

y' ? 2 ? c o x s ? 对于任何实数都成立 0
x ? [?1,2] 时, f ( x ) m a x? 7
y/
x?2

?2

? ?2n ? 1? n? 2? 切线方程为 , :y ?

n

2 ??

? n 1

2? n ?

?

2? x ( ,2 )

令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2n ,所以

an ? 2n , n ?1

2 ?1 ? 2n ? ? an ? 则数列 ? ? 2n?1 ? 2 ? 的前 n 项和 Sn ? 1? 2 ? n ? 1?
三、解答题 19.解: (1) y ? 3ax ? 2bx, 当 x ? 1 时, y' |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 ,
' 2

即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
3 2 ' 2 '

(2) y ? ?6x ? 9x , y ? ?18x ? 18x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

? y极小值 ? y |x?0 ? 0
20.解: y ? 2x, k1 ? y |x? x0 ? 2x0 ; y ? 3x , k2 ? y |x?x0 ? 3x0
' ' ' 2 ' 2

k1k 2 ? ?1, 6 x 30 ? ?1, x ? 0 ?
4 2

3

36 。 6

21.解: (1) f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1)
4 2

得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2

f ( x) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2
' 3

(2) f ( x) ? 10 x ? 9 x ? 0, ?

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10

单调递增区间为 (?

3 10 3 10 , 0), ( , ??) 10 10

22.解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b

2 12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 3 9 3 2 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (??, ? ) ? ( ? ,1) 1 x (1, ??) 3 3 3 ? ? ? 0 0 f ' ( x) 极大值 ? 极小值 ? f ( x) ? 2 2 所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ? ,1) ; 3 3 1 2 2 2 22 3 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [ ?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 2 3 3 27
由 f (? ) ?
'

为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c2 , x ?[?1, 2] 恒成立,则只需要 c ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 。
2


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