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湖北省沙市中学2015-2016学年高二数学下学期第六次半月考试题文(新)

2015—2016 学年下学期高二年级 第六次半月考文数试卷
考试时间:2016 年 6 月 17 日 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.若复数 (m2 ? i)(1? mi) 是实数,则实数 m ? ( A.1 B. ?1 C. 2 ) D. ? 2
开始 S=0, k=0

2.集合 A ? {2,3} , B ? {1, 2,3} ,从 A , B 中各任意取一个数, 则这两数之和等于 4 的概率是( )

2 1 1 1 B. C. D. 3 2 6 3 3.执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8, 则判断框内可填入的条件是( )
A.
3 A. S ? ? 4

S?S?

1 k

k=k+2 是 否 输出 k 结束

B. S ? D. S ?

11 ? 12 137 ? 120

C. S ?

25 ? 24

?3 x ? 4 y ? 10 ? 0 ? 4.已知不等式组 ? x ? 4 表示区域 D ,过区域 D 中任意一点 P 作圆 x 2 ? y 2 ? 1的两条切线 ?y ? 3 ?
且切点分别为 A , B ,当 ?PAB 最小时, cos ?PAB ? ( A. )

3 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

5.已知直线 x ? y ? k ? 0 ( k ? 0 )与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于不同的两点 A 、 B , O 是坐标原点,且有

??? ? ??? ? ? 3 ??? OA ? OB ? AB ,那么 k 的取值范围是( 3
A. ( 3, ??) B. [ 2, ??)
0



C. [ 2, 2 2)

D. [ 3, 2 2)

6.在 ?ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 2, BC ? 6 ,在 BC 上任取一点 D ,则使 ?ABD 是以 ? BAD 为 钝角的三角形的概率为( ) A.

1 6
2 2

B.
2

1 3
2

C.

1 2

D.

2 3

1

7.圆 x ? y ? 50 与圆 x ? y ?12 x ? 6 y ? 40 ? 0 的公共弦长为(

A. 5

B. 6

C.2 5

D.2 6 )

2 8.直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 有且只有一个公共点,则 b 的取值范围是(

A. | b |? 2 C. ?1 ? b ? 1

B. ?1 ? b ? 1或b ? ? 2 D. ?1 ? b ? 1或b ? ? 2

9.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图象如图所示,则不等式 xf '( x) ? 0 的解集为( )

1 1 1 )∪( ,2) B.(-∞,0)∪( ,2) 2 2 2 1 1 1 C.(-∞, )∪( ,+∞) D.(-∞, )∪(2,+∞) 2 2 2
A.(-∞, 10.已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ?F1 PF2 ? 60? ,则点 P 到 x 轴的距 离为( A.
3 2

) B.
6 2

C. 3

D. 6

11.已知函数 f ? x ? ? f ? ? A. 2
x 12.若曲线 f ? x ? ? e ?

?? ? ? cos x ? sin x ,则 ?4?
B. 2 ? 1

?? ? f ? ? ?( ?4?
C.1



D.0 )

A. ( ??,

4 ] e2

m 在 ( ??, 0) 上存在垂直 y 轴的切线,则实数 m 取值范围为( x 4 B. (0, 2 ] C. ( ??, 4] D. (0, 4] e

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.圆 x2 ? y 2 ? 4 被直线 l : kx ? y ? 2k ? 0 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 大小为 .

? ,则直线 l 倾斜角的 3

? x ? y ? 3 ? 0, ? 14.如果实数 x , y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 6,最小值为 0,那 ? x ? 1, ?
么实数 k 的值为 .

2

15.分形几何学是数学家伯努瓦?曼得尔布罗在 20 世纪 70 年代创立的一门新的数学学科, 它的创立为解 决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路. 按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个 树形图:

记图乙中第 n 行白圈的个数为 an ,则:(Ⅰ) a4 ? 16.已知 F 是双曲线 C : x 2 ?

;(Ⅱ) an ?



y2 ? 1的右焦点, P 是 C 的左支上一点, A(0,6 6) .当 ?APF 周长 8

最小时,该三角形的面积为 . 三、解答题(本小题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 17.(10 分)已知 a ? 0 设命题 p : 函数 y ? ?

?1 ? ?1? ? 为增函数,命题 q : 当 x ? ? 2 , 2 ? 时,函数 ? ? ?a?

x

f ? x? ? x ?

1 1 ? 恒成立.如果 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求 a 的范围. x a

18. ( 12 分)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表: 工人编号 年龄 1 2 3 4 5 6 7 8 9 40 44 40 41 33 40 45 42 43 工人编号 年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 31 38 39 43 45 39 38 36 工人编号 年龄 19 20 21 22 23 24 25 26 27 27 43 41 37 34 42 37 44 42 工人编号 年龄 28 29 30 31 32 33 34 35 36 34 39 43 38 42 53 37 49 39

(Ⅰ)按编号用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的 年龄数据为 44,列出样本的年龄数据; (Ⅱ)计算(Ⅰ)中样本的平均值 x 和方差 s 2 ; (Ⅲ)求这 36 名工人中年龄在 ( x ? s, x ? s ) 内的人数所占的百分比.
3

19. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A( 0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 .设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (Ⅰ)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (Ⅱ)若圆 C 上存在点 M,使 | MA |? 2 | MO | ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

20. (12 分)设 F 1 , F2 分别是 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 x a 2 b2

轴垂直,直线 MF2 与 C 的另一个交点为 N . (1)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N , 求 a ,b .

21.已知 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点. 4
???? ???? ? 5 ,求点 P 的坐标; 4

(1)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点, PF1 ? PF2 ? ?

(2)设过定点 M ? 0, 2? 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且 ?AOB 为锐角(其中 O 为坐标原 点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

22.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? m, m ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间. (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,任意的 0 ? a ? b ,求证:

f (b) ? f (a) 1 ? . b?a a(1 ? a)

高二年级下学期第六次半月考文数参考答案
4

BCBBC BCDBB CB

13.



14. 2

15. 14,
x

16.12



? 1? ? 0, ? ? ?1, ?? ? . 17. ? 2 ? ?1 ? ?2 ?

?1? 由 y ? ? ? 为增函数, 0 ? a ? 1 . ?a?

因为 f ? x ? 在 ? ,1? 上为减函数,在 ?1, 2? 上为增函数.

?1 ? ? f ? x ? 在 x ? ? , 2 ? 上最小值为 f ?1? ? 2 ?2 ?
当 x ? ? , 2 ? 时,由函数 f ? x ? ? x ? ? 恒成立得,解得 a ? x a 2 ?2 ? 如果 p 真且 q 假,则 0 ? a ?

?1

?

1

1

1

1 ,如果 p 假且 q 真,则 a ? 1 2

所以 a 的取值范围为 ? 0, ? ? ?1, ?? ? . 2

? ?

1? ?

18.解: (Ⅰ)根据系统抽样的方法,抽取容量为 9 的样本,应分为 9 组,每组 4 人. 由题意可知,抽取的样本编号依次为:2,6,10,14,18,22,26,30,34, 对应样本的年龄数据依次为:44,40,36,43,36,37,44,43,37.……4 分 44+40+36+43+36+37+44+43+37 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得x= =40, 9

s2= [(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+
100 2 2 (43-40) +(37-40) ]= .…………………………………………8 分 9 10 2 1 (Ⅲ)由(Ⅱ) ,得x=40,s= ,∴x-s=36 ,x+s=43 , 3 3 3 23 --s, -+s)内共有 23 人, 由表可知, 这 36 名工人中年龄在(x x 所占的百分比为 ×100﹪≈63.89 36 ﹪.…………………………………………………………………12 分 19.解: (Ⅰ)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 与直线 y=x-1 的交点, 由?
? ?y=2x-4, ?y=x-1. ?

1 9

解得 C(3,2),于是切线的斜率必存在.

设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3,即 kx-y+3=0,
5

|3k+1| 3 由题意, 2 =1,解得 k=0,或 k=- . 4 k +1 3 故所求切线方程为 y=3,或 y=- x+3,即 y=3,或 3x+4y-12=0.……4 分 4 (Ⅱ)∵圆 C 的圆心在直线 y=2x-4 上, 2 2 ∴圆 C 的方程为(x-a) +[y-(2a-4)] =1. 设点 M(x,y),由|MA|=2|MO|,得 x +(y-3) =2 x +y , 2 2 2 2 化简,得 x +y +2y-3=0,即 x +(y+1) =4, ∴点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上, ∴圆 C 和圆 D 有公共点,则 2-1≤|CD|≤2+1, ∴1≤ (a-0) +[(2a-4)-(-1)] ≤3,即 1≤ 5a -12a+9≤3. 2 由 5a -12a+8≥0,得 x∈R; 由 5a -12a≤0,得 0≤a≤
2 2 2 2 2 2 2 2

12 . 5

12 故圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为[0, ].…………………………………12 分 5 20.解: (1)∵M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, ∴M 的横坐标为 c,当 x=c 时,y= 若直线 MN 的斜率为 , ,即 M(c, ) ,

即 tan∠MF1F2=



即b= 即c+ 则
2

2

=a ﹣c , ﹣a =0, ,
2

2

2

即 2e2+3e﹣2=0 解得 e= 或 e=﹣2(舍去) , 即 e= . (Ⅱ)由题意,原点 O 是 F1F2 的中点,则直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, 设 M(c,y) , (y>0) , 则 ,即 ,解得 y= ,
6

∵OD 是△MF1F2 的中位线, ∴ =4,即 b2=4a, 解得|DF1|=2|F1N|, 即

由|MN|=5|F1N|, 则|MF1|=4|F1N|, 设 N(x1,y1) ,由题意知 y1<0,

则(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1) .



,即

代入椭圆方程得 解得 a=7,b= 21.(1) P ? 1, .



将 b2=4a 代入得



? ? ?

? 3? ? 3 ? 3? , 2? ;(2) k ? ? ?2, ? ? ??? ? ? ?. ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ?

试题解析: (1)因为椭圆方程为 ∴ F1 ? 3, 0 , F2

x2 ? y 2 ? 1,知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 , 4

?

? ?
?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ( x ? 0, y ? 0) ,

?

则 PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ?

???? ???? ?

??

5 3 ? x, ? y ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? , 4

?

7 ? 2 ? x2 ? 1 x ? y2 ? ? x ?1 ? ? x 3? ? ? ? 4 2 P 1, ? y ? 1,联立 ? 2 又 ,解得 ? 2 3 ? ? ,∴ ? 3 ? 2 ? ?. 4 ?y ? ?y ? ? x ? y2 ? 1 ? ? 4 ? 2 ? ? ? 4
2

(2)显然 x ? 0 不满足题意,可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? x2 12 16k ? ? y2 ? 1 ? ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ,∴ x1 x2 ? , x1 ? x2 ? ? 联立 ? 4 , 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? y ? kx ? 2 ?
且 ? ? 16k

?

2

? ? 4 ?1 ? 4k ? ?12 ? 0 ,∴ k
2

2

?

3 , 4

又 ?AOB 为锐角,∴ OA ? OB ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,∴ x1x2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? 0 ,
7

??? ? ??? ?

4?4 ? k2 ? 12 ? 16k ? ∴ ?1 ? k ? x1 x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?1 ? k ? ? 2k ? ? ?4? ?0, 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ?
2 2
2 ∴ k ? 4 ,又∵ k ?
2

? 3? ? 3 ? 3 3 2 , 2? ,∴ ? k ? 4 ,∴ k ? ? ?2, ? ??? ? ? ? 4 4 2 ? ? ? ? 2 ?

22.解:(Ⅰ) 当 m≤0 时,f′(x)>0 恒成立,则函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增;…2 分 当 m>0 时,由 则 ,则 f(x)在 上单调递增,在 上单调递减.…4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:当 m≤0 时显然不成立; 当 m>0 时, 令 g(x)=x﹣lnx﹣1, 则 ,函数 g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.∴g(x)min=g(1) 只需 m﹣lnm﹣1≤0 即 ….6 分

=0.则若 f(x)≤0 在 x∈(0,+∞)上恒成立,m=1.…8 分

(Ⅲ)

由 0<a<b 得



由(Ⅱ)得:

,则



则原不等式

成立.…12 分

8


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