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【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第6章 第2讲_图文

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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

第2讲 一元二次不等式的解法

第六章 第2讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第六章 第2讲

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1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的关系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设 计求解的程序框图.

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1个重要关系 三个二次的关系:一元二次不等式的解集的端点与相应的 一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相 同.

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2种必会方法 1. 解一元二次不等式时,首先将不等式标准化,再确定相 应的方程的根,最后根据图象写出解集. 对于Δ<0,Δ=0等特殊 情况的解集要从本质上理解. 2. 解含参的一元二次不等式恒成立问题,一是转化为一元 二次不等式解集为R的情况来解,二是分离参变量,转化为最 值问题去处理.

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3项必须防范 1. 二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解 集;不要忘了二次项系数是否为零的情况. 2. 解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对 根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行 分类讨论,分类要不重不漏. 3. 在集合的运算、求函数的定义域时,经常用到解一元二 次不等式(组),此时要注意解集端点值的取舍.

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1. 一元二次不等式的解集 “三个二次”分三种情况讨论,对应的一元二次不等式ax2 +bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集,可归纳为:

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判别式Δ= b2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

二次函数y =ax2+bx+ c (a>0)的图 象

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判别式Δ=b2-4ac

Δ>0

一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0) 的根

有两相异实根 x=x1或x=x2

一元 二次 不等 式的 解集

ax2+bx +
c>0(a>0)
ax2+bx +
c<0(a>0)

________ ________

Δ=0 有两相同实
根x=x1
________
________

Δ<0 无实根 ________ ________

若a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解.

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(1)解下列不等式: ①2x2+5x-3>0 的解集为____________. ②-3x2-2x+8≥0 的解集为____________. (2)解下列不等式: ①23xx- +11≤0 的解集________. ②x+x 1≤2 的解集________.

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2.一元二次不等式中的恒成立问题 一元二次不等式中的恒成立问题,应结合相应的二次函 数图象和方程根的情况(用判别式),寻找其成立的条件. (1)一元二次不等式 ax2+bx+c>0 恒成立的等价条件为 ??a>0, ???Δ<0;

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(2)一元二次不等式 ax2+bx+c<0 恒成立的等价条件为

??a<0, ???Δ<0;
(3)一元二次不等式 ax2+bx+c>0 解集为?的等价条件为

??a<0, ???Δ≤0;
(4)一元二次不等式 ax2+bx+c≤0 解集为?的等价条件

为?????aΔ><00,;

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注意:在题目中没有指明不等式为二次不等式时,若二次 项系数中含有参数,应先对二次项系数为0的情况进行分析, 检验此时是否符合条件.

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不等式ax2+2ax+4≥0恒成立,对一切x的值,求a的取值 范围.

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不等式ax2-x+2a<0的解集为?,则a的取值范围________.

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1. {x|x<x1 或 x>x2} {x∈R|x≠-2ba} R {x|x1<x<x2}

??

填一填:(1){x|x<-3



1 x>2}

{x|-2≤x≤43}

(2){x|-13

<x≤12} {x|x<0 或 x≥1}

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2.想一想:提示:a=0 时,4≥0 显然成立 a≠0 时,?????aΔ>≤00 , ?0<a≤4,综上 a 的值为[0,4]. 填一填:[ 42,+∞) 提示:依题意可知,问题等价于 ax2-x+2a≥0 恒成立, 当 a=0 时,-x≥0 不恒成立,故 a=0 舍去; 当 a≠0 时,要使 ax2-x+2a≥0 恒成立,

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即 f(x)=ax2-x+2a 的图象不在 x 轴的下方, ∴?????aΔ>≤0,0, 即?????a1>-08a2≤0 , 解得 a≥ 42,即 a 的取值范围是[ 42,+∞).

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核心要点研究

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例 1 (1)[2012· 湖 南高 考 ]不 等 式 x2 - 5x+ 6≤0 的解 集 为

________.

(2)[2012·重庆高考]不等式2xx-+11≤0 的解集为(

)

A. ???-12,1??? B. ???-12,1???

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C. ???-∞,-12???∪[1,+∞) D. ???-∞,-12???∪[1,+∞) [解析] (1)(x-2)(x-3)≤0,2≤x≤3,

∴解集为{x|2≤x≤3}.

(2)不等式2xx-+11≤0 等价于??????2xx-+11?≠?2x0+,1?≤0, [答案解] 得(1-){12x<|2x≤≤x≤13.} (2)A

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奇思妙想:本例(2)变为2xx-+11≥1,则其解集又如何? 解:2xx-+11-1≥0?2xx++21≤0?-2≤x<-12,所以不等
式解集{x|-2≤x<-12}.

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解一元二次不等式的一般步骤:(1)变形,使一端为0且二 次项系数大于0; (2)计算相应的判别式;(3)当Δ≥0时,求出相应 的一元二次方程的根;(4)根据对应二次函数的图象,写出不等 式的解集.

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[变式探究] 解下列关于x的不等式: (1)x2-(a2+a)x+a3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0. 解: (1)原不等式化为(x-a)(x-a2)>0, ①当a2-a>0,即a>1或a<0时, 原不等式的解为x>a2或x<a. ②当a2-a<0,即0<a<1时, 原不等式的解为x<a2或x>a;

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③当a2-a=0,即a=0或a=1时, 原不等式的解为x≠a. 综上①②③得a>1或a<0时不等式解集为{x|x>a2或x<a} 当0<a<1时,不等式解集为{x|x<a2或x>a} 当a=0或a=1时,不等式解集为{x|x≠a}. (2)原不等式化为(ax-1)(x-1)<0. ①当a=0时,其解为x>1;

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②当 0<a<1 时,其解为 1<x<1a; ③当 a>1 时,其解为1a<x<1; ④当 a=1 时,无解; ⑤当 a<0 时,不等式化为(x-1a)(x-1)>0,其解为 x<1a或 x>1. 综上所述 a=0 时,不等式解集为{x|x>1}

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0<a<1 时,不等式解集为{x|1<x<1a} a>1 时,不等式解集为{x|1a<x<1} a<0 时,不等式解集为{x|x<1a或 x>1} 当 a=1 时,不等式解集为?.

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例2 (1)[2012·福建高考]已知关于x的不等式x2-ax+2a>0 在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.
(2) 已 知 f(x) = x2 - 2ax + 2(a∈R) , 当 x∈[ - 1 , + ∞ ) 时 , f(x)≥a恒成立,则a的取值范围是________.

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[解析] (1)由Δ=a2-8a<0,得0<a<8. (2)法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴 为x=a. ①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a,恒成立,只需f(x)min≥a,即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1;

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②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求a的取值范围为[-3,1]. 法二:令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得x2-2ax+2- a≥0在[-1,+∞)上恒成立,

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?? Δ>0, 即 Δ=4a2-4(2-a)≤0 或?a<-1,
??g?-1?≥0. 解得-3≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[-3,1].
[答案] (1)(0,8) (2)[-3,1]

第六章 第2讲

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奇 思 妙 想 : 本 例 (1) 条 件 变 为 “ 关 于 x 的 不 等 式 x2 - ax + 2a≤3的解集不是空集”问题不变,该如何解答?
解:原不变式变为x2-ax+2a-3≤0,由Δ≥0,知不等式的 解集不是空集,解得a≥6或a≤2.

第六章 第2讲

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1.对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次 函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
2.对于恒成立问题,常用到以下两个结论: (1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max; (2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.

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[变式探究] [2013·唐山检测]设函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围; (2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
解:(1)要 mx2-mx -1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0. 若 m≠0,?????mΔ=<0m,2+4m<0 ?-4<m<0. ∴-4<m≤0.

第六章 第2讲

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(2)要 f(x)<-m+5,就要使 m(x-12)2+34m-6<0,x∈[1,3].

方法一 令 g(x)=m(x-12)2+34m-6,x∈[1,3],

当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数,

∴g(x)max=g(3),

∴7m-6<0,得

6 m<7.

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∴0<m<67. 当 m=0 时,-6<0 恒成立. 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数. ∴g(x)max=g(1)=m-6<0,得 m<6.∴m<0. 综上所述,m<67. 方法二 ∵x2-x+1=(x-12)2+34>0,

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又∵m(x2-x+1)-6<0,∴m<x2-6x+1. ∵函数 y=x2-6x+1=?x-126?2+34在[1,3]上的最小值为67. ∴只需 m<67即可.

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例3 [2012·福州模拟]某商家一月份至五月份累计销售额 达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比 六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份 销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售 总额至少达7000万元,则x的最小值是________.

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[审题视点] 解答本题首先表示出一月份到十月份的销售 总额,然后列不等式,解不等式得出结论.
[解析] 七月份的销售额为500(1+x%)万元,八月份的销 售额为500(1+x%)2万元,则一月份到十月份的销售总额是3860 +500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]万元,根据题意有3860+ 500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000
即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令t=1+x%,则25t2+25t-66≥0,

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解得 t≥65或 t≤-151(舍去), 故 1+x%≥65,解得 x≥20. 所以 x 的最小值是 20.
[答案] 20

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解不等式应用题,一般可按如下四步进行: (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等 关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回答实际问题.

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[变式探究] 某同学要把自己的计算机接入因特网.现有 两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元;公司B在用户 每次上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后 每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时 计算).假设该同学一次上网时间总是小于17小时,那么该同学 如何选择ISP公司较省钱?

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解:假设一次上网 x 小时,则公司 A 收取的费用为 1.5x 元,公司 B 收取的费用为x?352- 0 x?元.
若能够保证选择 A 比选择 B 费用少,则 x?352- 0 x?>1.5x(0<x<17), 整理得 x2-5x<0,解得 0<x<5,

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所以当一次上网时间在5小时以内时,选择公司A的费用 少;上网5小时时选择公司A与公司B费用相同,选择哪个公司 都行.超过5小时,选择公司B的费用少.

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课课精彩无限

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【选题·热考秀】 [2013·天津调研]设函数 f(x)=x2-1,对任意 x∈[32,+ ∞),f(mx )-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数 m 的取值 范围是________.

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[规范解答] 依据题意得mx22-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-

1+4(m2-1)在 x∈[32,+∞)上恒成立,

即m12-4m2≤-x32-2x+1 在 x∈[32,+∞)上恒成立.

即(m12-4m2)≤(-x32-2x+1)min,

当 x=32时函数 y=-x32-2x+1 取得最小值 -53,

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所以m12-4m2≤-53,即(3m2+1)(4m2-3)≥0,

解得

m≤-

23或

m≥

3 2.

[答案] (-∞,- 23]∪[ 23,+∞)

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 本题把函数问题与恒成立问题巧妙的结合起来,解题时先 把参数分离,从而把恒成立问题转化为函数最值问题. No.2 角度关键词:模板构建 对于给定区间上的不等式恒成立问题,一般可根据以下几 步求解: 第一步:整理不等式,分离参数;

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第二步:构造函数g(x); 第三步:求函数g(x)在给定区间上的最大值或最小值; 第四步:根据最值构造不等式求参数; 第五步:反思回顾,查看关键点,易错点,完善解题步 骤.该题需注意两点:①分离参数时一定要搞清谁是参数;② 求g(x)最值的常用方法有:二次函数、均值不等式、单调性等.

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经典演练提能

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1.不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是( )

A.{x|x≠-13}

B.{-13}

C.{x|-13≤x≤13}

D.R

答案:B 解析:(3x+1)2≤0,∴x=-13,选 B 项.

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2.[2013·许昌模拟]若不等式 ax2+bx-2<0 的解集为{x|

-2<x<14},则 ab=( )

A.-28

B.-26

C.28

D.26

答案:C 解析:∵-ba=-74,-2a=-12, ∴a=4,b=7,ab=28.选 C 项.

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3.[2012·重庆高考]设函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=3x-2,

集 合 M = {x∈R|f(g(x))>0} , N = {x∈R|g(x)<2} , 则 M∩N 为

() A. (1,+∞)

B. (0,1)

C. (-1,1)

D. (-∞,1)

答案:D

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解 析 : 由 f(g(x))>0 得 g2(x) - 4g(x) + 3>0 , 则 g(x)<1 或 g(x)>3,即3x-2<1或3x-2>3,所以x<1或x>log35;由g(x)<2得3x -2<2,所以x<log34,故M∩N=(-∞,1),故选D.

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4.[2012·江西高考]不等式xx2--29>0 的解集是________.
答案:{x|-3<x<2或x>3} 解析:原不等式可化为(x+3)(x-3)(x-2)>0,利用穿针引 线法可得{x|-3<x<2或x>3}.

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5 . [2013· 广 州 模 拟 ] 若 关 于 x 的 不 等 式 4x - 2x + 1 - a≥0 在 [1,2]上恒成立,求a的取值范围.
解:由题意知a≤4x-2x+1在[1,2]上恒成立, 令y=4x-2x+1=(2x)2-2·2x+1-1=(2x-1)2-1. ∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4, ∴当2x=2时,y有最小值为0, ∴a的取值范围为(-∞,0].

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限时规范特训

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