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高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》知识点归纳及单元测试[1] 2


一、选择题 1.椭圆 2x2 ? 3 y 2 ? 12 的两焦点之间的距离为(



A. 2 10 B. 10 C. 2 2 D. 2 2 x 2.椭圆 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1,F2 ,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P , 4 则 PF2 等于( ) A.
3 2

B. 3

C.

7 2

D.4

x2 y2 ) ? ? 1 的焦距是( m2 ? 12 4 ? m2 A.8 B.4 C. 2 2 D.与 m 有关 x2 6) 且与双曲线 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( 4.焦点为 (0, ) 2 x2 y 2 y 2 x2 A. ? B. ?1 ? ?1 12 24 24 12 x2 y 2 y 2 x2 C. D. ? ?1 ? ?1 24 12 12 24 5.抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 P(?3,m) 到焦点的距离为 5,则抛物线的标准方程为 ( ) A. y 2 ? 4 x B. y 2 ? 8 x C. y 2 ? ?4 x D. y 2 ? ?8x 6.焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上的抛物线的标准方程为( )
3.双曲线 A. y 2 ? 16x 或 x2 ? ?12 y B. y 2 ? 16x 或 x2 ? 16 y C. y 2 ? 16x 或 x2 ? 12 y D. y 2 ? ?12x 或 x2 ? 16 y

x2 y2 1) ,则 m 等于( ) ? ? 1 的一个焦点为 (0, m2 3 ? m ?1 ? 17 5 A.1 B. ?2 或 1 C. D. 2 3 8.若椭圆的短轴为 AB ,它的一个焦点为 F1 ,则满足 △ ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率是 ( ) 2 3 1 1 A. B. C. D. 2 2 4 2 9.以双曲线 ?3x2 ? y 2 ? 12 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是( )
7.椭圆

x2 y 2 x2 y 2 B. ? ? ?1 ?1 16 12 16 4 x2 y 2 x2 y 2 C. ? D. ? ?1 ?1 12 16 4 16 10.经过双曲线 y 2 ? x2 ? ?8 的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长是(
A. A.
4 10 3



B.

20 2 3

C. 2 10

D. 7 2

11.一个动圆的圆心在抛物线 y 2 ? 8 x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则动圆必过定点( 2) ? 2) 0) 0) A. (0, B. (0, C. (2, D. (4,
,, 8) P 为抛物线上一点, 12. 已知抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 和点 A(?1 则 PA ? PF 的最小值是 (

) )

A. 16 B.12 C.9 D.6 三、填空题 x2 y 2 13 . 已 知 椭 圆 ? ? 1 上 一 点 P 与 椭 圆 的 两 个 焦 点 F1,F2 连 线 的 夹 角 为 直 角 , 则 49 24 . PF1· PF2 ?

3 14.已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的离心率为 . 4 15.圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 . 16.当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1 时,椭圆长轴的最小值 为 . 三、解答题 17.若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点,且焦点到同
侧长轴端点距离为 2 ? 1 ,求椭圆的方程. 18 .椭圆
3 x2 y 2 ,椭圆与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 相交于点 P,Q ,且 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b PQ ? 10 ,求椭圆的方程.

2 x2 y 2 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A ,左顶点为 B, F 为右焦点,离心率 e ? 2 2 a b 过 F 作平行于 AB 的直线交椭圆于 C, D 两点,作平行四边形 OCED ,求证: E 在此椭圆上.

19.如图 1,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点且与椭圆的一 27 36 点的纵坐标为 4,求双曲线的方程.
20.已知双曲线与椭圆

个 交

x2 y 2 ? ? 1 的一 a 2 b2 点 ,且与 双曲线 实轴垂直 ,已知 抛物线 与双曲线 的交点为 ?3 ? ? , 6 ? .求抛物线与双曲线的方程. ?2 ?
21.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线

个 焦

22.某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图 2 所示,某卡车载一集装箱,箱宽 3m, 车与箱共高 4m,此车能否通过此隧道?请说明理由.

答案: 一、选择题 CCADDA BDDBCC 二、填空题 5 5 13. 48 14. 或 15. 用代数方法研究图形的几何性质 16. 2 2 4 3 三、解答题 17. x2 y 2 答案:解:设椭圆方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b 由椭圆的对称性和正方形的对称性可知:正方形被椭圆的对称轴分割成了 4 个全等的等腰直角三 角形,因此 b ? c ( 2c 为焦距) . ?a ? c ? 2 ? 1 ?a ? 2, , ? ? x2 y2 由题意得 ?b ? c, 解得 ?b ? 1 , ∴所求椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 或 x2 ? ?1. 2 2 ? 2 ?c ? 1. 2 2 ?a ? b ? c , ? 3 c 3 a. 18.解: e ? ? ,则 c ? 2 a 2 由 c 2 ? a 2 ? b 2 ,得 a 2 ? 4b 2 . ? x2 y2 , ? 2 ? 2 ?1 由 ? 4b 消去 x ,得 2 y 2 ? 8 y ? 16 ? b2 ? 0 . b ? x ? 2 y ? 8 ? 0, ? 由根与系数关系,得 y1 ? y2 ? ?4 , y1 y2 ?

16 ? b2 . 2 2 PQ ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? 5( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 10 , x2 y 2 ? ?1. 36 9
b b ,直线 CD 的方程为 y ? ( x ? c) , a a

即 5[16 ? 2(16 ? b2 )] ? 10 ,解得 b 2 ? 9 ,则 a 2 ? 36 . 所以椭圆的方程为

0) , k AB ? 19.解:椭圆焦点 F (c,

x2 y 2 ? ?1, a 2 b2 得 2 x 2 ? 2cx ? b 2 ? 0 . 设 C ( x1,y1 ),D( x2,y2 ) ,则 x1 ? x2 ? c ,
代入椭圆方程
? c bc ? CD 中点 G 的坐标为 ? , ? ?. ? 2 2a ? bc ? ? ∴ E ? c, ? ?. a ? ? 1 c ∵e ? ? ,∴a ? 2c . a 2

将点 E 的坐标代入椭圆方程

c2 b2 c2 2c2 ? ? ? 1 满足, a 2 a 2 b2 a 2

∴点 E 在椭圆上.
20.

? 3),F2 (0, 3) , 解:可以求得椭圆的焦点为 F1 (0,

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) , a 2 b2 且 c ? 3 ,则 a 2 ? b2 ? 9 . 由已知条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为 4,
故可设双曲线方程为 可得两交点的坐标为 A( 15,, 4) B(? 15, 4) , 16 15 点 A 在双曲线上,即 2 ? 2 ? 1 . a b ? a 2 ? b 2 ? 9, ? a 2 ? 4, ? ? 解方程组 ? 16 15 得? 2 , ? ? 2 ? 2 ?1 ?b ? 5. b ?a y 2 x2 所以双曲线方程为 ? ? 1. 4 5 21.解:由题意知,抛物线焦点在 x 轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,
?3 ? 将交点 ? , 6 ? 代入得 p ? 2 , 2 ? ?
, 0) , 故抛物线方程为 y 2 ? 4 x ,焦点坐标为 (1 c ? 1 这也是双曲线的一个焦点,则 . ?3 ? 又点 ? , 6 ? 也在双曲线上, ?2 ? 9 6 因此有 2 ? 2 ? 1 . 4a b 1 3 又 a 2 ? b2 ? 1 ,因此可以解得 a 2 ? ,b2 ? , 4 4 4 y2 因此,双曲线的方程为 4 x2 ? ? 1. 3

22.解:取抛物线顶点为原点,水平向右为 x 轴正方向建立直角 坐标系,设抛物线方程为 x2 ? ?2 py( p ? 0) , ? 3) , 当 x ? 3 时, y ? ?3 ,即取抛物线与矩形的结合点 (3, 3 代入 x2 ? ?2 py ,得 9 ? 6 p ,则 p ? , 2 故抛物线方程为 x2 ? ?3 y . 3 已知集装箱的宽为 3m,取 x ? , 2 1 2 3 则 y?? x ?? . 3 4 3 1 而隧道高为 5m, 5m ? m ? 4 m ? 4m . 4 4 所以卡车可以通过此隧道.


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