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6.4基本不等式


第 四 节 基本不等式

考纲 要求

1.了解基本不等式的证明过程 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 13年(6考):福建T7 山东T12 四川T13 天津T14 上海T13 陕西T14 12年(4考):陕西T10 浙江T9 湖北T9 江苏T17 11年(5考):福建T10 北京T7 陕西T3 江苏T8 浙江T16

三年 考题

1.以命题真假判断为载体,考查基本不等式成立的条 件以及等号成立的条件,有时与不等式的性质结合在

一起考查,一般以选择题的形式出现,难度不大
考情 播报 2.考查利用基本不等式求函数或代数式的最值,有时 与不等式的恒成立问题相结合,多以选择题、填空题 的形式出现,难度中等及以下 3.考查利用基本不等式解决实际应用中的最值问题,

各种题型均有可能出现,难度中等

【知识梳理】 1.基本不等式: ab ? a ? b a>0,b>0 (1)基本不等式成立的条件是________.
2

a=b 时取等号. (2)等号成立的条件:当且仅当____
2.常用的几个重要不等式 (1) ab ? ( a ? b ) 2 ? a, b ? R ? .
2 2 ab (2)a+b≥ _____(a>0,b>0).

2ab (3)a2+b2≥____(a,b∈R).
2 2 a ? b a?b 2 (4) ?( ) ? ab ? a, b ? R ?. 2 2

以上不等式等号成立的条件均为a=b时取得.

3.算术平均数与几何平均数

算术平均数
a>0,b>0
a?b 2 ___

几何平均数

ab ___

关系

不小于 它们的几何平均 两个正数的算术平均数_______


4.利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b为
M2 正实数,且a+b=M,M为定值,则ab≤___,等号当且仅当 4

a=b 时成立.简记:和定积最大. _____ (2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b为 正实数,且ab=P,P为定值,则a+b≥____,等号当且仅当 2 P a=b 时成立.简记:积定和最小. _____

【考点自测】 1.(思考)给出下列命题:
1 的最小值是2; x ②ab≤ ( a ? b ) 2成立的条件是ab>0; 2 ③函数f(x)=cos x+ 4 ,x ? (0, ? ) 的最小值等于4; cos x 2 x y ④x>0且y>0是 ? ? 2 的充分不必要条件; y x ⑤若a≠0,则 a 2 ? 12 的最小值为2. a

①函数y=x+

其中正确的是( A.①③ B.②④

) C.③⑤ D.④⑤

【解析】选D.①错误.当x<0时,函数值一定为负,最小值不是2. ②错误.当ab<0时,仍有 (
a?b 2 a?b 2 ), ) ? 0,因此对于不等式 ab ? ( 2 2

当a,b中有0或一个负数时也是成立的.
4 f x ? cos x ? ? ③错误. 虽然由基本不等式可得 ? ? cos x 4 2 cos x ? ? 4, 但由于其中的等号成立的条件是 cos x ? 4 , cos x cos x

即cos x=2,但这显然不成立,所以不能说函数的最小值是 4.

x y x y ? ? 2,但当 ? ? 2 时,不一 y x y x x y 定有x>0且y>0,所以x>0且y>0是 ? ? 2 的充分不必要条件. y x

④正确.当x>0且y>0时一定有

⑤正确.因为a≠0,所以a2>0,所以 a 2 ? 1 ? 2 a 2 ? 1 ? 2, 2 2
a a

等号成立的条件是a=〒1.

1 ,则xy的最大值为( ) 3 2 3 1 1 A. B.2 3 C. D. 1 3 9 36 【解析】选D.由基本不等式可得 xy ? ( x ? y )2 ? ( 3 )2 ? 1 , 2 2 36 当且仅当x=y= 1 时,xy取最大值 1 .故选D. 6 36

2.若x>0,y>0,且x+y=

3.(2014·湘潭模拟)若x>1,则 x ?
A.2 2 B.2 2 ? 1 C.2 2 ? 2

2 ? 1 的最小值是( x ?1

)

D.4
2 2 ?1 ? x ?1? ?2 x ?1 x ?1

【解析】选C.由x>1得x-1>0,则 x ?

当且仅当x=1+ 2 时取等号.故选C. ? 2 2 ? 2,

1 1 4.已知x,y>0且x+4y=1,则 ? 的最小值为( x y

)

A.8

B.9

C.10

D.11

【解析】选B.因为x,y>0且x+4y=1, 所以 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) ? x ? 4y ? ? 1 ? 4y ? x ? 4 ? 2 4y ? x ? 5 ? 9,
x y x 当且仅当 x ? 1 , y ? 1 时取等号. 3 6 x y y x y

5.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离 成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比, 如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万 元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.

【解析】设仓库到车站的距离为x千米,由题意设 y1 ?

4 y2=k2x,而当x=10时,y1=2,y2=8,于是k1=20,k2= ,因此 5 20 4x 20 y 1= ,y2= 4 x,所以 y1 ? y 2 ? ? ? 2 16 ? 8, 当且仅当x=5 x 5 x 5

k1 , x

时取等号,所以仓库应建在离车站 5千米处. 答案:5

6.(2014·天门模拟)已知a,b∈(0,+∞),且满足8a+2b=ab-9,
则ab的取值范围是__________.

【解析】由a,b∈(0,+≦)可得ab-9=8a+2b≥ 8 ab,
即ab- 8 ab -9≥0, 故

?

ab ? 9

??

ab ? 1 ? 0, 得 ab ? 9,

?

故ab≥81,等号成立的条件是b=4a=18. 答案:[81,+≦)

考点1

利用基本不等式求最值

1 ? a 2b2 【典例1】(1)(2014·福州模拟)已知a>0,b>0,则 的 ab

最小值是(

)

A.2

B.2 2

C.4
3

D.5
4

(2)已知x,y∈R+,且满足 x ? y ? 1, 则xy的最大值为____.

(3)(2014·哈尔滨模拟)已知正数a,b满足 1 ? 1 ? 3, 则a+b的取
a b

值范围是_______.

【解题视点】(1)利用基本不等式可解. (2)利用基本不等式先求 xy 的取值范围,从而可求xy的最大值.
1 1 ? ? 3,将a+b中的b用a表示,然后用基 a b 本不等式求范围;另一种思路是对 1 ? 1 ? 3 变形,获得a+b与 a b

(3)一种思路是根据

ab的关系,然后利用基本不等式消去ab建立a+b的不等式求解.

【规范解答】(1)选A.因为a>0,b>0,所以ab>0,所以
1 ? a 2b2 1 1 ? ? ab ? 2 ? ab ? 2, 等号当且仅当ab=1时取得. ab ab ab

(2)因为 1 ? x ? y ? 2 x ? y ? 2 xy ? xy, 所以xy≤3,当且仅当
3 4 3 4 12 3
x y ? , 即x= 3 ,y=2时取等号,故xy的最大值为3. 3 4 2

答案:3

a , 由于 3a ? 1 a b 1 1 a>0,b>0,可得a> .于是 a ? b ? a ? a ? a ? 3 ? 1 ? a ? 1 3 3a ? 1 3a ? 1 3 3 1 2 1 1 2 1 1 2 4 ? 3 ? ? (a ? ) ? ? ? 2 (a ? ) ? ? ? , 3a ? 1 3 3 9(a ? 1 ) 3 3 9(a ? 1 ) 3 3 3 3 1 1 , 即a= 2 时取等号,所以a+b的取值 当且仅当 a ? ? 3 9(a ? 1 ) 3 3 范围是 [ 4 , ??). 3

(3)方法一:由 1 ? 1 ? 3 得a+b=3ab,所以 b ?

方法二:由 1 ? 1 ? 3 得a+b=3ab.

a b a?b 2 由于 ab ? ( a ? b ) 2,所以 a ? b ? 3( ), 2 2 即4(a+b)≤3(a+b)2,所以a+b≥ 4 ,即a+b的取值范围是 3 4 [ , ??). 3 答案:[ 4 , ?? ) 3

【互动探究】本例题(3)中,条件不变,求ab的取值范围.
【解析】由于a+b≥2 ab ,所以3ab≥2 ab,即9(ab)2≥4ab,
4 4 [ 所以ab≥ ,即ab的取值范围是 , ??). 9 9

【规律方法】利用基本不等式求最值的常见类型 (1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式. (2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行 恒等变形,如构造“1”的代换等. (3)若一次应用基本不等式不能达到要求,需多次应用基本不等

式,但要注意等号成立的条件必须要一致.
提醒:若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单

调性求解.

利用基本不等式求最值的要求 (1)在利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件: ①各项均为正数; ②含变数的各项的和(或积)必须是定值; ③当含变数的各项均相等时取得最值,即一正、二定、三相等.

这三个条件极易忽略而导致解题失误,应引起足够的重视.
(2)上述结论是我们用基本不等式求最值的依据 ,可简述为“和

定积最大,积定和最小”.

【变式训练】(2014·泉州模拟)若f(x)= x ? 1 (x>2)
x?2

在x=n处取得最小值,则n=( A.
5 2

) D.4

2 1 【解析】选B.由f(x)= x ? 1 =(x-2)+ +2≥4,当且仅 x?2 x?2 当x-2= 1 >0,即x=3时,取得等号. x?2

B.3

C. 7

【加固训练】 1.(2013·福州模拟)已知f(x)=x+ 1 -2(x<0),则f(x)有(
x

)

A.最大值为0
C.最大值为-4

B.最小值为0
D.最小值为-4

1 1 ? ( ? x ? )?2? 【解析】选C.由x<0得-x>0,则f(x)=x+ -2= ?x x 1 当且仅当x=-1时取等号. ?2 ?x ? ? 2 ? ?4, ?x

2.设x>0,则函数 y ? x ? 1 ? 4 的最小值等于________.
x ?1

【解析】 y ? x ? 1 ? 4 ? x ? 1 ? 4 ? 2 ? 2 (x ? 1) ? 4 ? 2 ? 2,
x ?1 x ?1 x ?1

当且仅当x+1= 4 ,即x=1时取等号,所以函数的最小值等于2.
x ?1

答案:2

3.函数f(x)=sin x+

1 (0<x<π )的最小值是_______. 4sin x

【解析】因为0<x<π,所以0<sin x≤1.因此由基本不等式得:
1 1 1 , ? 2 sin x ? ?1 , 当且仅当 sin x ? 4sin x 4sin x 4sin x 1 5? sin x= ,即x= ? 或x= 时取等号,所以函数的最小值等于1. 2 6 6

f ? x ? ? sin x ?

答案:1

考点2

基本不等式的实际应用

【典例2】(1)(2014·四平模拟)某种饮料分两次提价,提价方 案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙: 每次都提价
p?q 若p>q>0,则提价多的方案是______. %, 2

(2)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶
和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物需建造可使用20年的隔热

层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源
消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:

C(x)=

k (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 3x ? 5

8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

①求k的值及f(x)的表达式;
②隔热层修建多厚时,总费用f(x)最小,并求最小值.

【解题视点】(1)列出两次提价的关系式,利用基本不等式比 较大小即可. (2)①利用已知条件代入关系式可求k,从而可求f(x)的表达式. ②整理转化后利用基本不等式可解.

【规范解答】(1)设原价为1,则提价后的价格,方案甲:
p?q 2 (1+p%)(1+q%),方案乙: (1 ? %) , 2 1 ? p% 1 ? q% p?q 因为 ?1 ? p% ??1 ? q% ? ? ? ? 1? %, 2 2 2 且p>q>0,所以 ?1 ? p% ??1 ? q% ? ? 1 ? p ? q %, 2 即 ?1 ? p% ??1 ? q% ? ? (1 ? p ? q %) 2,所以提价多的方案是乙. 2

答案:乙

(2)①由题设,建筑物每年能源消耗费用为C(x)= C(0)=8,得k=40, 所以C(x)=
40 . 而隔热层建造费用为C1(x)=6x, 3x ? 5

k , 再由 3x ? 5

所以20年的能源消耗费用之和与隔热层建造费用之和为
3x ? 5 3x ? 5 800 1 600 ②f(x)= ? 6x ? ? 6x ? 10 ? 10 3x ? 5 6x ? 10 1 600 ?2 ? ? 6x ? 10 ? ? 10 ? 70, 6x ? 10 当且仅当 1 600 ? 6x ? 10, 即x=5时取等号. 6x ? 10

f(x)=20C(x)+C1(x)= 20 ? 40 ? 6x ? 800 ? 6x ? 0 ? x ? 10 ? .

所以当隔热层修建厚度为5 cm时,总费用最小,为70万元.

【易错警示】关注自变量的取值范围 本例(2)中建立关系时,一定要注意自变量的取值范围,否则 解题时易丢分,一定要注意实际问题中自变量的范围 .

【规律方法】解应用题的关键点及步骤 (1)关键:如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题 来解决. (2)一般步骤:①审题:审清题意,初步形成用怎样的模型能 够解决问题的思路,明确解题方向; ②建立数学模型:根据①中的分析,把实际问题用“符号语 言”“图形语言”抽象成数学模型,建立所得数学模型和已知 数学模型的对应关系;

③讨论不等关系:根据②中建立起来的数学模型和题目要求,

讨论与结论有关的不等关系,得到有关理论参数的值;
④得出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要

求得出问题的结论.
提醒:当运用基本不等式求最值时,若使等号成立的自变量的 值不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据 变量的范围用对应函数的单调性求解.

【变式训练】(2014·武汉模拟)经观测,某公路段在某时段内

的车流量y(万辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有
函数关系 y ?
92v ? v>0 ? . 2 v ? 3v ? 1 600

(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?
最大车流量为多少? (2)为保证在该时段内车流量至少为1万辆/小时,则汽车的平 均速度应控制在什么范围内?

【解析】(1) y ?
?

92 1 600 2 v? ?3 v 当 v ? 1 600 ,即v=40千米/小时时,车流量最大,最大值约为 v

92v 92 ? v 2 ? 3v ? 1 600 v ? 1 600 ? 3 v 92 ? ? 1.108. 83

1.108万辆/小时.

(2)据题意有

92v ? 1, 2 v ? 3v ? 1 600

化简得v2-89v+1 600≤0,即(v-25)(v-64)≤0, 所以25≤v≤64. 所以汽车的平均速度应控制在[25,64](千米/小时)这个范围 内.

【加固训练】 1.某种汽车,购车费用为10万元,每年的保险费、汽油费约为 0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元. 这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少? 【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2 万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元 为公差的等差数列,因此,汽车使用x年时总的维修费用为
0.2 ? 0.2x x 万元. 2

设汽车的年平均费用为y万元,则有
y? 10 ? 0.9x ? 0.2 ? 0.2x x 2 10 ? x ? 0.1x 2 ? x x

10 x 10 x ? ? 1? 2 ? ? 3, x 10 x 10 当且仅当 10 ? x , 即x=10时,y取得最小值. x 10 ? 1?

答:汽车使用10年时,它的年平均费用最少.

2.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房, 由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正 面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地 面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背 面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?

【解析】由题意可得,总造价y= 3(2x ?150 ? 12 ? 400) ? 5 800
16 ) ? 5 800 ? 0 ? x ? 5 ? , x 16 则 y ? 900(x ? ) ? 5 800 x 16 ? 900 ? 2 x ? ? 5 800 ? 13 000 ? 元 ? , x 当且仅当x= 16 ,即x=4时取等号. x ? 900(x ? x

故当侧面的长度为4 m时,总造价最低.

考点3

基本不等式的综合应用

高频考点 通 关

【考情】基本不等式是高考考查的热点,几乎每年高考均有与 其有关的题目.常以选择题、填空题的形式出现.通常以不等式 为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何 等问题.

【典例3】(1)(2013·福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围 是( ) B.[-2,0] D.(-∞,-2]
x

A.[0,2] C.[-2,+∞)

(2)(2013·四川高考)已知函数f(x)=4x+ a (x>0,a>0)在x=3时

取得最小值,则a=_________.

【解题视点】(1)利用基本不等式、有理指数幂的运算性质及
指数函数的单调性可解.

(2)利用基本不等式确定等号成立条件可求 a.

【规范解答】(1)选 D.2 2x ? y ? 2x ? 2 y ? 1, 所以 2 x ? y ? ,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2. (2)由f(x)=4x+
x a a (x>0,a>0),根据基本不等式4x+ ≥4 a , x x 1 4

当且仅当4x= a 时取等号,而由题知当x=3时取得最小值,即 a=36.

答案:36

【通关锦囊】 高考指数 重点题型 破 解 策 略

◆◆◇

应用基本不等式 对所给不等式(或式子)变形, 判断不等式是否 然后利用基本不等式求解 成立或比较大小

◆◆◇

条件不等式的 最值问题 求参数的 值或范围

通过条件转化成能利用基本不 等式的形式求解
观察题目特点,利用基本不等 式确定相关成立条件,从而得 参数的值或范围

◆◆◇

【关注题型】

◆◇◇

与其他知识 结合的问题

利用题目已知条件进行转化,再利 用不等式求解

◆◇◇

利用基本不等 式证明不等式

应用基本不等式利用综合法或分 析法求解

【通关题组】

1.(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和
b(a<b),其全程的平均时速为v,则(
A.a<v< ab a?b C. ab<v< 2 B.v ? ab a?b D.v ? 2

)

【解析】选A. 设甲乙两地的路程为s,则往返时间分别是
2s 2s 2ab s s ? ? , t1 ? ,t 2 ? ,所以平均速度是 v ? s s t1 ? t 2 a?b a b ? a b 2ab 2ab 2ab 2ab 因为a<b,所以 ? ? a, ? ? ab, a?b b?b a ? b 2 ab

即a<v< ab .

2.(2014·随州模拟)若a,b,c∈R+,且a≠b≠c,
M? a b c ? ? ,N ? a ? b ? c,则M与N的大小关系是M_____ b c a

N.(从“>”“<”“≥”“≤”四个符号中选择一个你认

为最准确的填写)
【解析】 M ? ( a ? b) ? ( b ? c) ? ( c ? a ) ? ? a ? b ? c ?
b c a

?2 a ?2 b ?2 c ?

?

a ? b ? c ? N ? ? ?,

?

因为a≠b≠c,所以(*)中等号不成立,填>.

答案:>

a 1 ? 3.(2013·天津高考)设a+b=2,b>0,则 的最小值为____. 2a b a a?b a 1 【解析】因为a+b=2,b>0,所以 ? ? ? ? 2a b 4a b
a a a b a b a ? ? ? ?2 ? ? ?1 , 4a 4a b 4a 4a b 4a

当且仅当 b ? a 时等号成立,此时a=-2或a= 2 .
4a b
3

a 若a=-2,则 a ? 1 ? 3, 若a= 2 ,则 a ? 1 ? 5 . 所以 1 ?

4a

4

的最小值为 3 . 答案:
3 4 4

3

4a

4

2a

b

【加固训练】 1.(2012·湖北高考)设a,b,c∈R+,则“abc=1”是
1 1 1 ? ? ? a ? b ? c ”的( “ a b c

)

A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件

C.充分必要条件
D.既不充分也不必要的条件

【解析】选A.因为 1 ? 1 ? 1 ? bc ? ca ? ab ,
a b c abc



1 1 1 b ? c? ? ?a ? c? ? ?b ? a ? bc ? ca ? ab 2 ? a?b?c 2 2 ? ? . abc abc abc

可知当abc=1时,可推出 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c;反之如
a b c

a=1,b=4,c=9,满足 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c, 但abc=1不成立.
a b c

2.(2014·浙江十校联考)若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则 xy的最大值是(
A. 4 3 B. 5 3

)
C.2 D. 5 4

【解析】选C.由x>0,y>0知4x2+9y2+3xy≥2〓(2x)〓(3y)+3xy (当且仅当2x=3y时等号成立),所以12xy+3xy≤30,即xy≤2,

故选C.

3.(2014·郑州模拟)函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象 恒过定点A,若点A在mx+ny+2=0上,其中mn>0,则 小值为_______. 【解析】当x=-2时,y=loga(-2+3)-1=-1,即定点A的坐标为 (-2,-1),于是有-2m-n+2=0,即 m ?
n 1 1 1 1 n ? 1, ? ? ( ? )(m ? ) 2 m n m n 2 m 3 n m 3 n m 3 ? 2 2 当且仅当 n ? , ? ? ? ? ?2 ? ? , 2m n 2 2m n 2 2m n 2
1 1 ? 的最 m n

即n= 2 m=2( 2 -1)时取等号,
1 1 ? 的最小值是 3 ? 2 2 . m n 2 答案:3 ? 2 2 2

因此

4.(2014·孝感模拟)已知a,b,c都为正数,且a+b+c=1,求证
1 1 1 ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8. a b c

【证明】因为a,b,c都为正数,且a+b+c=1,所以 1 ? 1 ? 1 ? a
? b ? c 2 bc 同理 1 2 ac 1 2 ab ? . ?1 ? , ?1 ? , a a b b c c
a a

上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? ? ? ? 8. a b c a b c 当且仅当a=b=c= 1 时取等号. 3

【易错误区16】多元基本不等式求最值的易错点 【典例】(2013·山东高考)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0, 则当 z 取得最大值时,x+2y-z的最大值为(
xy
A.0 B. 9 8 C.2 D. 9 4

)

【解析】

【误区警示】

【规避策略】

【类题试解】(2014·临沂模拟)已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差 数列,x,c,d,y成等比数列,则 ? a ? b ? 的最小值是_______.
2

cd

【解析】因为x,a,b,y成等差数列, 所以a+b=x+y. 因为x,c,d,y成等比数列,所以cd=xy, 则

?a ? b?
cd

2

?

? x ? y?
xy

2

?

当且仅当 答案:4

y x ? 时,取等号. x y

y x ? ? 2 ? 4 ? x ? 0, y ? 0 ?, x y


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