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高中数学第一章集合与函数概念函数的奇偶性课件新人教A版必修2-PPT课件_图文

?1.3.2 奇偶性 ? 1.函数的奇偶性 ? (1)定义 ? ①奇函数:设函数 y = f ( x ) 的定义域为 D , -x∈D,且f(- x)=-f(x) 如果对于D内的任意一个 x,都有 ,则这个函数叫做奇函数. ? ②偶函数:设函数 y = g ( x ) 的定义域为 D , -x∈D,且g(- x)=g(x) 如果对于D内的任意一个 x,都有 ,则这个函数叫做偶函数. ? (2)性质 ? 如果一个函数是奇函数,则这个函数的图 坐标原点 象是以 为对称 坐标原点 中心的对称图形,反之,如果一个函数的 图象是以 为对称中心的中心对称 图形,则这个函数是奇函数. y轴 ? 如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形;反之, y轴 如果一个函数的图象关于 对称,则这 个函数是偶函数. ? (3)判断奇偶性 ? ①f(x)=|x|; ②f(x)= 1-x2+ x2-1; (x≥1); ? ④f(x)=|x+1|-|x-1|. ? [ 答案 ] ①偶 ②既是奇函数,又是偶函 数 ③非奇非偶 ④奇 ? ③f(x)=x2 ? 2.用定义判断函数奇偶性的步骤是: (2) 定义域关于原点对称时, 看 f(-x)=± f(x)(或 f(x)± f(-x) ? (1) 求定义域,看定义域是否关于原点对称, f(-x) 若定义域关于原点不对称,则为非奇非偶函 =0 或 =± 1(用此式时, f(x)≠0 对定义域内任意 x 都成立)) f ( x ) 数. 是否成立.如不成立,则为非奇非偶函数. (3)f(-x)=-f(x)成立时为奇函数. f(-x)=f(x)成立时为偶 函数. 3.若一次函数 y=kx+b 为奇函数,则 b= 0,若二 次函数 y=ax2+bx+c 为偶函数则 b= 0 .反比例函数 y k = (k≠0)是 奇 函数. x ? 本节重点:奇偶函数的概念及图象的对称 特征. ? 本节难点:利用函数奇偶性的概念和图象 的对称性,证明或判断函数的奇偶性. ? 对于函数奇偶性的讨论,学习时应把握下述 几点: ? ①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域 上进行的.考察一个函数 y = f ( x ) 是否具有奇 ②函数奇偶性的判断,有时也可用 f(-x)=± f(x)的等 偶性,不仅考察 f ( x ) 与 f ( - x ) 之间的关系,更 f(-x) 应考察函数的定义域是否关于原点对称. 价形式 f(-x)± f(x)=0 或 f(x) =± 1(f(x)≠0). ? ③以函数的奇偶性作为划分标准,可将函 数分为四类:偶函数,奇函数,既是奇函 数又是偶函数,非奇非偶函数.既是奇函 数又是偶函数的函数 f ( x ) 一定是常数函数 f(x)=0,但f(x)=0不一定既是奇函数也是 偶函数,须特别注意定义域是否关于原点 对称这一限制条件. ? ④奇函数 y = f ( x ) 若在 x = 0 处有定义,则一 定有f(0)=0. ? ⑤综合函数的单调性与奇偶性,可得以下 常用的两个结论:奇函数在区间 [ a , b ] 和 [ - b ,- a ] 上有相同的单调性;偶函数在 区间[a,b]和[-b,-a]上有相反的单调性 (ab>0). ? ⑥有时也用奇偶函数的性质来判断:偶函 数的和、差、积、商 ( 定义域符合要求 ) 仍 为偶函数.奇函数的和、差为奇函数,两 个奇函数的积、商为偶函数. ? ⑦有些判断奇偶性的题目,须先化简 f ( x ) 的表达式,观察其特点,然后再进行判 断. 1 (1)f(x)=x +x; 3 ? [例1] 判断下列函数的奇偶性 (2)f(x )=x2+1; (3)f(x)=|x+1|+|x-1|; (4)f(x)=2x+1; (5)f(x)= x-1+ 1-x; 1 (6)f(x)= . |x|-1 ? [分析] ? [解析] 利用函数奇偶性定义来判断. (1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 3 1 1 3 ∵f(-x)=(-x) + =-x -x=-f(x), (-x) ? ∴f(x)为奇函数. ? (2) f ( x ) 定义域为 R ,且 f ( - x ) = ( - x ) 2 + 1 = x2+1=f(x),∴f(x)为偶函数. ? (3)定义域为(-∞,+∞),∵f(-x)=|-x+ 1|+|-x -1|=|x -1|+|x +1|=f( x),∴f( x) 为偶函数. ? (4)定义域为(-∞,+∞),f(-x)=-2x+1, ? ∵f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x), ? ∴f(x)为非奇非偶函数. 1 (6)f(x)= {1} 有意义,须 |x|-1≠0,∴x≠± 1,其定义 ? (5)定义域为 , |x|-1 ?∵ ∴f(x)为非奇非偶 域(定义域不关于原点对称, -∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)关于原点对称,且 f(- 函数. 1 1 x)= = =f(x), |-x|-1 |x|-1 ∴f(x)为偶函数. ? 判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶 性. ? [解析] f(x)的定义域为 R,当a≠0时,f(- x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=- f(x), ? ∴f(x)为奇函数, ? 当a=0时,有f(x)=0,∴f(x)既是奇函数又 是偶函数. ? [例2] 已知函数y=f(x)的图象关于原点对 称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.试求f(x) 在 R 上的表达式,并画出它的图象,根据 图象写出它的单调区间. ? [分析] 由函数图象关于原点对称可知 y= f ( x ) 是奇函数.利用奇函数性质可求得解 析式. ∵函数f(x)的图象关于原点对称. ? ∴f(x)为奇函数,则f(0)=0, ? 设x<0,则-x>0,∵x>0时,f(x)=x2-2x