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高中数学第一章集合与函数概念函数的奇偶性课件新人教A版必修2-PPT课件_图文

?1.3.2

奇偶性

? 1.函数的奇偶性

? (1)定义
? ①奇函数:设函数 y = f ( x ) 的定义域为 D , -x∈D,且f(- x)=-f(x) 如果对于D内的任意一个 x,都有

,则这个函数叫做奇函数. ? ②偶函数:设函数 y = g ( x ) 的定义域为 D , -x∈D,且g(- x)=g(x) 如果对于D内的任意一个 x,都有 ,则这个函数叫做偶函数.

? (2)性质 ? 如果一个函数是奇函数,则这个函数的图 坐标原点 象是以 为对称 坐标原点 中心的对称图形,反之,如果一个函数的 图象是以 为对称中心的中心对称 图形,则这个函数是奇函数. y轴 ? 如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形;反之, y轴 如果一个函数的图象关于 对称,则这 个函数是偶函数.

? (3)判断奇偶性 ? ①f(x)=|x|;
②f(x)= 1-x2+ x2-1;

(x≥1); ? ④f(x)=|x+1|-|x-1|. ? [ 答案 ] ①偶 ②既是奇函数,又是偶函 数 ③非奇非偶 ④奇
? ③f(x)=x2

? 2.用定义判断函数奇偶性的步骤是: (2) 定义域关于原点对称时, 看 f(-x)=± f(x)(或 f(x)± f(-x) ? (1) 求定义域,看定义域是否关于原点对称,
f(-x) 若定义域关于原点不对称,则为非奇非偶函 =0 或 =± 1(用此式时, f(x)≠0 对定义域内任意 x 都成立)) f ( x ) 数. 是否成立.如不成立,则为非奇非偶函数. (3)f(-x)=-f(x)成立时为奇函数. f(-x)=f(x)成立时为偶 函数.

3.若一次函数 y=kx+b 为奇函数,则 b= 0,若二 次函数 y=ax2+bx+c 为偶函数则 b= 0 .反比例函数 y k = (k≠0)是 奇 函数. x

? 本节重点:奇偶函数的概念及图象的对称

特征. ? 本节难点:利用函数奇偶性的概念和图象 的对称性,证明或判断函数的奇偶性.

? 对于函数奇偶性的讨论,学习时应把握下述

几点: ? ①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域 上进行的.考察一个函数 y = f ( x ) 是否具有奇 ②函数奇偶性的判断,有时也可用 f(-x)=± f(x)的等 偶性,不仅考察 f ( x ) 与 f ( - x ) 之间的关系,更 f(-x) 应考察函数的定义域是否关于原点对称. 价形式 f(-x)± f(x)=0 或 f(x) =± 1(f(x)≠0).

? ③以函数的奇偶性作为划分标准,可将函

数分为四类:偶函数,奇函数,既是奇函 数又是偶函数,非奇非偶函数.既是奇函 数又是偶函数的函数 f ( x ) 一定是常数函数 f(x)=0,但f(x)=0不一定既是奇函数也是 偶函数,须特别注意定义域是否关于原点 对称这一限制条件. ? ④奇函数 y = f ( x ) 若在 x = 0 处有定义,则一 定有f(0)=0.

? ⑤综合函数的单调性与奇偶性,可得以下

常用的两个结论:奇函数在区间 [ a , b ] 和 [ - b ,- a ] 上有相同的单调性;偶函数在 区间[a,b]和[-b,-a]上有相反的单调性 (ab>0). ? ⑥有时也用奇偶函数的性质来判断:偶函 数的和、差、积、商 ( 定义域符合要求 ) 仍 为偶函数.奇函数的和、差为奇函数,两 个奇函数的积、商为偶函数. ? ⑦有些判断奇偶性的题目,须先化简 f ( x ) 的表达式,观察其特点,然后再进行判 断.

1 (1)f(x)=x +x;
3

? [例1] 判断下列函数的奇偶性 (2)f(x )=x2+1;

(3)f(x)=|x+1|+|x-1|; (4)f(x)=2x+1; (5)f(x)= x-1+ 1-x; 1 (6)f(x)= . |x|-1

? [分析] ?
[解析]

利用函数奇偶性定义来判断.
(1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
3

1 1 3 ∵f(-x)=(-x) + =-x -x=-f(x), (-x)

? ∴f(x)为奇函数. ? (2) f ( x ) 定义域为 R ,且 f ( - x ) = ( - x ) 2 + 1 =

x2+1=f(x),∴f(x)为偶函数. ? (3)定义域为(-∞,+∞),∵f(-x)=|-x+ 1|+|-x -1|=|x -1|+|x +1|=f( x),∴f( x) 为偶函数.

? (4)定义域为(-∞,+∞),f(-x)=-2x+1,
? ∵f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x), ? ∴f(x)为非奇非偶函数. 1 (6)f(x)= {1} 有意义,须 |x|-1≠0,∴x≠± 1,其定义 ? (5)定义域为 , |x|-1 ?∵ ∴f(x)为非奇非偶 域(定义域不关于原点对称, -∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)关于原点对称,且 f(-

函数. 1

1 x)= = =f(x), |-x|-1 |x|-1

∴f(x)为偶函数.

? 判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶

性. ? [解析] f(x)的定义域为 R,当a≠0时,f(- x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=- f(x), ? ∴f(x)为奇函数, ? 当a=0时,有f(x)=0,∴f(x)既是奇函数又 是偶函数.

? [例2]

已知函数y=f(x)的图象关于原点对 称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.试求f(x) 在 R 上的表达式,并画出它的图象,根据 图象写出它的单调区间. ? [分析] 由函数图象关于原点对称可知 y= f ( x ) 是奇函数.利用奇函数性质可求得解 析式.

∵函数f(x)的图象关于原点对称. ? ∴f(x)为奇函数,则f(0)=0, ? 设x<0,则-x>0,∵x>0时,f(x)=x2-2x+ 3, (x>0) ?x2-2x+3 ? (x 0) ? ∴f( ))=- (= x2 +2x+3)=-x2-2x- fx (x =?0 f(-x)=- ?-x2-2x-3 (x<0) ? 3 ? 于是有:
? [解析]

? 先画出函数在 y 轴右边的图象,再根据对

称性画出y轴左边的图象.如下图.

? 由图象可知函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( -

∞,-1]、[1,+∞),单调递减区间是 [- 1,0)、(0,1].

? 已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=

x+1,则x>0时,f(x)=________. ? [答案] -x+1 ? [解析] x>0时,-x<0,∴f(-x)=-x+1, ? 又∵f(x)为偶函数,∴f(x)=-x+1.

? [ 例 3]

已知 b > a > 0 ,偶函数 y = f ( x ) 在区 间 [ - b ,- a ] 上是增函数,问函数 y = f ( x ) 在区间[a,b]上是增函数还是减函数? ? [分析] 由函数的奇偶性进行转化. ? [ 解析 ] 设 a ≤ x 1 < x 2 ≤ b ,则- b ≤ - x 2 <- x1≤-a.∵f(x)在[-b,-a]上是增函 数.∴f(-x2)<f(-x1) ? 又 f ( x ) 是偶函数, ∴ f ( - x 1 ) = f ( x 1 ) , f ( - x 2 ) =f(x2)

? [点评]

由函数单调性和奇偶性的定义,可以 证明在关于原点对称的两个区间上,偶函数 的单调性恰是相反的,奇函数的单调性是相 同的.

? (1) 已知函数 y = f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,

在[2,6]上是减函数,比较f(-5)与f(3)的大 小结果为______. ? (2) 如果奇函数 f ( x ) 在区间 [1,6] 上是增函数, 且最大值为10,最小值为4,那么f(x)在[- 6 ,-1]上是增函数还是减函数?求f( x ) 在 [-6,-1]上的最大值和最小值. ? [答案] (1)f(-5)<f(3)

(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-5)=f(5), ? ∵f(x)在[2,6]上是减函数, ? ∴f(5)<f(3),∴f(-5)<f(3). ? (2)设-6≤x1<x2≤-1,则1≤-x2<-x1≤6, ? ∵f(x)在[1,6]上是增函数且最大值为10,最 小值为4,∴4=f(1)≤f(-x2)<f(-x1)≤f(6)= 10, ? 又∵f(x)为奇函数,∴4≤-f(x2)<-f(x1)≤10, ? ∴-10≤f(x1)<f(x2)≤-4, ? 即f(x)在[-6,-1]上是增函数,且最小值 为-10,最大值为-4.
? [解析]

? [例4]

已知偶函数f(x)(图(1))和奇函数g(x)(图 (2))在y轴右边的一部分图象,试根据偶函数 和奇函数的性质,分别作出它们在y轴左边的 图象.

(1)根据偶函数图象关于y轴对称的性 质,画出函数在y轴左边的图象,如图(1). ? (2) 根据奇函数的图象关于原点对称的性质, 画出函数在y轴左边的图象,如图(2).
? [解析]

? (1)如图①是奇函数y=f(x)的部分图象,则

f(-4)· f(-2)=________. ? (2)如图②是偶函数y=f(x)的部分图象,比 较f(1)与f(3)的大小的结果为________.

? [答案]

(1)2 (2)f(3)>f(1) ? [ 解析 ] (1) ∵ 奇函数的图象关于原点对称, 且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2), ? ∴必过点(-2,-1)和(-4,-2), ? ∴f(-4)· f(-2)=(-2)×(-1)=2. ? (2)∵偶函数f(x)满足f(-3)>f(-1), ? ∴f(3)>f(1). ? [ 点评 ] (1) 可由奇函数的性质,先去掉函 数记号“ f ”内的负号, f ( - 4)· f ( - 2) =- f(4)· [-f(2)]=f(4)· f(2)=2×1=2.

[例 5]

判断下列函数的奇偶性: x+1 ; x-1

(1)f(x)=(x-1)

1-x2 (2)f(x)= . |x+2|-2 x+1 [错解] (1)f(x)=(x-1)· = x2-1. x-1

∵f(-x)= (-x2)-1=f(x),∴f(x)为偶函数. 1-(-x)2 1-x2 (2)f(-x)= = , |-x+2|-2 |x-2|-2 ∵f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x), ∴f(x)为非奇非偶函数.

? [辨析]

要判断函数的奇偶性,必须先求函数 定义域(看定义域是否关于原点对称).有时还 需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形,以 利于判定其奇偶性.

[正解]

x+1 (1)由 ≥0 得{x|x>1,或 x≤-1}, x-1

∵f(x)定义域关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数.
2 ? ?1-x ≥0 (2)由? ? ?|x+2|-2≠0

得-1≤x≤1 且 x≠0,

定义域关于原点对称,又-1≤x≤1 且 x≠0 时,f(x)= 1-x2 1-x2 = x , x+2-2 1-(-x)2 1-x2 ∵f(-x)= =- =-f(x), x -x ∴f(x)为奇函数.

? 一、选择题

? 1.下列函数不具备奇偶性的是
A.y=-x x-1 C.y= x+1

(

)

1 B.y=- x D.y=x2+2

? [答案]

C

[解析]

1 y=-x 与 y=-x都是奇函数,y=x2+2 是偶

x-1 函数,y= 的定义域为{x∈R|x≠-1}关于原点不对称, x+1 故选 C.

? 2.下列命题中真命题的个数为

( ) ? (1) 对 f ( x ) 定义域内的任意 x ,都有 f ( x ) + f ( - x ) =0则f(x)是奇函数 f(-x) (3)对 f(x)的定义域内的任意 x, 都有 f(x) =-1, 则 f(x) ? (2)对f(x)的定义域内的任意 x,都有f(x)-f(-x) 是奇函数 =0,则f(x)是偶函数
f(-x) (4)对 f(x)的定义域内的任意 x,都有 f(x) =1,则 f(x) 是偶函数

? A.1
? C.3 ? [答案]

B.2 D.4

D ? [解析] 四个命题都正确,故选D.

? 3.若函数y=f(x)为奇函数,则下列坐标表

示的点一定在函数f(x)的图象上的是 ( ) ? A.(a,-f(a)) B . ( - a ,- f ( - a)) ? C.(-a,f(a)) D.(-a,-f(a)) ? [答案] D ? [ 解析 ] ∵ - f ( a ) = f ( - a ) , ∴ 点 ( - a ,- f(a))在y=f(x)的图象上,故选D.

? 4.已知y=f(x)是奇函数,且方程f(x)=0有

六个实根,则方程f(x)=0的所有实根之和 是 ( ) ? A.4 B.2 ? C.1 D.0 ? [答案] D ? [ 解析 ] 奇函数的图象关于原点对称,方 程f(x)=0的六个根,即f( x)图象与x轴的六 个交点横坐标,它们分布在原点两侧各三 个,且分别关于原点对称, ? ∴和为0.

? 5 .已知 f ( x ) = ( m -1) x 2 +2 mx +3 为偶函数,

则f(x)在(-5,-2)上是 ( ) ? A.增函数 ? B.减函数 ? C.部分为增函数,部分为减函数 ? D.无法确定增减性 ? [答案] A ? [解析] ∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函 数, ? ∴m=0,∴f(x)=-x2+3,因此f(x)在(-5,

? 6.偶函数y=f(x)在区间[-4,-1]是增函

数,下列不等式成立的是 ( ) ? AC . -2)< f(3) .f (- .ff( (1)< f(-3) D.f(-B2)> f( 3)π)<f(π)
? [答案 D [解析] ] ∵ f(x)在[-4,-1]上为增函数,-4<- 3<
- 2<-1, ∴f(- 2)>f(- 3), 又∵f(x)为偶函数, ∴f(- 2)>f( 3).

? ? 二、解答题 x是有理数 ?1 (1)f(x)=? . ? ?-1 x是无理数 ? 7.判断下列函数的奇偶性.

(2)f(x)=|2x+1|-|2x-1|. (3)f(x)=2|x|.
? ?x(x-2) (4)f(x)=? ? ?-x(x+2)

x≥0 . x<0

(1)为偶函数.∵x∈Q时,-x∈Q, ? ∴f(-x)=1=f(x). ? 同理,x为无理数时,-x也为无理数. ? ∴f(-x)=-1=f(x),∴f(x)为偶函数. ? (2)奇函数.∵f(-x)=|-2x+1|-|-2x-1| ? =|2x-1|-|2x+1|=-f(x), ? ∴f(x)为奇函数. ? (3)偶函数.∵f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x), ? ∴f(x)为偶函数.
? [解析]

? (4)画出其图象如图,可见f(x)为奇函数.